Lí thuyết đồ thị part 7 doc

Trong d¯ˆo` thi.. Euler nˆen d¯ˆo... Dˆe˜ thˆa´y rˇa`ng, chu tr`ınh Hamilton l`a chu tr`ınh so... Ta biˆe´t rˇa`ng h`ınh thˆa.p nhi... j khi cˆong viˆe.c th´u.. Trung Hoa, ngoa.i tr`u...

1, ¯ e 0

q cu˙’a ¯e1, ¯ e2, , ¯ e q ta nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t d¯ˆo` thi Euler m´o.i c´o tˆo˙’ng tro.ng lu.o ng nho˙’

Bˆay gi`o x´et d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ K(V1) trˆen tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh V1 trong d¯´o c´ac ca.nh thˆem v`ao

(v i , v j ) c´o tro.ng lu.o ng w ij bˇa`ng d¯ˆo d`ai cu˙’a dˆay chuyˆe` n nho˙’ nhˆa´t trong G gi˜u.a hai d¯ı˙’nh v i v`a v j Khi d¯´o mˆo˜i ca.nh cu˙’a K(V1) tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t dˆay chuyˆe` n trong G V`ı w(e) ≥ 0 v´o.i mo.i ca.nh e ∈ E nˆen wij c´o thˆe˙’ d¯u.o c x´ac d¯i.nh bˇa`ng thuˆa.t to´an t`ım d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t,chˇa˙’ng ha.n Floyd (xem 3.3.2) hay Dantzig [16]

D- i.nh l´y 5.2.3 Tˆo`n ta.i tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t gi˜u.a l`o.i gia˙’i tˆo´i u.u cu˙’a b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a

tˆa.p c´ac ca.nh thˆem v`ao G Theo Bˆo˙’ d¯ˆe` 5.2.1 ta c´o thˆe˙’ thiˆe´t lˆa.p tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo˜i d¯ı˙’nh

v i ∈ V1 v´o.i mˆo.t d¯ı˙’nh v j ∈ V1 bˇa`ng mˆo.t dˆay chuyˆe` n so cˆa´p µ ij m`a c´ac ca.nh thuˆo.c E 0 Theo

Bˆo˙’ d¯ˆe` 5.2.2, µ ij c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t Trong d¯ˆo` thi K(V1) c´ac dˆay chuyˆe` n µ ij tu.o.ng ´u.ng ca.nh

(vi , v j) Do d¯´o tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a V1 d¯u.o c kˆe´t ho p, hai v´o.i hai, v`a c´ac ca.nh (v i , v j) tu.o.ng

´u.ng dˆay chuyˆe` n µ ij cu˙’a G 0 , ta.o th`anh mˆo.t cˇa.p gh´ep ho`an ha˙’o K cu˙’a d¯ˆo` thi K(V1) (Trong

d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ v´o.i sˆo´ chˇa˜n d¯ı˙’nh luˆon luˆon tˆo`n ta.i mˆo.t cˇa.p gh´ep ho`an ha˙’o; xem Phˆa`n 7.5)

V`ı tro.ng lu.o ng cu˙’a cˇa.p gh´ep ho`an ha˙’o K bˇa`ng tˆo˙’ng c´ac tro.ng lu.o ng cu˙’a c´ac ca.nh cu˙’a E 0 nˆen l`o.i gia˙’i cu˙’a b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu Trung Hoa l`a tˆo´i u.u nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u K l`a mˆo.t cˇa.p

gh´ep ho`an ha˙’o v´o.i tro.ng lu.o ng nho˙’ nhˆa´t Ta c´o d¯iˆe` u pha˙’i ch´u.ng minh /

Do d¯´o nghiˆe.m cu˙’a b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu Trung Hoa d¯u.a vˆe` b`ai to´an t`ım mˆo.t cˇa.p

gh´ep ho`an ha˙’o c´o tro.ng lu.o ng nho˙’ nhˆa´t cu˙’a d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ K n Viˆe.c x´ac d¯i.nh nghiˆe.m cu˙’a

b`ai to´an sau l`a mˆo.t thuˆa.t to´an kh´a ph´u.c ta.p v`a do d¯´o s˜e khˆong d¯u.o c tr`ınh b`ay o.˙’ d¯ˆay Ba.nd¯o.c quan tˆam c´o thˆe˙’ tham kha˙’o c´ac t`ai liˆe.u [14], [30]

Nhˆa.n x´et 5.2.4 Nˆe´u tˆo`n ta.i ca.nh e trong G sao cho w(e) < 0 th`ı b`ai to´an khˆong c´o nghiˆe.m tˆo´i u.u: Thˆa.t vˆa.y, bˇa`ng c´ach thˆem mˆo.t tˆa.p E 0 h˜u.u ha.n c´ac ba˙’n sao cu˙’a c´ac ca.nh cu˙’a G ta c´o thˆe˙’ thˆem ca.nh e mˆo.t sˆo´ chˇa˜n lˆa`n d¯u˙’ l´o.n, v`a do d¯´o nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t d¯ˆo` thi Euler v´o.i d¯ˆo.

