Về cơ bản, MATLAB được viết đối với những ma trận và thực hiện phép toán số học tuyến tính đơn giản mà xuất hiện trong nhiều ứng dụng.. Một vấn đề chung nhất của số học tuyến tính là việ
Trang 1title('Acid-Water Bath Dipping Example')
Ch¹y ch−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc kÕt qu¶ nh− sau:
lost =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n =
59 29 19 14 12 10 8 7 6 6
H×nh 6.2 Chó ý ë ®©y yªu cÇu ph−¬ng ph¸p chia chÊm v× log(1 + lost/ 100) lµ mét vector
-oOo -
ch−¬ng 7
c¸c phÐp tÝnh víi m¶ng
Trang 27.1 Tạo phương trình tuyến tính
Về cơ bản, MATLAB được viết đối với những ma trận và thực hiện phép toán số học tuyến tính
đơn giản mà xuất hiện trong nhiều ứng dụng Một vấn đề chung nhất của số học tuyến tính là việc giải phương trình Ví dụ tạo phương trình:
=
A.x = b
Biểu tượng phép nhân toán học (.) được định nghĩa trong phép toán trên, khác với kí hiệu ta dùng
đối với mảng trước kia Trong MATLAB phép nhân ma trận này được định nghĩa bằng dấu sao (*) Tiếp theo định nghĩa dấu bằng, ma trận tạo ra từ ma trận A và vector x bằng với vector b Giải pháp tồn tại cho sự cân bằng đề cập ở trên là những vấn đề cơ bản của số học tuyến tính Thêm nữa, khi lời giải không tồn tại, có rất nhiều cách gần đúng để tìm kiếm giải pháp, như phép loại trừ Gaussian, sự tìm thừa số LU, hoặc tính trực tiếp A-1 b Dưới đây chúng ta sẽ đề cập đến một số cách giải quyết như trên:
Trước tiên nhập vào ma trận A và b:
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0]
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 0
>> b = [366; 804; 315]
b=
366
804
351
Nếu bạn có kiến thức về số học tuyến tính, nó rất dễ để bạn kiểm tra xem định thức của ma trận trên
có khác không hay không:
>> det(A)
ans=
27
Nếu nó đúng, MATLAB có thể giải phương trình theo hai cách, một cách hay được dùng hơn, một cách ít sử dụng, nhưng trực tiếp hơn, phương pháp này là chuyển thành dạng x=A-1.b
>> x = inv(A)*b
x=
25.0000
22.0000
99.0000
ở đây inv(A) là hàm của MAYLAB dùng để tính A-1; và toán tử nhân ( * ), không có dấu chấm phía trước, đây là phép nhân ma trận Phương pháp được dùng nhiều hơn là dùng toán tử chia ma trận trái:
>> x = A\b
x=
25.0000
22.0000
99.0000
Trang 3Phương trình này sử dụng phương pháp tìm thừa số LU gần đúng và đa ra câu trả lời như là phép chia trái A cho b Toán tử chia trái ( \ ) không có dấu chấm phía trước là một phép toán của ma trận,
nó không phải là các phép toán giữa các phần tử của mảng Phương pháp thứ hai này được sử dụng nhiều hơn do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên đơn giản nhất là phương pháp này dùng ít phép toán hơn và tốc độ nhanh hơn Thêm vào đó, nhìn chung phương pháp này chính xác hơn cho những bài toán lớn Trong trường hợp khác, nếu MATLAB không tìm thấy phương pháp giải hoặc không tìm thấy phương pháp chinh xác, nó sẽ hiện thông báo lỗi
Nếu bạn nghiên cứu số học tuyến tính, bạn biết rằng khi số phương trình và số biến khác nhau, thì không thể có một phương pháp duy nhất để giải Trong MATLAB khi gặp những hệ phương trình
