Theo ch ng trình chu n Câu VIa... Khi đó bán kính đ ng tròn là.
Trang 1TR NG I H C VINH KH O SÁT CH T L NG L P 12 L N 2, N M 2011
I.PH N CHUNH CHO T T C THÍ SINH(7 đi m)
Câu I (2,0 đi m)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (H) hàm s y x 1
x 2
− +
=
−
2. Tìm trên (H) các đi m A,B sao cho đ dài AB = 4 và đ ng th ng AB vuông góc v i đ ng th ng y = x. Câu II(2,0 đi m)
1. Gi i ph ng trình sin 2x cos x 3 cos 2x sin x ( )
0 2sin 2x 3
=
2. Gi i h ph ng trình x42 4x22 y 4y 2 2
Câu III.(1,0 đi m).Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s ( )
2
x ln x 2
y
4 x
+
=
− và tr c hoành.
Câu IV.(1,0 đi m) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t v i AB = a, AD = a 2 , góc gi a hai m t
ph ng (SAC) và (ABCD) b ng 60 0 . G i H là trung đi m c a AB.Bi t m t bên SAB là tam giác cân t i đ nh S và thu c m t ph ng vuông góc v i m t ph ng đáy. Tính th tích kh i chóp S.ABCD và bán kính m t c u ngo i ti p
hình chóp S.AHC
Câu V.(1,0 đi m) Cho các s th c d ng x, y, z tho mãn x2 +y2+z2 +2xy 3(x y z) = + + Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c P x y z 20 20
II. PH N RIÊNG (3,0 đi m)
a. Theo ch ng trình chu n
Câu VIa. (2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho tam giác ABC có ph ng trình ch a đ ng cao và đ ng trung tuy n k
t đ nh A l n l t có ph ng trình x – 2y – 13 = 0 và 13x – 6y – 9 = 0. Tìm to đ B,C bi t tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là I(5;1).
2. Trong không gian to đ Oxyz cho đi m A(1;0;0), B(2;1;2), C(1;1;3) và đ ng th ng
x 1 y z 2
:
− Vi t ph ng trình m t c u có tâm thu c đ ng th ng ∆, đi qua đi m A và c t m t
ph ng (ABC) theo m t đ ng tròn sao cho đ ng tròn có bán kính nh nh t
Câu VIIa. (1,0 đi m) Tìm s ph c z tho mãn z 3i 1 iz − = − và z 9
z
− là s thu n o.
b. Theo ch ng trình nâng cao
Câu VIb(2,0 đi m)
1. Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ng tròn (C): x2+y2 −4x 2y 15 0 + − = G i I là tâm đ ng tròn (C).
ng th ng ∆ đi qua M(1;3) c t (C) t i hai đi m A và B. Vi t ph ng trình đ ng th ng ∆ bi t tam giác IAB có di n tích b ng 8 và c nh AB là c nh l n nh t.
2. Trong không gian to đ Oxyz cho đi m M(1;1;0) và đ ng th ng : x 2 y 1 z 1
(P): x + y + z 2 = 0. Tìm to đ đi m A thu c m t ph ng (P) bi t đ ng th ng AM vuông góc v i ∆ và kho ng cách t A đ n đ ng th ng ∆ b ng 33
2 .
Câu VIIb.(1,0 đi m ) Cho các s ph c z1 , z2 tho mãn z z1− 2 = z1 = z2 > 0 Tính
A
= +
Trang 2TR NG I H C VINH
TR NG THPT CHUYÊN ÁP ÁN MÔN: TOÁN; Th i gian làm bài: 180 phút KH O SÁT CH T L NG L P 12 L N 2, N M 2011
1. (1,0 đi m)
a. T p xác đ nh: D = R \ { 2 }.
b. S bi n thiên:
* Chi u bi n thiên: Ta có 0 , 2
)
2 (
1 ' 2 > ∀ ≠
−
x
Suy ra hàm s đ ng bi n trên các kho ng (−∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ )
2
1 lim
−
+
−
= +∞
→ +∞
x
y
x
2
1 lim
−
+
−
=
−∞
→
−∞
x
y
x
+∞
=
−
+
−
=
−
1 lim
lim
2
x
y
x
−
+
−
= +
1 lim
lim
2
x
y
x
* Ti m c n: th có đ ng ti m c n ngang là y = − 1 ; đ ng ti m c n đ ng là x = 2 .
