Tính thể tích khối chóp SABCD theo a.. Theo chương trình Chuẩn.. Xác định tọa độ điểm A.. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt E tại hai điểm A, B sao cho trung điểm của đoạn
Trang 1SỞ GD-ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LƯƠNG VĂN TỤY
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
Năm học: 2010 – 2011 MÔN TOÁN – KHỐI A, B
Thời gian làm bài 180 phút không tính thời gian phát đề (Đề thi gồm 04 câu chung, 2 câu lựa chọn riêng theo từng
chương trình học, 01 trang)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 ( 2điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y 2x 1
x 1
−
= + . b) Tìm trên đồ thị hàm số y 2x 1
x 1
−
= + hai điểm A, B phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng y = 3x + 5
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình và bất phương trình sau:
a) sin (x3 ) 2 sin x
4
π
− =
b) 2x2+6x− +8 2x2+4x− −6 3 x+ −4 3 x+ − >3 1 0
Câu 3 (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (a > 0), góc BAD = 1200 và hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc tạo bởi SA và mặt phẳng (SCD) bằng 600 Tính thể tích khối chóp SABCD theo a
Câu 4 (2 điểm)
a) Tính:
1 2x 1 1
2
I=∫xe −dx
b) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2 2
2x y 2x y 2y m 2xy x 4xy 2x 1 m
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn.
Câu 5a (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác đều ABC, đường tròn nội tiếp của ABC có
phương trình (x-1)2 + (y-2)2 = 5và đường thẳng BC đi qua điểm M(7
2;2) Xác định tọa độ điểm A b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d: x 1 y 1 z
− = + =
− và cắt mặt cầu (S): (x 3)− 2+ −(y 1)2+ =z2 4 theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Câu 6a (1điểm)
Giải phương trình sau trên tập số phức: z3 - 3iz2 - 3z +2i = 0
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b (2 điểm)
a) Cho elip (E): x2 y2 1
25+ 9 = và điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB nằm trên đường thẳng y = 2x
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(0;0;1), nằm trên mặt phẳng x + y + z – 1 = 0
và cắt mặt cầu (x-3)2 + (y-2)2 + (z-2)2 = 16 tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Câu 6b (1 điểm)
Giải phương trình sau trên tập số phức: z3 + 3iz2 - 3z - 9i = 0
Trang 2-Hết -Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
SỞ GD-ĐT NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LƯƠNG VĂN TỤY
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ NHẤT
Năm học: 2010 – 2011
MÔN TOÁN – KHỐI A, B
(Đáp án gồm 05 câu, 06 trang)
Câu 1 (2 điểm)
a (1 điểm)
- TXĐ
- Giới hạn, tiệm cận
- Đạo hàm, bảng biến thiên
- Đồ thị
0,25 0,25 0,25 0,25
b (1 điểm)
Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) (x1<x2 và (x1,x2≠-1)
Hệ số góc của đường thẳng qua A, B là 1 2
k
x x (x 1)(x 1)
