b Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M thuộc C biết tiếp tuyến đú cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho cụsin gúc ãABI bằng 417 ,với I là giao 2 tiệm cận của
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MễN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phỳt.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 2 3
2
x y x
−
=
− đồ thị (C)
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị ( C).
b) Viết phương trỡnh tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến đú cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần
lượt tại A, B sao cho cụsin gúc ãABI bằng 417 ,với I là giao 2 tiệm cận của (C).
Cõu 2 (1,0 điểm) Giải phương trỡnh 3 sin cos 1
cos
x
Cõu 3 (1,0 điểm) Giải bất phương trỡnh 5+ − − − < − +x x 3 1 (5+x) (− −x 3)
Cõu 4 (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn:
8
3
ln 1
x
x
= +
Cõu 5 (1,0 điểm) Cho hỡnh chúp S ABCD cú SD vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD , đỏy ABCD là hỡnh thoi )
cạnh a cú BADã =1200 Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (SBD một gúc bằng ) α với cotα =3 Tớnh thể tớch khối chúp S ABCD và khoảng cỏch từ B đến mặt phẳng (SAC theo a.)
Cõu 6 (1,0 điểm) Cho 3 số dương x , y , z cú tổng bằng 1 Chứng minh bất đẳng thức :
2
3
≤ +
+ +
+
zx x
yz
yz z
xy
xy
II PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A.Theo chương trỡnh chuẩn
Cõu 7.a (1,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cõn tại A, phương trỡnh cỏc cạnh AB, BC lần lượt là: x+2y− =1 0và
3x y− + =5 0 Viết phương trỡnh cạnh AC biết AC đi qua điểm M(1;-3).
Cõu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 −2x+4y−6z−11=0
và mặt phẳng (α): 2x + 2y - z + 17 = 0 Viết phơng trình mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao
tuyến là đờng tròn có chu vi bằng 6π
Cõu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trỡnh: 2
log (x+1) =log (4− +x) log (4+x)
B.Theo chương trỡnh nõng cao
Cõu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d x1: + + = ,y 5 0
2 : 2 7 0
d x+ y- = và tam giỏc ABC cú (2;3) A , trọng tõm là điểm (2;0)G , điểm B thuộc d và điểm C thuộc 1 d 2
Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC
Cõu 8.b (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (∆): 1 2
x- =y- =z
phẳng ( ) : 2 - - 2Q x y z + = Tỡm toạ độ cỏc điểm thuộc đường thẳng 1 0 (∆) mà khoảng cỏch từ đú đến mặt phẳng
( )Q bằng 1
CõuVII.b (1,0 điểm) Tỡm số phức z thỏa món : +(1 i z) − 3 2 ( i z − +3 2i) =0
-Hết -Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh : ……… Số bỏo danh………
Trang 2
1
a) • Tập xác định: D=R\{ }2
• Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: ' 1 2
y x
−
=
− < 0, ∀ ∈x D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;2) và (2;+∞).
Giới hạn và tiệm cận: lim 2
→±∞ = ; tiệm cận ngang: y=2. lim2
+
2
lim
−
→ = −∞; tiệm cận đứng: x=2. Bảng biến thiên
• Đồ thị :
0.25
0.25
0.25
0.25
b)
0
2
x
− , x0 ≠2 Phương trình tiếp tuyến tại M: 2 0 0
1
x
−
0 0
2
x
x
− TCĐ, B x(2 0−2; 2) ( )= C ∩TCN .
17
4
IA tanABI
IB
= = .
Ta được IB2 =16.IA2 ⇔ 4
0
(x −2) =16 ⇔ x0 =0 ; x0 =4 Khi đó: Tại 3
(0; ) 2
M phương trình tiếp tuyến: 1 3
y= − x+ Tại 5
(4; ) 3
M phương trình tiếp tuyến: 1 7
y= − x+ .
0.25
0.25 0.25
0.25
2 Điều kiện: cosx≠0
Phương trình đã cho tương đương với:
x
0.25
0.5
8
6
4
2
-2
-4
y’
y
-+∞
−∞
2
-22
2
Trang 31 3 1
1 cos 2
⇔ − ÷=
3
x k
π π π
= +
⇔
=
( k∈¢ ), thỏa mãn điều kiện
3
x= +π kπ x k= π
( k∈¢ )
0.25
3 Điều kiện: − ≤ ≤ −5 x 3
Ta có:
+ − − − < − + + − −
⇔ + − − − + − + − − <
⇔ + + − − − <
⇔ − − − < ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < −
Đối chiếu với điều kiện ta được 5− ≤ < −x 4
Vậy bất phương trình có nghiệm: − ≤ < −5 x 4
0.25
0.5
0.25
4
Đặt
ln
1
dx
du x dx
dv
x
Khi đó
8 8 3 3
1
x
+
Xét
8
3
1
x
x
+
=∫
Đặt t = x+ ⇒1 2tdt dx= Đổi cận, với x=3 thì t=2; với x=8 thì t=3.