0,5
*B ng bi n thiên:
'
y
∞ +
1
∞
−
c. th :
th hàm s c t tr c hoành t i (1; 0),
c t tr c tung t i )
2
1
;
0 ( − và nh n giao
đi m I ( − 2 ; 1 ) c a hai ti m c n làm tâm
đ i x ng.
0,5
2. (1,0 đi m)
Vì đ ng th ng AB vuông góc v i y = x nên ph ng trình c a AB là y = − x + m .
Hoành đ c a A, B là nghi m c a ph ng trình x m
x
x = − +
−
+
−
2
1 , hay ph ng trình
2 ,
0
1
2 )
3 (
2 − m + x + m + = x ≠
Do ph ng trình (1) có ∆ = ( m + 3 ) 2 − 4 ( 2 m + 1 ) = m 2 − 2 m + 5 > 0 , ∀ m nên có hai nghi m
phân bi t x 1 , x 2 và c hai nghi m đ u khác 2. Theo đ nh lí Viet ta có
1
2
;
3 1 2
2
1 + x = m + x x = m +
x
0,5
I.
(2,0
đi m)
Theo gi thi t bài toán ta có 16 ( ) ( ) 2 16
1
2
2
1
2
2 = ⇔ x − x + y − y =
AB
.
1
3
0
3
2
8 )
1
2 (
4 )
3 (
8
4 ) (
8 ) (
16 ) (
) (
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
−
=
∨
=
⇔
=
−
−
⇔
= +
− +
⇔
=
− +
⇔
=
−
⇔
=
− + +
− +
−
⇔
m
m
m
m
m
m
x
x
x
x
x
x
m
x
m
x
x
x
* V i m = 3 ph ng trình (1) tr thành x 2 − 6 x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± 2 . Suy ra hai đi m A,
B c n tìm là ( 3 + 2 ; − 2 ), ( 3 − 2 ; 2 ) .
* V i m = − 1 ta có hai đi m A, B c n tìm là ( 1 + 2 ; − 2 − 2 ) và ( 1 − 2 ; − 2 + 2 ) .
V y c p đi m TM: ( 3 + 2 ; − 2 ), ( 3 − 2 ; 2 ) ho c ( 1 + 2 ; − 2 − 2 ) , ( 1 − 2 ; − 2 + 2 ) .
0,5
1. (1,0 đi m)
II.
(2,0 i u ki n: x ≠ ⇔ x ≠ π k + π
6
2
3
2
3 + ∈ Z
≠ k k
x π π
x
O 1
1
−
2
y
I
Trang 3Khi đó pt ⇔ sin 2 x + cos x − 3 (cos 2 x + sin x ) = 2 sin 2 x − 3
0 )
2 cos
3 )(sin
3 cos
2 (
0 )
2 cos
3 )(
3 cos
2 ( )
3 cos
2 ( sin
0
3 cos
2 cos
3 sin
3
2 sin
=
− +
+
⇔
=
− +
+ +
⇔
=
−
− +
+
⇔
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
0,5
+
=
+
±
=
⇔
=
+
−
=
⇔
π
π
π
π
6
2
6
5
1
3 sin
2
3
cos
k
x
k
x
x
x
i chi u đi u ki n, ta có nghi m c a ph ng trình là x = + k 2 , k ∈ Z
6
5π π .
0,5
2. (1,0 đi m)
H
= + +
=
− + +
⇔
23
6 )
2 (
10 )
2 ( )
2 (
2
2
2
2
y
y
x
y
x
t u = x 2 + 2 , v = y − 2 . Khi đó h tr thành
=
−
= +
=
= +
⇔
= + +
= +
⇔
= + + +
−
= +
67 ,
12
3 ,
4
19 ) (
4
10
23 )
2 (
6 )
4 )(
2 (
2
2
uv
v
u
uv
v
u
v
u
uv
v
u
v
v
u
v
đi m)
TH 1. u + v = − 12 , uv = 67 , h vô nghi m.
TH 2
=
= +
3
4
uv
v
u
, ta có
=
=
=
=
3 ,
1
1 ,
3
v
u
v
u
* V i
=
=
1
3
v
u
=
±
=
⇔
=
=
3
1
3
1
2
y
x
y
x
* V i
=
=
3
1
v
u
ta có
=
−
=
3
1
2
y
x
, h vô nghi m.