d`ai nho˙’ tu`y ´y Vˆa.y gia˙’ thiˆe´t c´ac ca.nh c´o tro.ng lu.o ng khˆong ˆam l`a khˆong mˆa´t t´ınh tˆo˙’ngqu´at d¯ˆe˙’ loa.i tr`u tru.`o.ng ho p tˆa`m thu.`o.ng n`ay

V´ı du 5.2.5 X´et d¯ˆo` thi trong H`ınh 5.3 v´o.i c´ac sˆo´ trˆen c´ac ca.nh l`a tro.ng lu.o ng ca.nh Tacˆa` n t`ım mˆo.t chu tr`ınh qua mˆo˜i ca.nh ´ıt nhˆa´t mˆo.t lˆa`n v`a c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t

Tˆo˙’ng c´ac tro.ng lu.o ng c´ac ca.nh cu˙’a G bˇa`ng 31 V`ı G khˆong l`a d¯ˆo` thi Euler nˆen d¯ˆo d`ai

cu˙’a chu tr`ınh cˆa` n t`ım s˜e l´o.n ho.n 31

3

3

2

3

2

2

4

4

1

m 5 m 1 m 6 m 4 m 7 m 2 m 3 H`ınh 5.3: Tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh bˆa.c le˙’ l`a V1 = {1, 2, 3, 4} Theo thuˆa.t to´an t`ım d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t (xem Chu.o.ng 3), ta t`ım tˆa´t ca˙’ c´ac dˆay chuyˆe` n c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t gi˜u.a c´ac cˇa.p d¯ı˙’nh cu˙’a V1 trong G Ta nhˆa.n d¯u.o c m`a trˆa.n d¯ˆo d`ai d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t:     1 2 3 4 1 0 4 5 7 2 4 0 2 5 3 5 2 0 3 4 7 5 3 0     Tiˆe´p d¯ˆe´n ta xˆay du ng d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ K(V1) trong d¯´o tro.ng lu.o ng ca.nh (v i , v j) l`a d¯ˆo d`ai cu˙’a dˆay chuyˆe` n ngˇa´n nhˆa´t gi˜u.a v i v`a v j (xem H`ınh 5.4) 3

4

7

2

5

5

m

4

m

1

m

3

m

2

H`ınh 5.4: D- ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ K(V1).

Cˇa.p gh´ep ho`an ha˙’o v´o.i tro.ng lu.o ng nho˙’ nhˆa´t trˆen K(V1) gˆo`m c´ac ca.nh (1, 2) v`a (3, 4) (tro.ng lu.o ng bˇa`ng 4 + 3 = 7) C´ac dˆay chuyˆe ` n tu.o.ng ´u.ng l`a {1, 7, 2} v`a {3, 4}.

Nghiˆe.m tˆo´i u.u cu˙’a b`ai to´an nhˆa.n d¯u.o c bˇa`ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo` thi ban d¯ˆa`u c´ac ca.nh

(1, 7), (7, 2) v`a (3, 4) D - ˆo` thi G 0 nhˆa.n d¯u.o c l`a d¯ˆo` thi Euler (H`ınh 5.5)

m 5 m 1 m 6 m 4 m 7 m 2 m 3

H`ınh 5.5: D- ˆo` thi Euler G 0 nhˆa.n d¯u.o c t`u G bˇa`ng c´ach thˆem c´ac ca.nh tu.o.ng ´u.ng c´ac dˆay

chuyˆe` n nho˙’ nhˆa´t gi˜u.a 1 v`a 2 v`a gi˜u.a 3 v`a 4

Cuˆo´i c`ung ta chı˙’ cˆa` n t`ım mˆo.t chu tr`ınh Euler trong G 0 , chˇa˙’ng ha.n

{6, 2, 3, 7, 2, 7, 1, 7, 4, 5, 1, 6}

l`a chu tr`ınh c´o d¯ˆo d`ai 31 + 7 = 38 l`a nghiˆe.m tˆo´i u.u cˆa`n t`ım

5.3 B` ai to´ an Hamilton

Gia˙’ su.˙’ G := (V, E) l`a d¯ˆo` thi liˆen thˆong (hay liˆen thˆong ma.nh trong tru.`o.ng ho p c´o hu.´o.ng)

c´o n d¯ı˙’nh.

D- i.nh ngh˜ıa 5.3.1 Dˆay chuyˆe`n (hay d¯u.`o.ng d¯i) d¯i qua tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a d¯ˆo` thi G, mˆo˜i d¯ı˙’nh mˆo.t lˆa`n, go.i l`a dˆay chuyˆe ` n Hamilton (hay d¯u.`o.ng d¯i Hamilton).

