ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI ĐẠI HỌC-CAO ĐẲNG 2011
Môn: Toán A- Năm học: 2010 – 2011
\{ } 2
• Chiều biến thiên:
'
y
' 0, D
y < ∀ ∈ x TX ⇒ hàm số nghịch biến với mọi x TXD ∈
• Tiệm cận:
1
2
lim
x
y
→ = ∞ ⇒ đồ thị có tiệm cận ngang 1
2
x =
1
lim
2
x
x y
x
→∞
− +
1 2
y = −
• Bảng biến thiên:
Đồ thị cắt trục hoành tại A(0;-1)
2 Giao điểm của đường thẳng y=x+m với ( C ) là nghiệm của pt:
1 2x 1
x
x m + = − +
−
1 2x 1
x
x m + = − +
−
Trang 2
2
1 2 3x 2 x 1 0(1)
x
m m
1 2 3x 2 x 1 0(1)
x
m m
Xét pt (1) có:
' m 2( m 1) ( m 1) 1 0 m
∆ = + + = + + > ∀ ∆ = ' m2 + 2( m + = 1) ( m + 1)2 + > ∀ 1 0 m
Mà
2
2 + m 2 − − ≠ m 1 2 1
2 + m 2 − − ≠ m
Pt(1) luôn có 2 nghiệm phân biệt
( c ) luôn cắt đường thẳng y=x+m tại 2 điểm phân biệt
Gọi A(x1;y1); B(x2;y2) trong đó x1;x2 là nghiệm của (1)
2 1
2 2
1 1
(2x 1) 1 2
(2x 1)
k
k
2 1
2 2
1 1
(2x 1) 1 2
(2x 1)
k
k
Mà x1+x2=-m; x1 x2=-(m+1)/2 k1+k2=− (4 m2 + 8 m + 6) − (4 m2 + 8 m + 6)
Vì − (4 m2 + 8 m + 6)=(4 m2 + 8 m + = 6) 4( m + 1)2 + ≥ 2 2 dấu = xảy ra khi và chỉ khi m=-1
Max(k1+k2) = -2 tương đương m=-1
1 sin 2 os2
2 sin sin 2
1 os2
x c x
x x
c x
+
2 2
sin os 2sin cos os sin
2 sinx.2sin cos os
1 sin
x x
c x x
+ 2
2
2
(sinx cos ) (sin cos )(cos sin )
2 2 sin cos sin cos
sin
x x
x
+
2 2
(sin cos ).2cos
2 2 sin cos 1
sin
x x x
+
2
cos sin (sin x x x cos x 2) 0
4
x
= +
=
x y xy y x y
xy x y x y
Trang 32 2 2 2
1
2
xy x y x y xy
x y xy
xy
x y
=
⇔ + =
TH1: xy = 1
3 3
3
2
2
1
1 0
1 1
1
y x y
y
y y
y
x y y
x y
= =
⇔ = ⇔ = = −
TH2:x2+ y2 = 2
x y xy y x y x y
x y xy y x y xy x y
x x y xy y
⇒ = ⇔ = (vô lý vì x2+ y2 = 2
x y xy y x y
xy x y x y
1 2
xy x y x y xy
x y xy
xy
x y
=
⇔ + =
TH1: xy = 1
3 3
3
2
2
1
1 0 1 1 1 1 1
y x y
y
y y
y
y
y
x
y
x
=
=
⇔ = −
= −
Trang 4TH2:x2+ y2 = 2
x y xy y x y x y
x y xy y x y xy x y
x x y xy y
Nếu y=0 ⇒ x3 = ⇔ = 0 x 0(vô lý vì x2+ y2 = 2
Nếu:
{ {
2
2
2
2 2
5 2
2
2 5 2 2 5 2 5 2 2 5 1 1
y
x
x y
x
x y y
x
y
x
x y
x y
≠ ⇔ ÷ − ÷ + ÷ − =
⇔ − ÷ − ÷ =
=
=
=
⇔ = −
= −
= =
= = −
Vậy nghiệm của phương trình là
(1;1),( 1; 1), (2 ; ),( 2 ; )
= +
Trang 5=
Trang 6AB BC 2a
2 2
Do 2 mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC)
⇒SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Do góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60 ° Đồng thời AB và SB đều vuông góc với BC
⇒ SBA ¼ = 60o ⇒ SB 4a = và SA = 2 3 a.