V y nghi m (x, y) c a h là ( 1 ; 3 ), ( −1 ; 3 ).
trình th nh t.
0,5
III.
(1,0
đi m)
−
=
=
⇔
=
−
+
1
0
0
4
)
2 ln(
x
x
x
là hình ph ng gi i h n b i các đ ng
.
0 ,
1 ,
0 ,
4
)
2 ln(
−
+
x
x
x
y
4
)
2 ln(
d
4
)
2
0
∫
−
+
−
=
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
v
x
4
d ),
2
−
−
= +
2
d
x
x
+
Theo công th c tích phân t ng ph n ta có
.
d
2
4
2
ln
2
d
2
4 )
2 ln(
1
2
0
1
2
1
0
2
∫
∫
−
−
−
−
= +
−
− +
−
x
x
x
x
x
x
x
S
0,5
Trang 4t x = 2 t sin . Khi đó d = x 2 cos t d t . Khi ;
6 , = − π
−
= t
x khi x = t 0 = , 0 .
3
2 ) cos (
2
d ) sin
1 (
2
d
2 sin
2
cos
4
d
2
0
0
6
2
0
1
2
− +
= +
=
−
= +
= +
−
−
−
π
π
t
t
t
t
t
t
t
x
x
x
I
3
3
2
2
ln
2 − + − π
=
S
0,5
+) T gi thi t suy ra SH ⊥ (ABCD ).
V HF ⊥ AC ( F ∈ AC ) ⇒ SF ⊥ AC
(đ nh lí ba đ ng vuông góc).
Suy ra ∠SFH = 60 0 .
K BE ⊥ AC ( E ∈ AC ). Khi đó
3
2
2
2
1 BE a
HF = =
Ta có SH = HF tan 60 0 =
2
2
a
3
.
3
V S ABCD = ABCD =
0,5
IV.
(1,0
đi m
+) G i J, r l n l t là tâm và bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác AHC. Ta có
.
2
4
3
3
2
.
4
.
S
AC
HC
AH
S
AC
HC
AH
r
ABC AHC
=
=
=
K đ ng th ng ∆ qua J và ∆ // SH . Khi đó tâm I c a m t c u ngo i ti p hình chóp AHC
S. là giao đi m c a đ ng trung tr c đo n SH và ∆ trong m t ph ng (SHJ). Ta có
.
4
2
2
2
IJ
IH = + = + Suy ra bán kính m t c u là
32
31
a
R =
Chú ý: HS có th gi i b ng ph ng pháp t a đ
0,5
2
1 )
( ) (
3 x + y + z = x + y 2 + z 2 ≥ x + y + z 2 Suy ra x + y + z ≤ 6 .
0,5
V.
(1,0
đi m Khi đó, áp d ng B T Côsi ta có
2
2
1
1
4
2
8
2
8 )
2 (
8
8 )
+
+ +
+
+
+ + + + +
+
+ + + +
=
y
z
x
y
y
y
z
x
z
x
z
x
P
.
26
2
2
8
22
2 )
2 )(
(
8
12
12
+ + + +
≥
− + + + +
≥
z
y
x
y
z
x
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1 , y = 2 , z = 3 .
V y giá tr nh nh t c a P là 26, đ t đ c khi x = 1 , y = 2 , z = 3 .
0,5
1. (1,0 đi m)
Ta có A ( −3 ; − 8 ). G i M là trung đi m BC
AH
IM //
⇒ Ta suy ra pt IM : x − y 2 + 7 = 0 .
Suy ra t a đ M th a mãn
).
5
;
3 (
0
9
6
13
0
7
2
M
y
x
y
x
⇒
=
−
−
= +
VIa.
(2,0
đi m)
Pt đ ng th ng BC : 2 ( x − 3 ) + y − 5 = 0 ⇔ 2 x + y − 11 = 0 . B ∈BC ⇒ B ( a ; 11 − 2 a ). Khi đó
0,5
B
A
H M
I
C
B
A
S
D
C
E
F
J
I
K
H
Trang 5
=
=
⇔
= +
−
⇔
=
2
4
0
8
6
2
a
a
a
a
IB
IA T đó suy ra B ( 4 ; 3 ), C ( 2 ; 7 ) ho c B ( 2 ; 7 ), C ( 4 ; 3 ).