Theo d¯i.nh ngh˜ıa, dˆay chuyˆe` n (hay d¯u.`o.ng d¯i Hamilton) l`a so cˆa´p, v`a c´o d¯ˆo d`ai (n − 1).

Chu tr`ınh (hay ma.ch) Hamilton l`a mˆo.t chu tr`ınh (hay ma.ch) d¯i qua tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh

cu˙’a d¯ˆo` thi G, mˆo˜i d¯ı˙’nh d¯´ung mˆo.t lˆa`n Dˆe˜ thˆa´y rˇa`ng, chu tr`ınh Hamilton l`a chu tr`ınh so cˆa´p c´o d¯ˆo d`ai n Ta n´oi rˇa`ng, G l`a d¯ˆo` thi Hamilton nˆe´u n´o ch´u.a mˆo.t chu tr`ınh Hamilton (trong

tru.`o.ng ho p vˆo hu.´o.ng) hoˇa.c mˆo.t ma.ch Hamilton (trong tru.`o.ng ho p c´o hu.´o.ng)

V´ı du 5.3.2 Nˇam 1859, nh`a to´an ho.c Hamilton (1805-1865) ngu.`o.i Ailen d¯˜a cho b´an mˆo.t d¯ˆo` cho.i d¯ˆo.c d¯´ao, phˆa`n ch´ınh l`a mˆo.t khˆo´i nhi diˆe.n d¯ˆe`u (khˆo´i d¯a diˆe.n c´o 12 mˇa.t ng˜u gi´ac d¯ˆe`u v`a 20 d¯ı˙’nh, mˆo˜i d¯ı˙’nh c´o 3 ca.nh) l`am bˇa`ng gˆo˜ O˙’ mˆo˜i d¯ı˙’nh c´o ghi tˆen mˆo.t th`anh phˆo´ l´o.n:. Beruych, Qua˙’ng chˆau, Deli, Frangfua, v.v C´ach cho.i l`a t`ım mˆo.t d¯u.`o.ng d¯i do.c theo c´ac

ca.nh cu˙’a thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u v`a qua mˆo˜i d¯ı˙’nh (th`anh phˆo´) v`u.a d¯´ung mˆo.t lˆa`n Muˆo´n tr`o cho.i d¯u.o c hˆa´p dˆa˜n ho.n c´o thˆe˙’ quy d¯i.nh tru.´o.c tr`ınh tu qua mˆo.t v`ai th`anh phˆo´ d¯ˆa`u tiˆen, v`a d¯ˆe˙’ gi´up nh´o dˆe˜ d`ang c´ac th`anh phˆo´ d¯˜a d¯i qua, o.˙’ mˆo˜i d¯ı˙’nh cu˙’a khˆo´i thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u c´o d¯´ong mˆo.t chiˆe´c d¯inh m˜u to, quanh d¯´o c´o thˆe˙’ quˆa´n so i dˆay nho˙’ d¯ˆe˙’ chı˙’ d¯oa.n d¯u.`o.ng d¯˜a d¯i qua Vˆe` sau d¯ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n, Hamilton d¯˜a thay khˆo´i thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u bˇa`ng mˆo.t h`ınh phˇa˙’ng B`ai to´an d¯u.o c ph´at biˆe˙’u du.´o.i da.ng d¯ˆo` thi nhu sau Ta biˆe´t rˇa`ng h`ınh thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u c´o 12 mˇa.t,

30 ca.nh, 20 d¯ı˙’nh; mˆo˜i mˇa.t l`a mˆo.t ng˜u gi´ac d¯ˆe` u, mˆo˜i d¯ı˙’nh l`a d¯ˆa` u m´ut cu˙’a 3 ca.nh C´ac d¯ı˙’nh v`a c´ac ca.nh cu˙’a h`ınh thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u lˆa.p th`anh mˆo.t d¯ˆo` thi nhu H`ınh 5.6 B`ai to´an d¯ˇa.t

ra l`a h˜ay t`ım mˆo.t chu tr`ınh Hamilton cu˙’a d¯ˆo` thi G

•

•

•

. •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

H`ınh 5.6: H`anh tr`ınh xung quanh thˆe´ gi´o.i (khˆo´i thˆa.p nhi diˆe.n d¯ˆe` u) cu˙’a Hamilton

V´ı du 5.3.3 (B`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang) Mˆo.t ngu.`o.i ch`ao h`ang viˆe´ng thˇam n kh´ach h`ang

khoa˙’ng c´ach d 0j t`u v0 d¯ˆe´n tˆa´t ca˙’ c´ac kh´ach h`ang vj v`a khoa˙’ng c´ach dij gi˜u.a hai kh´ach h`ang

v i v`a v j (d¯ˇa.t dij = d ji ).