−
Trung điểm I của đoạn thẳng A, B là I( 1 2 1 2
x x 3(x x 2)
; 2
2 2(x 1)(x 1)
Điều kiện cần và đủ để A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y = 3x + 5 là:
3
.3 1 (x 1)(x 1)
AB d
3(x x 2) x x
I D
2(x 1)(x 2) 2 (x 1)(x 1) 9 x 4
⊥
Kết luận: Hai điểm cần tìm là (-4; 3), (2; 1)
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu 2 (2 điểm)
a (1 điểm)
3
sin (x ) 2 sin x
4
π
− = (1) TXĐ: R
sin (x ) 2 sin x (sin x-cos x) 4sin x
4
π
*)x= + π ∈π2 k , k Z không là nghiệm của (3)
*) x k , k Z
2
π
≠ + π ∈ Đặt t = tanx
(1)⇔ −(t 1) =4t(t + ⇔1) 3t +3t + + = ⇔ +t 1 0 (t 1)(3t + = ⇔ = −1) 0 t 1
t 1 x k , k Z
4
π
= − ⇔ = − + π ∈
KL: Nghiệm của phương trình là x k , k Z
4
π
= − + π ∈
0.25
0,25
0,25
0,25
A
C
M
B
K
S
O
Trang 3b (1 điểm)
2x +6x− +8 2x +4x− −6 3 x+ −4 3 x+ − >3 1 0 (2)
TXĐ [1; +∞ )
2
2( 1)( 4) 2( 1)( 3) 3 4 3 3 1 0
2( 1) 3 0
( 2( 1) 3) ( 4 3)
11 30 0
+ − + + − − + − + − >
− − >
⇔
− − > + − +
− < + + − + >
x
x
Kết luận : Tập nghiệm của bất phương trình là (6 ;+∞)
0,25
0,25
0,25
0,25 Câu 3 (1 điểm)
Ta có: tam giác ACD đều cạnh a
Gọi M là trung điểm của CD, N là trung điểm của CM ⇒ ON⊥CD
Mà SO⊥(ABCD)⇒SO⊥CD⇒(SON)⊥CD
Trên mặt phẳng (SON), kẻ OH vuông góc với SN suy ra OH⊥(SCD)
Trên mặt phẳng (ACH), kẻ AK vuông góc với CH suy ra AK⊥(SCD) ⇒(SA,
(SCD))=∠ASK ⇒∠ASK = 600
Đặt SA = x (x>a
2) ⇒ AK = xsin600=x 3 OH x 3
2
OH = SO + ON ⇒ 3x = 4x a + 3a
−
4a (4x a ) 3a x 4x (4x a ) 16x 17a x 4a 0
9 33
SO a
32
±
⇒ = VSABCD 1SO.SABCD a3 54 6 33
0,25
0,25
C
M B
K H S
O
N
Trang 40,25 Câu 4 (2 điểm)
a (1 điểm)
1
2x 1
1
2
I=∫xe −dx
Đặtt 2x 1 x t2 1 dx tdt
2
+
1
0
1
x t 0; x 1 t 1
2
1
I (t t)e dt
2
[(t t)e (3t 1)e +6te -6e ] (t 3t 7t 7)e
−
∫
0,25
0,25 0,5
b.(1 điểm)
2 2
2x y 2x y 2y m
(I) 2xy x 4xy 2x 1 m
2 2
2x (y 1) (y 1) 1 m
(I)
2x(y 1) x 1 m
Đặt t = y + 1 ta có hệ
2 2
2 2
2x t t 1 m
(II) 2xt x 1 m
− + =
Nhận xét: (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (II) có nghiệm duy nhất
+) Giả sử (a; b) là nghiệm duy nhất của (II) suy ra (b; a) cũng là một nghiệm của (II),
do đó a = b
Khi đó phương trình 2a3 – a2 + 1 = m có nghiệm duy nhất
Xét f(a) = 2a3 – a2 + 1, ta có: f’(a) = 6a2 – 2a, f’(a) = 0⇔ a = 0 hoặc a =1/3
0,25
Trang 5a - ∞ 0 1/3 +∞
f’(a) + 0 - 0 +
f(a) 1 +∞
-∞ 26/27
Từ BBT suy ra:
Phương trình 2a3 – a2 + 1 = m có nghiệm duy nhất ⇔ m < 26/27 hoặc m > 1
+) m < 26/27 hoặc m > 1
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
t x 2t t 1 m (3) (x t)(2xt x t) 0
2x t t 1 m
x (4x 2x 1)
1 m (4) (2x 1)
=
− + =
Với m > 1: (3) có nghiệm duy nhất và (4) vô nghiệm ⇒ (II) có nghiệm duy nhất
Với m < 26/27: (3) có một nghiệm duy nhất và nghiệm đó âm
Xét
2 2
2
x (4x 2x 1)
(2x 1)
+ +
+ ta có: f(x) liên tục trên [0;+∞), f(0) = m – 1 < 0,
xlim g(x)
→+∞ = +∞ suy ra (4) có ít nhất 1 nghiệm dương, do đo (II) có ít nhất hai nghiệm.