có số phương trình lớn hơn số biến nó dùng toán tử chia trái hoặc chia phải, tự động giảm thấp nhất những phần tử thừa A.x - b Cách này gọi là phương pháp vuông nhỏ nhất Ví dụ:
>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 0; 2 5 8] % Bốn phương trình, ba biến
A=
1 2 3
4 5 6
7 8 0
2 5 8
>> b = [366 804 351 514]’
b=
366
804
351
514
>> x = A\b % Phương pháp vuông nhỏ nhất
x=
247.9818
-173.1091
114.9273
>> res = A*x - b
res=
-119.4545
11.9455
0.0000
35.8364
Mặt khác khi số phương trình ít hơn số biến tương tự như trường hợp không xác định, thì số nghiệm phương trình là vô tận Đối với những nghiệm này MATLAB tính theo hai cách Dùng toán tử chia đa ra phương pháp mà có số phần tử 0 của x là cực đại Như một sự lựa chọn, tính x=pinv(A)*b
đa ra phương pháp chiều dài hoặc tiêu chuẩn của x nhỏ hơn các phương pháp khác Phương pháp này gọi là phương pháp tiêu chuẩn cực tiểu
Ví dụ:
>> A = A’ % Tạo ba phương trình, bốn biến
A=
1 4 7 2
2 5 8 5
3 6 0 8
>> b = b(1:3)
b=
366
Trang 4804
351
>> x = A\b % phương pháp với số phần tử 0 cực đại
x=
0
-165.9000
99.0000
168.3000
>> xn = pinv(A)*b % Tìm kiếm giải pháp tiêu chuẩn nhỏ nhất
xn=
30.8182
-168.9818
99.0000
159.0545
>> norm(x) % Tiêu chuẩn O_clit với các phần tử 0
ans=
256.2200
>> norm(xn) % Giải pháp tiêu chuẩn nhỏ nhất
ans=
254.1731
7.2 Các hàm ma trận
Để giải phương trình tuyến tính, MATLAB cung cấp các hàm trợ giúp sau:
Các hàm ma trận
balance(A) Cân bằng để tăng độ chính xác
cdf2rdf(A) Chuyển từ dạng số phức chéo sang dạng số thực chéo
cholinc(A, droptol) Thừa số Cholesky không đầy đủ
condest(A) Ước lượng số điều kiện ma trận theo tiêu
expm1(A) Bổ sung M_file của expm
expm2(A) Ma trận theo luật hàm mũ, dùng thứ tự Taylor
funm(A, ‘fun’) Tính toán hàm ma trận chung
logm(A) Ma trận logarithm
lu(A) Tìm thừa số với phép khử Gaussian
luinc(A, droptol) Thừa số LU không đầy đủ
norm(A) Ma trận và vector tiêu chuẩn
norm(A, p) Tiêu chuẩn P (chỉ đối với vector)
norm(A, ‘fro’) Tiêu chuẩn F
normest(A) Tiêu chuẩn 2 ước lượng cho ma trận lớn
Trang 5poly(A) Đa thức đặc trưng
polyvalm(A) Tính giá trị của ma trận
qrdelet(Q, R, j) Xoá cột từ thừa số QR
qrinsert(Q, R, j, x) Chèn cột trong thừa số QR
rank(A) Số của hàng hoặc cột độc lập
rcond(A) Ước lượng điều kiện thuận nghịch
sqrtm(A) Ma trận gốc bình phương
subspace(A, B) Góc giữa hai điểm
svds(A, K) Một số các giá trị đơn
trace(A) Tổng các phần tử chéo
7.3 Ma trận đặc biệt
MATLAB đa ra một số các ma trận đặc biệt, trong đó một số chúng có những ứng dụng rộng rãi trong các phép toán Nhìn chung những ma trận đó là:
>> a = [1 2 3; 4 5 6];
>> b = find(a>10)
b=
[ ]
ở đây b là ma trận rỗng MATLAB trả lại ma trận rỗng khi phép toán không có kết quả Trong ví
dụ trên không có phần tử nào của a lớn hơn 10 Ma trận rỗng không có kích cỡ, nhưng tên biến của chúng vẫn tồn tại trong không gian làm việc
>> zeros(3) % Ma trận không 3 hàng, 3 cột (3x3)
ans=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
>> ones(2,4) % Ma trận một 2 hàng, 4 cột (2x4)
ans=
1 1 1 1
1 1 1 1
>> zeros(3) + pi
ans=
3.1416 3.1416 3.1416
3.1416 3.1416 3.1416
3.1416 3.1416 3.1416
Ví dụ trên về tạo ma trận 3x3 với các phần tử đều là
>> rand(3,1)
ans=
0.2190