Khi đó
3
3 2 3
VậyI =6ln 8 4 ln 3 2 2 ln 3 ln 2− − ( + − ) =20 ln 2 6ln 3 4− − .
0.25
0.25 0.25
0.25
nên ∠ASO=(SA;(SBD)=α.
ADC ADC
ra
2
3 2
2
a S
2
, 2
AO
a
2
3 2
3 cot
OD SO SD
a AO
4
2 2
2
3
S SD
* Kẻ DH ⊥SO Vì AC⊥(SBD) nên AC ⊥DH Suy ra DH ⊥(SAC)
Ta có ∆SDO vuông tại D nên
2
2
a
Vì O là trung điểm BD nên d(B;(SAC))=d(D;(SAC))
2
2 )) (
;
0.25
0.25
0.25
0.25
A
D
B
C S
O H
a a
α
Trang 4( − )( − ) = − − ≤ − + −
= +
⇒
y
x x
y y
x x
y y
x
xy z
xy
xy
1 1
2
1 1
1 1
1
−
+
−
≤ +
−
+
−
≤
x x
z y
zx
zx z
y y
z x
yz
yz
1 1
2
1
; 1 1
2 1
2
3 1
1 1
2
+ +
−
+ +
−
+
≤
⇒
z
y x y
z x x
z y VT
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
1
0.25
0.25
0.25
7.a Đường thẳng AC có vec tơ pháp tuyến nur1=( )1; 2
Đường thẳng BC có vec tơ pháp tuyến nur1=(3; 1− )
Đường thẳng AC qua M(1; -3) nên có phương trình: a x( − +1) (b y+ =3) 0 (a2+b2 >0).
Tam giác ABC cân tại đỉnh A nên ta có:
a b
1 2
2 11
=
=
2
a= b , chọn a= 1, b = 2 ta được đường thẳng AC: x + 2y + 5 = 0 (loại vì khi đó
AC//AB)
11
a= b , chọn a = 2, b = 11 ta được đường thẳng AC: 2x + 11y + 31 = 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
8.a Do (β) // (α) nên (β) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D≠17).
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi 6π nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (β) là h = R2 −r2 = 52 −32 =4
=
−
=
⇔
= +
−
⇔
=
− + +
+
−
− +
(lo¹i) 17 D
7 D 12 D 5 4
) 1 ( 2 2
D 3 ) 2 ( 2 1 2
2 2
2
Vậy (β) có phương trình: 2x + 2y - z - 7 = 0
0.25 0.25 0.25
0.25
9.a
1
x x
− < <
≠
2
2
2
17 0
x
x
x
x
− < < −
2
2
0.25
0.5
0.25
7.b Do B ∈ d 1 nên B (m; - m – 5), C ∈ d 2 nên C (7 – 2n; n).
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên 2 7 2 3.2
ïï
íï - - + = ïî
Suy ra B (-1; -4), C(5; 1).
0.25 0.25
Trang 5Giả sử đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: x2+ +y2 2ax+2by c+ = 0
Do A, B, C ∈ (C) nên ta có hệ:
0
0.25
0.25
8.b
Gọi ( ; ; )M a b c là điểm cần tìm Do M Î D nên: ( ) 1 2 2 5
b c
=-ï
= Û íï
3
Ta có hệ phương trình:
- - 2 -5
a b
b c
a b c
íï
ïî
a b
b c
a b c
a b
b c
a b c
éìïïê = ïïê + = íêï
ïïêî
êïïêïïê + = íïê
ïïîë
-3 4 -6 9 -2 12
a b c a b c
éì =ïïê ïïê = íêï
ïê = ïïêî
Û êì = êïïêïïê = íïê
ïê = ïïîë Vậy có hai điểm cần tìm là: (-3;4;- 6),M M(9;- 2;12)
0.25 0.25
0.25
0.25
9.b
i z
i i
i
−
0.25
0.75