Diện tích
2
1 2 2 2 2
SAB a a a
Diện tích đáy
.2
MNBC = a = a
Thể tích khổi
S BCNH = a a = a
Gọi P là trung điểm BC
⇒ Khoảng cách giữa AB và SN chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SNP )
Diện tích tam giác ANP bẳng ¼ diện tích ∆ ABC
.2 3 2
Ta có:
2 3.
SA = a và AH = a và ∆ SAH vuông tại A
2
13.
SNP
⇒ Khoảng cách cần tìm là:
2 39
13 a
Trang 7V Đặt:
;
y a
x = x b ;
z = z c ;
y = 1
abc
Có
P
1;
x bc y
y ≤ ⇒ ≤
Ta c/m:
2
b c
b c bc bc
+ +
3
bc P
bc
Đặt t = bc , (2 ≥ ≥ t 1)
2 2
min
2 ( )
'( ) 0 2
4 2 34 ( )
11 3 33
t
f t
f t
= ⇔ =
1 Gọi B có tọa độ là (a,b,c)B €(S) nên
Ta có mà tam giác ABC là tam giác đều
=>
=>
Từ (1)(2) => 4(a+b+c) = 32
a+b+c =8
mà a+b =4
c=4
Nếu a=0 => b=4
Trang 8Nếu b=0 => a=4
=>Tọa độ của B là (0,4,4) hoặc (4,0,4)
Nếu B=(0,4,4) => = (-4,0,4)
= (4,4,0)
[ ]=(-16;16;-16) = -16(1;-1;1)
=>vec tơ pháp tuyến của mp(OAB) là (1;-1;1)
=>mp(OAB) đi qua O có vec tơ pháp tuyến (1;-1;1)
Có phương trình là x-y+z =0
Nếu B=(0,4,4) => = (0,-4,4)
= (4,4,0)
[ ]=(-16;16;16) = -16(1;-1;-1)
=>vec tơ pháp tuyến của mp(OAB) là (1;-1;-1)
=>mp(OAB) đi qua O có vec tơ pháp tuyến (1;-1;-1)
Có phương trình là x-y-z =0
Vậy phương trình mp(OAB) là x-y+z = 0 hoặc x-y-z=0
A
2
Ta có:
(C):
<=>
=>(C) có tâm I(2;1),bán kính
Vì SMAIB = 10 nên SMAI = 5
=> => MI = 5(Theo định lý Pitago)
=>M là giao điểm của đường tròn tâm I bán kính IM:(C’):
Với
B
1 Lấy M là trung điểm của AB Do Đặt M=(x cân tại O nên M thuộc Ox.
0;0)
=>phương trình đường thẳng AB là x=x0
Khi đó lấy A=( x0,yA) ; B=( x0,-yA) ; => AB=|2yA| (lấy ya>0) Khi đó SOAB=1/2.OM.AB= 1/2x0|2yA|=x0yA
=> SOAB=x0 =2 <= ( )2 + 1 -
Dấu = xảy ra x0= => yA=
B
2 Nếu B(0,4,4) =>
[ ]=(-16,16,-16)=-16(1,-1,1)
Vector pháp tuyến của mp(OAB) là (1,-1,1) Mặt phẳng OAB đi qua O có vector pháp tuyến là (1,-1,1) có phương trình là x-y+z=0
Trang 9Nếu B(4,0,4) =>
[ ]=(-16,16,-16)=-16(1,-1,1)
Vector pháp tuyến của mp(OAB) là (1,-1,-1) Mặt phẳng OAB đi qua O có vector pháp tuyến là (1,-1,-1) có phương trình là x-y-z=0
Vậy phương trình OAB là z-y+z=0 hoặc x-y-z=0
VII a Tìm phần ảo số phức z biết 2 +
Đặt z = a+ib (a, b thuộc R )
Ta có z2 = a2 + b2 => Từ z2= 2+z a2+b2+2iab= a2+b2+a-ib
Từ (2) => b=0 hoặc a= -1/2 b=0=> a=0 theo (1) a = -1/2 => b = ±1/2
Vậy tất cả các số phức là : {0; -1/2 +1/2 *I; -1/2 -1/2 *i }
b 2) Từ
=>
Lấy z = a + ib
=>
=>
=>
a = -b = => z= =>