0.0470
0.6789
ma trận 3x1 gồm các phần tử là số cung cấp bởi hàm random giữa 0 và 1
>> randn(2)
Trang 6ans=
1.1650 0.0751
0.6268 0.3516
ma trận 2x2 của các số cung cấp bởi hàm random với giá trị trung bình là 0 Thuật toán cho hàm rand
và randn có thể tìm thấy trong S.K>Park and K.W.Miller,”Random Number Generator: Good Ones Are Hard to Find,” Comm ACM, 32, 10, Oct 1988-1201
>> eye(3)
ans=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ma trận đồng nhất 3x3
>> eye(3,2)
ans=
1 0
0 1
0 0
Ma trận đồng nhất 3x2
Ngoài ra để chỉ kích cỡ của một ma trận, bạn có thể dùng hàm size để tạo một ma trận có kích cỡ giống như ma trận khác:
>> A = [1 2 3; 4 5 6];
>> ones(size(A))
ans=
1 1 1
1 1 1
ma trận một có cùng kích cỡ với ma trận A
Các ma trận trên và các ma trận đặc biệt khác được giới thiệu trong bảng sau:
Các ma trận đặc biệt
[ ] Ma trận rỗng
compan Tạo ma trận rỗng
eye Ma trận đồng nhất
gallery Ma trận kiểm tra nhỏ vài phần tử
hadamard Ma trận Hadamard
hankel Ma trận Hankel
hilb Ma trận Hilbert
invhilb Chuyển thành ma trận Hilbert
magic Ma trận vuông, giá trị các phần tử bằng từ 1 đến giá trị số phần tử
ones Ma trận 1
pascal Ma trận tam giác Pascal
rand Ma trận với các phần tử ngẫu nhiên từ 0 đến 1
randn Ma trận ngẫu nhiên thông thường với giá trị trung bình bằng 0
rosser Ma trận kiểm tra đối xứng trục chính
toeplitz Ma trận Toeplitz
vander Ma trận Vandermond
wilkinson Ma trận kiểm tra Wilkinson
Trang 7zeros Ma trận không
Ví dụ
Vấn đề: Ta có mạch điện như trong hình 7.1 được mô tả bằng phương trình điện áp nút khi nguồn
đa vào là sóng hình sin
Hình 7.1
E = 10o; R1 = 2; L = 10j; C = ; R2 = 10
ở đây vi là điện áp giữa nút thứ i và đất Hỏi điện áp tại mỗi nút là bao nhiêu?
Giải pháp: Đây là vấn đề về phân tích pha Phương pháp giải bài này là giải phơưng trình trên, và chuyển các kết quả về dạng thời gian Trong MATLAB giải pháp sẽ là:
function circuit
% circuit.m script file to solve circuit proplem
A(1,1)=1/2; % poke in nonzero values as needed
A(1,2)=-1/2;
A(2,1)=-1/2;
A(2,2)=1/2 + 0.2j + 1/10j;
A(2,3)= -1/10j;
A(3,2)=-1/10j;
A(3,3)=1/10 + 1/10j;
y=[-1 0 0]'; % right hand side vector
v=A\y % complex solution
vmag=abs(v) % solution magnitudes
vphase=angle(v)*180/pi % solution phase in degrees
theta=linspace(0,2*pi); % plot results in time
v1=vmag(1)*cos(theta-vphase(1));
v2=vmag(2)*cos(theta-vphase(2));
v3=vmag(3)*cos(theta-vphase(3));
thd=theta*180/pi;
plot(thd,v1,thd,v2,thd,v3)
Sau khi chạy chương trình trên, kết quả sẽ là:
v =
-4.0000 + 6.0000i
-2.0000 + 6.0000i
2.0000 + 4.0000i
vmag =
7.2111
Trang 86.3246
4.4721
vphase =
123.6901
108.4349
63.4349
Hình 7.2
-oOo -
chương 8
các phép tính LOGIC Và QUAN Hệ Thêm vào những toán tử ‘truyền thống’, MATLAB cung cấp toán tử logic và quan hệ Bạn có thể
quen thuộc với những phép toán này, nếu bạn đã làm quen với các ngôn ngữ lập trình khác Mục đích
của những toán tử và hàm này là để trả lời câu hỏi True_False (đúng_sai)
Đối với các số thì trong toán tử logic và quan hệ quy định các số khác không là True còn số không
là False Kết quả của phép toán logic và quan hệ đa ra là 1 cho True, 0 cho False