Ngu.`o.i ch`ao h`ang cˆa` n d¯i d¯ˆe´n c´ac kh´ach h`ang cu˙’a m`ınh theo th´u tu n`ao d¯ˆe˙’ tˆo˙’ng qu˜ang d¯u.`o.ng d¯i l`a nho˙’ nhˆa´t? N´oi c´ach kh´ac cˆa` n t`ım mˆo.t chu tr`ınh Hamilton v´o.i d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t trˆen d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ c´o tro.ng sˆo´ d¯u.o c xˆay du ng t`u tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh v0, v1, v2, , v n , v`a tro.ng

lu.o ng ca.nh (vi , v j ) l`a d ij Vˆe` c´ac thuˆa.t to´an gia˙’i b`ai to´an n`ay c´o thˆe˙’ xem, chˇa˙’ng ha.n [30]

Trong tru.`o.ng ho p d¯ı˙’nh cuˆo´i v n+1 kh´ac d¯ı˙’nh xuˆa´t ph´at v0, b`ai to´an d¯u.a vˆe` t`ım dˆay chuyˆe` n Hamilton t`u v0 d¯ˆe´n v n+1 c´o tˆo˙’ng d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t Bˇa`ng c´ach biˆe´n d¯ˆo˙’i mˆo.t c´ach th´ıch ho p trˆen d¯ˆo` thi., ta c´o thˆe˙’ d¯u.a vˆe` b`ai to´an t`ım chu tr`ınh Hamilton c´o tˆo˙’ng d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t

V´ı du 5.3.4 (B`ai to´an lˆa.p li.ch) Trong mˆo.t sˆo´ b`ai to´an lˆa.p li.ch, ta cˆa`n t`ım mˆo.t th´u tu thu c hiˆe.n n tiˆe´n tr`ınh cho tru.´o.c (hai tiˆe´n tr`ınh khˆong d¯u.o c thu c hiˆe.n c`ung mˆo.t l´uc) v`a thoa˙’ m˜an nh˜u.ng r`ang buˆo.c nhˆa´t d¯i.nh; bˇa`ng c´ach xˆay du ng d¯ˆo` thi G trong d¯´o tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a

V´ı du 5.3.5 (Lˆa.p li.ch v`a b`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng) Trong thu c tˆe´

ta thu.`o.ng lˆa.p kˆe´ hoa.ch m`a mˆo˜i cung (v i , v j ), biˆe˙’u diˆe˜n mˆo.t r`ang buˆo.c n`ao d¯´o, gˇa´n v´o.i mˆo.t sˆo´ thu c t ij l`a khoa˙’ng th`o.i gian ´ıt nhˆa´t c´o thˆe˙’ bˇa´t d¯ˆa` u thu c hiˆe.n cˆong viˆe.c th´u j khi cˆong viˆe.c th´u i d¯˜a tiˆe´n h`anh.

Th`o.i gian nho˙’ nhˆa´t d¯ˆe˙’ thu c hiˆe.n tˆa´t ca˙’ c´ac tiˆe´n tr`ınh d¯u.o c x´ac d¯i.nh bˇa`ng c´ach t`ımmˆo.t d¯u.`o.ng d¯i Hamilton c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t trˆen d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng D- ˆay ch´ınh l`a b`ai to´anngu.`o.i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng Vˆe` thuˆa.t to´an gia˙’i b`ai to´an n`ay c´o thˆe˙’ xem, chˇa˙’ngha.n [30]

B`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo` thi vˆo hu.´o.ng hoˇa.c c´o hu.´o.ng thu.`o.ng gˇa.p trong cuˆo.csˆo´ng v`a c´o nhiˆe` u ´u.ng du.ng: lˆa.p th`o.i kho´a biˆe˙’u, lˆa.p li.ch, lˇa´p d¯ˇa.t hˆe thˆo´ng d¯iˆe.n, tˆo˙’ng ho pc´ac ma.ch logic tuˆa`n tu , v.v

Ngo`ai ra, nhiˆe` u b`ai to´an c´o thˆe˙’ d¯u.a vˆe` b`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang: b`ai to´an nhiˆe` u ngu.`o.ich`ao h`ang, mˆo.t v`ai b`ai to´an t`ım d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t v´o.i d¯iˆe` u kiˆe.n qua tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh (haycung) cu˙’a mˆo.t tˆa.p cho tru.´o.c chı˙’ mˆo.t lˆa`n, c´ac chu tr`ınh (hay ma.ch) Euler c´o chi ph´ı nho˙’nhˆa´t

Cuˆo´i c`ung, ta c´o thˆe˙’ chı˙’ ra rˇa`ng, b`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng c´othˆe˙’ d¯u.a vˆe` tru.`o.ng ho p d¯ˆo` thi vˆo hu.´o.ng

