Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution) pdf

Thường áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n ≥ 30.. Nếu X có phân phối liên tục, unimodal có 1 mode, đối xứng, có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n nhỏ hơn... BÀI TẬP 1 Cho

BÀI TẬP 4

LÝ THUYẾT

Phân phối xác suất kết (Joint Probability Distribution)

 

 

XY

XY

XY

x y

f x y P X x Y y

f x y

f x y







Tính phân phối xác suất lề (Marginal Probability Distribution) thông qua phân phối xác suất kết:

x

R

f x  X x f x y

với Rx = tập hợp các điểm thuộc miền (X,Y) mà X=x

R

E X  xf x y

R

v X   x f x y

Xác suất có điều kiện

|

,

Y x

X

f x y

f x

Nếu X, Y độc lập

|

,

Y x Y

f x y f x f y

f y f y





Hiệp phương sai (Covariance)

cov(X,Y) = ϭXY = E[(X-μX)(Y-μY)] = E(XY) - μXμY

Độ tương quan (Correlation)

ar( ) var( )

XY XY

X Y

X Y





 

Cho các biến ngẫu nhiên X1,X2,…,Xn và các hằng số c1,c2,…,cn,

Y=c 1 X 1 +…+c n X n là một tổ hợp tuyến tính của X1,X2,…,Xn

Thì

Kỳ vọng E(Y)= c 1 E(X 1 )+…+c n E (X n )

Phương sai Var(Y)= c 12 Var (X 1 )+…+c n2 Var (X n )+2 i jcov i, j

i j





Nếu X1,X2,…,Xn độc lập thì Var(Y)= c 12 Var (X 1 )+…+c n2 Var (X n )

Phân phối của tổ hợp tuyến tính

Nếu X 1 ,X 2 ,…,X n là các biến ngẫu nhiên, độc lập, có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Xi)=μi, và phương sai var(Xi)=ϭi2, ∀i=1,…,n,

Y=c 1 X 1 +…+c n X n (c1,c2,…,cn là các hằng số)

Thì Y cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=c 1 μ 1 + … + c n μ n , và phương sai

var(Y)=c 1 2 ϭ 1 2 +…+ c n 2 ϭ n 2

Định lý giới hạn trung tâm

Nếu X1, X2,…, Xn là một mẫu ngẫu nhiên kích thước n của một quần thể với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2

, và nếu Xlà trung bình của tập mẫu X1 X2 X n

X

n

  

n





phối chuẩn chính tắc khi n  (X có phân phối chuẩn với kỳ vọng , phương sai

2

n



khin )

Thường áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n ≥ 30

Nếu X có phân phối liên tục, unimodal (có 1 mode), đối xứng, có thể áp dụng định lý giới hạn trung tâm với n nhỏ hơn

BÀI TẬP

1) Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối bất kỳ với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2 Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X1,X2,…,Xn} của X Xác định kỳ vọng và phương sai của X

Giải:

{X1,X2,…,Xn} là tập mẫu của X nên E(X1) = E(X2) = … = E(Xn) = E(X),

var(X1) = var(X2) =…= var(X)

1 2 n

X

n

  

 là một tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,…,Xn} suy ra:

ar

2) Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 Biết X 1 có phân phối chuẩn N(2; 0.1 2 ), X 2 có phân phối chuẩn N(5; 0.2 2 ) Cho biến ngẫu nhiên Y = X 1 +2X 2 Xác định Pr(Y>14.5)

Giải:

Y là tổ hơp tuyến tính của X 1 , X 2

X 1 , X 2 có phân phối chuẩn

=> Y có phân phối chuẩn

Y = X 1 +2X 2

=> Kỳ vọng E(Y) = E(X 1 ) + 2E(X 2 ) = 2 + 2.5 = 12

Phương sai var(Y) = 1 2 ×var(X 1 ) + 2 2 ×var(X 2 ) = 1×0.1 2 + 4×0.2 2 =0.17

Như vậy, Y có phân phối chuẩn với kỳ vọng E(Y)=12, phương sai var(Y)=0.17

Pr(Y>14.5) = 1-Pr(Y<14.5) = 0 (để tính Pr(Y>14.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn)

3) X là biến ngẫu nhiên cho biết điện trở của thiết bị Biết rằng X có phân phối chuẩn với trung

bình 100 ohm, độ lệch chuẩn 10 ohm Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 25 phần

tử Xác định xác suất tập mẫu có trung bình X nhỏ hơn 95 ohm

Giải:

Gọi tập dữ liệu mẫu kích thước n=25 của X là {X1,X2,…,X25}

X1,X2,…,X25 có phân phối chuẩn, nên mọi tổ hợp tuyến tính của X1,X2,…,X25 có phân phối

chuẩn Suy ra X có phân phối chuẩn

X có kỳ vọng E(X) = E(X), var(X ) = var(Y) / n (với n=25)

=> E(X )=100, var(X )=102/25=4

Vậy Xcó phân phối chuẩn N(100; ϭ2=4)

Pr( X <95) = 0.0062 (để tính Pr(X <95), xem lại bài tập về phân phối chuẩn)

4) Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau:

  13, 1, 2, 3

0, khá

x

f x

c



 



Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=36

Xác định xác suất trung bình mẫu Xlớn hơn 2.1 nhưng nhỏ hơn 2.5 (giả sử trung bình mẫu X

được đo tới độ chính xác 0.1)

Giải:

E X xf x       

Phương sai của X:

v X E X  E X E X  x f x        

Vì kích thước tập mẫu lớn n = 36 > 30, theo định lý giới hạn trung tâm, X có thể xem như có phân phối chuẩn với kỳ vọng và phương sai:

E( X )=E(X) = 2

var(X ) = var(X)/ n = 2/(3×36 ) = 1/54

Vậy X có phân phối chuẩn N(2;ϭ2=1/54)

Pr(2.1<X <2.5) = Pr(X<2.5) – Pr(X <2.1) = 0.231 (để tính Pr(2.1<X <2.5), xem lại bài tập về phân phối chuẩn)

BÀI TẬP

Bài 1:

Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kỳ vọng μ và phương sai ϭ2 Cho tập mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm n phần tử {X1,X2,…,Xn} của X Xác định phân phối của X (loại phân phối,

giá trị kỳ vọng, phương sai)

Bài 2:

Cho 2 biến ngẫu nhiên độc lập X 1 , X 2 Biết X 1 có phân phối chuẩn N(2; 0.2 2 ), X 2 có phân phối chuẩn N(5; 0.3 2 ) Cho biến ngẫu nhiên Y = 3X 1 +2X 2 Xác định Pr(Y<5)

Bài 3:

X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 20, phương sai 4 Cho một tập dữ liệu mẫu ngẫu nhiên của X gồm 10 phần tử Xác định xác suất tập mẫu có trung bình mẫu X nhỏ hơn 15

Bài 4:

Một tập mẫu ngẫu nhiên kích thước n=16 được lấy mẫu từ một phân phối chuẩn với kỳ vọng 40, phương sai 5 Xác định xác suất trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 37

Bài 5: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều liên tục với hàm xác suất như sau:

  12, 4 6

0, khá

x

f x

c



 



Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=40

Bài 6: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối đều rời rạc với hàm xác suất như sau:

  15, 2, 3, 4, 5, 6

0, khá

x

f x

c



 



Xác định phân phối của trung bình mẫu X biết rằng kích thước tập mẫu n=30

Xác định xác suất trung bình mẫu Xlớn hơn 3.2 (giả sử trung bình mẫu X được đo tới độ chính xác 0.1)