2. (1,0 đi m)
Ta có AB ( 1 ; − 1 ; 2 ), AC ( − 2 ; 1 ; − 3 ). Suy ra pt ( ABC ) : x − y − z − 1 = 0 .
G i tâm m t c u I ∈ ∆ ⇒ I ( 1 − t ; 2 t ; 2 + 2 t ) . Khi đó bán kính đ ng tròn là
.
2
3
6 )
1 (
2
3
8
4
2 )) ( ,
2
r
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi t = − 1
0,5
Khi đó I ( 2 ; − 2 ; 0 ), IA = 5 . Suy ra pt m t c u ( x − 2 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + z 2 = 5 . 0,5
t z = a + bi ( a , b ∈ R ). Ta có | z − 3 i | = | 1 − i z | t ng đ ng v i
|
1
|
| )
3 (
|
| ) (
1
|
| )
3 (
| a + b − i = − i a − bi ⇔ a + b − i = − b − ai
2 )
( )
1 ( )
3
2 + − = − + − ⇔ =
VIIa.
(1,0
đi m)
Khi đó
4
)
26
2 (
5
4
)
2 (
9
2
2
9
2
9
2
2
3
+ +
−
= +
−
− +
= +
− +
=
−
a
i
a
a
a
a
i
a
i
a
i
a
i
a
z
ch khi a 3 − a 5 = 0 hay a = a 0 , = ± 5 .
V y các s ph c c n tìm là z = 2 i , z = 5 + 2 i , z = − 5 + 2 i .
0,5
1. (1,0 đi m)
ng tròn (C) có tâm I ( − 2 ; 1 ), bán kính R = 2 5 . G i H
là trung đi m AB. t AH = x ( 0 < x < 2 5 ). Khi đó ta có
2
x
=
nên AH = 4 ⇒ IH = 2 .
0,5
Pt đ ng th ng qua M: a ( x − 1 ) + b ( y + 3 ) = 0 ( a 2 + b 2 ≠ 0 )
.
0
3 − = +
+
⇔ ax by b a
b
a
b
a
IH
AB
I
d
3
4
0
0 )
4
3 (
2
|
2
|
2 )
,
+
+
⇔
=
* V i a = 0 ta có pt ∆ y : + 3 = 0 .
3
4 b
a = Ch n b = 3 ta có a = 4 Suy ra pt ∆ : 4 x + 3 y + 5 = 0 .
V y có hai đ ng th ng ∆ th a mãn là y + 3 = 0 và 4 x + y 3 + 5 = 0 .
0,5
2. (1,0 đi m)
G i (Q) là m t ph ng qua M và vuông góc v i ∆. Khi đó pt ( Q ) : 2 x − y + z − 3 = 0 . Ta có
).
1
;
1
;
1 ( ),
1
;
1
;
2
n − T gi thi t suy ra A thu c giao tuy n d c a (P) và (Q) Khi đó
)
3
;
1
;
2 ( ] ,
= P Q
d n n
u và N ( 1 ; 0 ; 1 ) ∈ d nên pt c a
−
=
=
+
=
t
z
t
y
t
x
d
3
1
2
1
Vì A∈ d suy ra A ( 1 + 2 t ; t ; 1 − 3 t ).
0,5
VIb.
(2,0
đi m)
G i H là giao đi m c a ∆ và m t ph ng (Q). Suy ra ).
2
1
;
2
1
;
1
( −
H
Ta có
7
8
1
0
16
2
14
2
33 )
, ( A ∆ = AH = ⇔ t 2 − t − = ⇔ t = − ∨ t =
Suy ra A ( − −1 ; 1 ; 4 ) ho c ).
7
17
;
7
8
;
7
23 ( −
A
0,5
VIIb.
(1,0
đi m)
z
z =
2
1 ta đ c | z 2 w − z 2 | = | z 2 w | = | z 2 | > 0 . Hay | w − 1 | = | w | = 1 .
M
I
A
Trang 61 )
1 ( a − 2 + b 2 = a 2 + b 2 = hay
2
3 ,
2
1 = ±
= b
a
3
sin
3
cos
2
3
2
3
4 sin
3
4 cos
3
4 sin
3
4 cos
w = −
3
4 cos
2 = −
2
3
2
1 −
= , t ng t ta c ng có A = − 1 .
Chú ý: HS có th gi i theo cách bi n đ i theo d ng đ i s c a s ph c.
0,5