Tr´ai v´o.i b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu Trung Hoa, ngoa.i tr`u nh˜u.ng tru.`o.ng ho p d¯ˇa.c biˆe.t,ngu.`o.i ta chu.a t`ım d¯u.o c mˆo.t thuˆa.t to´an d¯a th´u.c d¯ˆe˙’ gia˙’i b`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang C´acthuˆa.t to´an hiˆe.u qua˙’ nhˆa´t su.˙’ du.ng c´ac phu.o.ng ph´ap nh´anh v`a cˆa.n [30]

D- i.nh ngh˜ıa 5.3.6 Mˆo.t chu tr`ınh (tu.o.ng ´u.ng, ma.ch) d¯i qua tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh, mˆo˜i d¯ı˙’nh ´ıt

nhˆa´t mˆo.t lˆa`n, go.i l`a chu tr`ınh (tu.o.ng ´u.ng, ma.ch) tiˆe ` n Hamilton D - ˆo` thi G ch´u.a mˆo.t chu tr`ınh hay ma.ch nhu vˆa.y go.i l`a d¯ˆo` thi tiˆe ` n Hamilton Dˆe˜ thˆa´y rˇa`ng, d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u˙’ d¯ˆe˙’

T`ım kiˆe´m mˆo.t chu tr`ınh (hay ma.ch) Hamilton c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t trˆen d¯ˆo` thi c´o tro.ngsˆo´ d¯u.a vˆe` b`ai to´an x´ac d¯i.nh chu tr`ınh (hay ma.ch) trong d¯ˆo` thi d¯ˆa`y d¯u˙’ G 0 nhˆa.n d¯u.o c tˆa.p

c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G v`a tro.ng lu.o ng trˆen ca.nh (cung) (v i , v j ) cu˙’a G 0 bˇa`ng d¯ˆo d`ai cu˙’a dˆay chuyˆe` n

(d¯u.`o.ng d¯i) ngˇa´n nhˆa´t t`u v i d¯ˆe´n v j trong G.

Nhiˆe` u da.ng b`ai to´an ngu.`o.i ch`ao h`ang ch´ınh l`a c´ac b`ai to´an tiˆe`n Hamilton, v`a d¯ˆe˙’ gia˙’i ch´ung tru.´o.c hˆe´t ta cˆa` n t`ım ma trˆa.n tu.o.ng ´u.ng c´ac dˆay chuyˆe`n (d¯u.`o.ng d¯i) ngˇa´n nhˆa´t Cuˆo´i c`ung nhˆa.n x´et rˇa`ng, tˆo`n ta.i mˆo.t tru.`o.ng ho p m`a b`ai to´an chu tr`ınh tiˆe` n Hamilton c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t c´o thˆe˙’ d¯u.a vˆe` b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu Trung Hoa; d¯iˆe` u n`ay xa˙’y ra khi

c´o da.ng a i + aj Trong tru.`o.ng ho p n`ay, b`ai to´an t`ım chu tr`ınh tiˆe ` n Hamilton trong G ch´ınh l`a b`ai to´an ngu.`o.i d¯u.a thu Trung Hoa trong G ∗ v´o.i d¯ˆo d`ai ca.nh e ∗

i cu˙’a G ∗ l`a a i

Nhˆa.n x´et tu.o.ng tu cho b`ai to´an t`ım ma.ch tiˆe` n Hamilton c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t trong

tru.`o.ng ho p d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng G l`a d¯ˆo` thi d¯ˆo´i ngˆa˜u cu˙’a d¯a d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng n`ao d¯´o.

5.3.1 C´ ac d¯iˆ ` u kiˆe.n cˆa e ` n d¯ˆe˙’ tˆo `n ta.i chu tr`ınh Hamilton

Hiˆe˙’n nhiˆen rˇa`ng, mˆo.t d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa`n d¯ˆe˙’ tˆo`n ta.i chu tr`ınh Hamilton l`a G 2-liˆen thˆong Tuy

nhiˆen, d¯ˆay khˆong pha˙’i d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u˙’

H`ınh 5.7 l`a mˆo.t v´ı du d¯ˆo` thi 2-liˆen thˆong khˆong ch´u.a chu tr`ınh Hamilton (ho.n n˜u.a, c´o thˆe˙’ chı˙’ ra rˇa`ng, d¯´o l`a d¯ˆo` thi c´o sˆo´ d¯ı˙’nh ´ıt nhˆa´t thoa˙’ m˜an t´ınh chˆa´t n`ay)

•

•

•

•

•

H`ınh 5.7: D- ˆo` thi 2-liˆen thˆong c´o sˆo´ d¯ı˙’nh ´ıt nhˆa´t khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton

D- ˆo` thi vˆo hu.´o.ng Petersen (H`ınh 5.8) l`a v´ı du kh´ac khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton D-ˆay l`a d¯ˆo` thi ch´ınh quy 3-liˆen thˆong nho˙’ nhˆa´t c´o tˆa´t ca˙’ c´ac d¯ı˙’nh bˆa.c ba Nhiˆe`u pha˙’n v´ı du vˆe` b`ai to´an Hamilton d¯u.o c xˆay du ng t`u d¯ˆo` thi Petersen

1 D - ˆo` thi vˆo hu.´o.ng G ∗ l`a d¯ˆo ` thi d¯ˆo´i ngˆa˜u cu˙’a G = (V, E) nˆe´u mˆo˜i d¯ı˙’nh cu˙’a G ∗ tu.o.ng ´ u.ng v´o.i mˆo.t ca.nh

e ∈ E v`a hai d¯ı˙’nh trong G ∗ kˆe ` nhau nˆe´u hai ca.nh tu.o.ng ´u.ng kˆe` nhau D - ˆo` thi c´o hu.´o.ng G ∗ l`a d¯ˆo ` thi d¯ˆo´i ngˆa˜u cu˙’a G = (V, E) nˆe´u mˆo˜i d¯ı˙’nh e ∗ cu˙’a G ∗tu.o.ng ´u.ng v´o.i mˆo.t cung e ∈ E v`a tˆo`n ta.i cung (e ∗

1, e ∗

2 ) trong

G ∗ nˆe´u d¯ı˙’nh ngo.n cu˙’a cung e1l`a d¯ı˙’nh gˆo´c cu˙’a cung e2.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

H`ınh 5.8: D- ˆo` thi Petersen

C´o nhiˆe` u d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa`n kh´ac (xem [30], [14]) nhu.ng khˆong c´o mˆo.t d¯iˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u˙’ vˆe` su tˆo`n ta.i chu tr`ınh (ma.ch) Hamiton

Do d¯´o ch´ung ta s˜e tˆa.p trung mˆo.t sˆo´ d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u˙’ dˆa˜n d¯ˆe´n c´ac phu.o.ng ph´ap c´o t´ınh xˆay du ng chu tr`ınh Hamilton

5.3.2 C´ ac d¯iˆ ` u kiˆe.n d¯u˙’ vˆe e ` su tˆ `n ta.i chu tr`ınh Hamilton o

Mˆe.nh d¯ˆe` 5.3.7 K n l`a d¯ˆo ` thi Hamilton.

X´et d¯ˆo` thi vˆo hu.´o.ng n d¯ı˙’nh G := (V, E) Gia˙’ su.˙’ s v`a t l`a hai d¯ı˙’nh khˆong kˆe` nhau sao

cho

d G (s) + d G (t) ≥ n.

K´y hiˆe.u G + (s, t) l`a d¯ˆo` thi nhˆa.n d¯u.o c t`u G bˇa`ng c´ach thˆem ca.nh (s, t) Khi d¯´o

Mˆe.nh d¯ˆe` 5.3.8 Nˆe´u G + (s, t) l`a d¯ˆo ` thi Hamilton th`ı G l`a d¯ˆo` thi Hamilton Ta n´oi t´ınh chˆa´t n`ay l`a ˆo˙’n d¯i.nh Hamilton qua ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i G → G + (s, t).

d¯i qua ca.nh (s, t) th`ı G l`a Hamilton Ngu.o c la.i, G ch´u.a mˆo.t dˆay chuyˆe ` n Hamilton µ \ (s, t) nˆo´i s v`a t (Khˆong mˆa´t t´ınh tˆo˙’ng qu´at, c´o thˆe˙’ gia˙’ thiˆe´t s = v1, t = v n ).

Ta ch´u.ng minh rˇa`ng tˆo`n ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t chı˙’ sˆo´ i, 3 ≤ i ≤ n, sao cho s kˆe` v´o.i v i v`a t kˆe`

v´o.i v i−1

Thˆa.t vˆa.y, x´et c´ac tˆa.p con cu˙’a tˆa.p Y := {v3, v4, , v n−1 } :

V`ı s v`a t khˆong kˆe ` nhau trong G nˆen

#A + #B = d G (s) + d G (t) − 2 ≥ n − 2 v`a nhˆa.n x´et rˇa`ng #Y = n − 3 suy ra tˆo`n ta.i

Do d¯´o, thˆem c´ac ca.nh (s, v i) v`a (t, vi−1 ) v`a xo´a ca.nh (v i , v i−1) ta d¯u.o c mˆo.t chu tr`ınh Hamilton

. • t = v n • • v i • v i−1 • • v3 • v2 • s = v1 −→

•

v i • v1 • v2 • v3 • • v i−1 • t = v n •

.

.