Kết luận: m > 1
0,25
0,25
0,25 Câu 5a (2 điểm)
a.(1 điểm)
(C) có tâm I(1; 2)bán kính R = 5
n(a; b)(a b 0) AB : a(x ) b(y 2) 0
2 + ≠ ⇒ − + − =
r
BC tiếp xúc với (C) suy ra d(I, BC) = R ⇒
2 2
5
a
= ⇒ ⇒
= − − − =
+
Gọi H là tiếp điểm của BC với (C) suy ra H là hình chiếu của I trên BC
+) BC: 2x - y – 5 = 0 ⇒H (3;1)
0,25
0,25
Trang 6IA = − 2IH ( 4; 2) = − ⇒ A( 3; 4) −
uur uur
+) BC: 2x + y – 9 = 0 ⇒H (3;3)
IA = − 2IH ( 4; 2) = − − ⇒ A( 3;0) −
uur uur
0,25
0,25
b (1 điểm)
(S) có tâm là I(3 ; 1 ; 0) bán kính R = 2
d đi qua điểm M(1 ; -1 ;0) và có một VTCP là u(2;1; 1)r −
Gọi H là hình chiếu của I trên d ⇒ H(1+2t ;-1+t ;-t)⇒IH (2t 2; t 2; t)uur= − − −
IH u 2(2t 2) t 2 t 0 t 1 H(3;0; 1)
⊥ ⇒ − + − + = ⇔ = ⇒ −
⇒ = <
uur r
⇒ d và (S) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm, K là hình chiếu của I trên (P) khi đó bán kính đường tròn
giao tuyến của (S) và (P) là 2 2 2 2
R ' = R − IK ≥ R − IH = 2 ⇒ MinR ' = 2đạt được khi K trùng H
Khi đó (P) có một VTPT làIH (0; 1; 1)uur= − − ⇒ (P) : y z 1 0 + + =
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 6a (1 điểm)
z3 - 3iz2 - 3z +2i = 0⇔(z-i)3+i=0
⇔(z-i)3-i3=0
z 2i
(z 2i)[(z-i) +i(z-i)-1]=0 (z 2i)[(z- ) - ]=0 i 3
2
=
=
0,25 0,25
0,5
Câu 5b (2 điểm)
a (1 điểm)
Nhận xét: M nằm trong (E), do đó mọi đường thẳng đi qua M đều cắt (E) tại hai điểm
Gọi d là đường thẳng cần tìm
+ d vuông góc Ox ⇒ d: x=2⇒trung điểm của A, B là I(2; 0) không thuộc đường thẳng
y = 2x
+ d có hệ số góc a suy ra d: y=ax-2a+1
Tọa độ AB là nghiệm của hệ
x y
1
25 9
y ax 2a 1
= − +
0,25
0.25
Trang 72 2
1
25 9
(25a 9)x 50a(2a 1)x 25(2a 1) 25.9 0
y ax 2a 1
= − +
2
50(2a a)
x x
25a 9
−
+ ⇒ AB có trung điểm là
2
25(2a a) 9 18a
25a 9 25a 9
I thuộc đường thẳng y = 2x ⇔ 2
1 a 2 50(2a a) 9(1 2a) (2a 1)(50a 9) 0
9 a 50
=
= −
d : y x; y x
0,25
0,25
b (1 điểm)
(S): (x-3)2 + (y-2)2 + (z-2)2 = 16 có tâm là I(3;2;2); bán kính R =4
Mặt phẳng (P):x + y + z – 1 = 0 có 1 VTPT là n(1;1;1)r
Gọi H là hình chiếu của I trên (P) suy ra H(1; 0; 0)⇒IH 2 3=
Suy ra (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) tâm H bán kính R’ = 2
HM 2 R '
⇒ = < ⇒ mọi đường thẳng qua M đều cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Gọi d là đường thẳng cần tìm, K là hình chiếu của H trên d
AB 2 R ' HK 2 R ' HM 2 2 MinAB 2 2
Khi đó AB có 1 VTCP là
x t
n, HM (1; 2;1) AB : y 2t
z 1 t
=
= +
r uuuur
0,25
0,25
0,25
0,25
6b (1 điểm)
z3 + 3iz2 - 3z -9i = 0⇔(z+i)3- 8i=0
⇔(z+i)3+(2i)3=0
(z i)[(z+i) -2i(z+i)-4]=0 (z i)[z -3]=0
=
− ⇔ − ⇔ = ±
0,25 0,25 0,5