Xác suất có điều kiện doc

Bài 2: Xác suất có điều kiệnLê Phong – Đặng Hải Vân – Nguyễn Đình Thúc Khoa CNTT – ĐHKHTN {dhvan,lphong,ndthuc}@fit.hcmus.edu.vn 1... Giới thiệu• Tính ▫ xác suất từ phân hoạch ▫ xác suất

Bài 2: Xác suất có điều kiện

Lê Phong – Đặng Hải Vân – Nguyễn Đình Thúc

Khoa CNTT – ĐHKHTN

{dhvan,lphong,ndthuc}@fit.hcmus.edu.vn

1

Giới thiệu

• Tính

▫ xác suất từ phân hoạch

▫ xác suất có điều kiện bằng công thức Bayes

Đ/n xác suất có điều kiện

biến cố A khi biến cố B đã xảy ra trước đó.

này được gọi là xác suất có điều kiện của

biến cố A khi biết biến cố B xảy ra – ký

hiệu là Pr(A|B)

• Đ/n: nếu A và B là 2 biến cố với Pr(B) > 0

thì

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

) Pr(

)

Pr(

)

|

Pr(

B

AB B

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Tính chất

độc lập.

▫ Pr(AB) = Pr(A).Pr(B|A)

▫ Pr(AB) = Pr(B).Pr(A|B)

với Pr(A 1 …A n ) > 0

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Tính xác suất bằng phân hoạch

hoạch của S

• Với B là biến cố bất kỳ

phân hoạch của B, do đó











j

j j

k

j

A B

1 1

)

| Pr(

) Pr(

) Pr(

) Pr(

A1

A2

A3

A4 B

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Ví dụ:

Có bị bệnh không?

▫ trong 10000 người chỉ có 1 người bị bệnh

▫ nếu một người bị bệnh thì xác suất xét nghiệm ra dương tính là 90%

▫ nếu một người không bị bệnh thì xác suất ra

dương tính là 10%

đếm

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Định lý Bayes

• Đặt

▫ A = “bị bệnh”

▫ B = “dương tính”

Cần tính Pr(A|B)

dương tính là 0.0009

00090

0 9999

0 1 0 0001

0 9 0

0001

0 9 0

) Pr(

)

| Pr(

) Pr(

)

| Pr(

) Pr(

)

|

Pr(

)

| Pr(























c c

A A

B A

A B

A A

B B

A

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Định lý Bayes

• Công thức Bayes: Giả sử các biến cố A 1 ,…,

A k hình thành một phân hoạch của không gian

S và Pr(A j ) > 0 (  j = 1,…, k), B là một biến cố

bất kỳ thỏa Pr(B) > 0 thì,  i = 1,…, k,

)

| Pr(

) Pr(

)

| Pr(

) Pr(

) Pr(

)

| Pr(

)

Pr(

)

| Pr(

1













j

j j

i i

i i

i

A B A

A B A

B

A B

A B

A

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Tiến trình ngẫu nhiên

• Ví dụ: có 5 đường dây điện thoại, cứ 2

phút đếm số lượng đường dây bị bận

▫ X i : số đường dây bị bận ở thời điểm thứ i = 1…n…,

trình ngẫu nhiên với tham số thời gian rời rạc.

với mọi n > 1

) , ,

,

| Pr( X n  1  x n  1 X 1  x 1 X 2  x 2 X n  x n

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Xích Markov

• Xích Markov: là một tiến trình ngẫu nhiên

với

• Xích Markov hữu hạn: tại mỗi thời điểm,

xích chỉ được nhận 1 trong k trạng thái

s 1 ,…, s k

• Xác suất chuyển (1 bước) từ trạng thái s i ở

).

| Pr(

) , ,

| Pr(

1 1

1 1

1 1

n n

n n

n n

n n

x X

x X

x X

x X

x

X





















 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Xích Markov

• Xích Markov có xác suất chuyển không

đổi:

• Chuyển 2 bước

• Ma trận 1-bước chuyển

,

2 , 1 ,

)

| Pr( X n  1  s j X n  s i  p ij  n 





r

rj ir

ij i

n j

X

1

) 2 (

Pr(

.

1

1 11























kk k

k

p p

p p

P

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Xích Markov

= 1…k thì



























k i

i j

n i

k i

j n

i j

n

s X

s X

s X

s X

s X

s X

1

1 1

1

1

)

| Pr(

) Pr(

) Pr(

) Pr(

1

1)

Pr(













T n

V

s X

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Ví dụ

trận 1-bước chuyển

2 0 4 0 1 0 1 0 1 0 1 0

2 0 3 0 2 0 1 0 1 0 1 0

1 0 2 0 3 0 2 0 1 0 1 0

1 0 1 0 2 0 3 0 2 0 1 0

1 0 1 0 1 0 2 0 3 0 2 0

1 0 1 0 1 0 2 0 4 0 1 0

5 4 3 2 1 0

5 4

3 2

1 0

b b b b b b

b b

b b

b b

P 

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

Ví dụ

dây bận là bao nhiêu?

• Tính

 Đ/n x/s có điều

kiện

 Đ/n

 Tính chất

 Tính x/s bằng

phân hoạch

 Tính x/s có đ/k

bằng định lý

Bayes

 Ví dụ

 Định lý

Bayes

 Ứng dụng:

xích Markov

 Tiến trình

ngẫu nhiên

 Xích

Markov

 Ví dụ

 Tóm tắt

Tóm tắt

▫ Xác suất có điều kiện

▫ Công thức xác suất tổng

▫ Công thức Bayes

▫ Xích Markov

▫ Xác suất có điều kiện (conditional probaility),

▫ định lý Bayes (Bayes’s theorem),

▫ xích Markov (Markov chain)