H`ınh 5.9:

Gia˙’ su.˙’ G l`a d¯o.n d¯ˆo ` thi n d¯ı˙’nh v`a k l`a sˆo´ nguyˆen thoa˙’ 1 ≤ k ≤ n X´et thu˙’ tu.c d¯ˆe quy sau: Xuˆa´t ph´at t`u G, thˆem c´ac ca.nh nˆo´i c´ac d¯ı˙’nh khˆong kˆe` nhau m`a tˆo˙’ng c´ac bˆa.c cu˙’a

ch´ung l´o.n ho.n hoˇa.c bˇa`ng k (Sˆo´ ph´ep to´an d¯`oi ho˙’i trong thu˙’ tu.c n`ay tı˙’ lˆe v´o.i n4) V`ı c´ac

bˆa.c khˆong gia˙’m, d¯ˆo` thi nhˆa.n d¯u.o c khˆong phu thuˆo.c v`ao th´u tu c´ac ca.nh d¯u.o c thˆem D- ˆo`

thi n`ay (ch´u.a G) go.i l`a k−bao d¯´ong cu˙’a G v`a k´y hiˆe.u l`a [G] k V´o.i k = n, t`u Mˆe.nh d¯ˆe` 5.3.8 suy ra

D- i.nh l´y 5.3.9 [8] G l`a d¯ˆo` thi Hamilton nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u [G] n l`a d¯ˆo ` thi Hamilton.

Trong tru.`o.ng ho p tˆo˙’ng qu´at, t`ım chu tr`ınh Hamilton trong [G] n khˆong pha˙’i l´uc n`ao

c˜ung dˆe˜ ho.n trong G Tuy nhiˆen, v´o.i nh˜u.ng tru.`o.ng ho p d¯ˇa.c biˆe.t, chˇa˙’ng ha.n khi [G] n l`a d¯ˆo`

thi d¯ˆa`y d¯u˙’ K n ta c´o thˆe˙’ dˆe˜ d`ang xˆay du ng chu tr`ınh Hamilton trong [G] n:

D- i.nh l´y 5.3.10 D-iˆe`u kiˆe.n d¯u˙’ d¯ˆe˙’ G l`a d¯ˆo` thi Hamilton l`a [G] n = K n

C´o thˆe˙’ chı˙’ ra rˇa`ng hˆa` u hˆe´t c´ac d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u˙’ d¯˜a biˆe´t (d¯u.o c liˆe.t kˆe du.´o.i d¯ˆay) liˆen quan

d¯ˆe´n bˆa.c cu˙’a G suy ra [G] n = K n v`a do d¯´o l`a c´ac hˆe qua˙’ cu˙’a D- i.nh l´y 5.3.10

Gia˙’ su.˙’ G l`a d¯o.n d¯ˆo ` thi liˆen thˆong n d¯ı˙’nh.

Hˆe qua˙’ 5.3.11 [Ore] [47] Nˆe´u d G(vi) + dG(vj ) ≥ n v´o.i mo.i (v i , v j) / ∈ E th`ı G l`a d¯ˆo ` thi Hamilton.

Hˆe qua˙’ 5.3.12 [Dirac] [17] Nˆe´u d G(vi) ≥ n

Hˆe qua˙’ 5.3.13 [P´osa] [51] Nˆe´u c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G d¯u.o c d¯´anh sˆo´ thu tu sao cho

d G(v1) ≤ dG(v2) ≤ · · · ≤ dG(vn)

v`a nˆe´u

2 ⇒ d G (v k ) > k,

Hˆe qua˙’ 5.3.14 [Bondy] [7] Gia˙’ su.˙’ c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G d¯u.o c d¯´anh sˆo´ thu tu sao cho

d G(v1) ≤ dG(v2) ≤ · · · ≤ dG(vn).

Hˆe qua˙’ 5.3.15 [Chv´atal] [13] Nˆe´u c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G d¯u.o c d¯´anh sˆo´ thu tu sao cho

Hˆe qua˙’ 5.3.16 [Las Vergnas] [42] [30] Nˆe´u c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G d¯u.o c d¯´anh sˆo´ thu tu v1, v2, , v n sao cho

ca˙’ c´ac ca.nh (v i , v j ) / ∈ E c´o thˆe˙’ d¯u.o c thˆem v`a do d¯´o ta c´o [G] n = K n Hˆe qua˙’ 5.3.12 suy tru c

tiˆe´p t`u Hˆe qua˙’ 5.3.11

Ho.n n˜u.a, dˆe˜ d`ang thˆa´y rˇa`ng, d¯ˆo` thi thoa˙’ m˜an c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n cu˙’a Hˆe qua˙’ 5.3.13, 5.3.14hay 5.3.15 c˜ung thoa˙’ m˜an c´ac gia˙’ thiˆe´t cu˙’a Hˆe qua˙’ 5.3.16

D- ˆe˙’ ch´u.ng minh Hˆe qua˙’ 5.3.16, ta s˜e su.˙’ du.ng kˆe´t qua˙’ sau cho d¯iˆe`u kiˆe.n d¯u˙’ d¯ˆe˙’ [G] n = K n

D- i.nh l´y 5.3.17 [8] Nˆe´u c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G d¯u.o c d¯´anh sˆo´ thu tu v1, v2, , v n sao cho

Hˆe qua˙’ 5.3.16 suy tru c tiˆe´p t`u D- i.nh l´y 5.3.17 v´o.i k = n Hˆe qua˙’ 5.3.16 l`a tˆo˙’ng qu´at

nhˆa´t cu˙’a tˆa´t ca˙’ c´ac d¯iˆe` u kiˆe.n d¯˜a biˆe´t c´o liˆen quan d¯ˆe´n bˆa.c cu˙’a d¯ˆo` thi Tuy nhiˆen, d¯iˆe`u kiˆe.nd¯u˙’ cu˙’a D- i.nh l´y 5.3.10 l`a tˆo˙’ng qu´at ho.n: d¯ˆo` thi trong H`ınh 5.10 c´o [G]6 = K6 nhu.ng khˆongtˆo`n ta.i c´ach d¯´anh sˆo´ c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a G thoa˙’ c´ac d¯iˆe`u kiˆe.n cu˙’a Hˆe qua˙’ 5.3.16.

5.3.3 C´ ac d¯iˆ ` u kiˆe.n d¯u˙’ vˆe e ` su tˆ `n ta.i ma.ch Hamilton o

Trong tru.`o.ng ho p d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng, c´o mˆo.t sˆo´ c´ac d¯iˆe` u kiˆe.n d¯u˙’ ba˙’o d¯a˙’m su tˆo`n ta.i cu˙’a ma.chHamilton Kˆe´t qua˙’ tˆo˙’ng qu´at nhˆa´t l`a:

•

•

•

•

•

•

H`ınh 5.10: V´o.i d¯ˆo` thi n`ay, [G]6 = K6 nhu.ng khˆong thˆe˙’ ´ap du.ng Hˆe qua˙’ 5.3.16

D- i.nh l´y 5.3.18 [Meyniel, 1973] Gia˙’ su.˙’ G = (V, E) l`a d¯ˆo` thi c´o hu.´o.ng n d¯ı˙’nh liˆen thˆong

ma.nh khˆong khuyˆen sao cho

Khi d¯´o G ch´u.a mˆo.t ma.ch Hamilton.

Ch´ung ta s˜e d¯u.a ra ch´u.ng minh c´o t´ınh kiˆe´n thiˆe´t d¯i.nh l´y n`ay (theo Minoux, 1977)

v`a mˆo.t thuˆa.t to´an c´o d¯ˆo ph´u.c ta.p O(n4) d¯ˆe˙’ t`ım ma.ch Hamilton Ch´u.ng minh du a trˆen phu.o.ng ph´ap (khˆong kiˆe´n thiˆe´t) cu˙’a Bondy v`a Thmassen (1977) Tru.´o.c hˆe´t, ch´ung ta cˆa` n mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m

Gia˙’ su.˙’ S ⊂ V V´o.i mˆo˜i v i ∈ V (c´o thˆe˙’ v i ∈ S), k´y hiˆe.u δ S (i) l`a sˆo´ c´ac cung nˆo´i (theo hu.´o.ng bˆa´t k`y) d¯ı˙’nh v i v´o.i tˆa.p con S V`ı G khˆong c´o khuyˆen nˆen ta luˆon luˆon c´o

V´o.i S l`a tˆa.p con thu c su cu˙’a V ta go.i S−bˆo h`anh l`a mˆo.t d¯u.`o.ng d¯i m`a c´ac d¯ı˙’nh d¯ˆa`u v`a cuˆo´i (khˆong nhˆa´t thiˆe´t phˆan biˆe.t) thuˆo.c S v`a c´ac d¯ı˙’nh trung gian l`a phˆan biˆe.t v`a ta.o th`anh mˆo.t tˆa.p con kh´ac trˆo´ng cu˙’a tˆa.p V \ S Mˆo.t S−d¯u.`o.ng d¯i l`a mˆo.t S−bˆo h`anh m`a c´ac d¯iˆe˙’m

d¯ˆa` u v`a cuˆo´i kh´ac nhau

Ta c´o bˆo˙’ d¯ˆe` sau:

Bˆo˙’ d¯ˆ` 5.3.19 Gia˙’ su.˙’ µ = (ve 0, v1, , v p ) l`a d¯u.`o.ng d¯i so cˆa´p cu˙’a G, S l`a tˆa.p c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a

δ S (v) ≤ #S + 1.