ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ppsx

Định nghĩa: Cho hai không gian vectơ E, F trên K..  Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là phép biến đổi tuyến tính của E..  Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là

C V ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 ĐỊNH NGHĨA:

a Định nghĩa:

Cho hai không gian vectơ E, F trên K

Một ánh xạ :f E được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu F

có các tính chất sau:

i x x, E f x x(  ) f x( ) f x( )

ii    x E  K f(x) f x( )

 Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu không gian

vectơ

 Tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính từ E đến F được ký hiệu

là Hom E F( , )hay L ( , )E F

 Đặc biệt, một ánh xạ tuyến tính từ E đến E được gọi là

phép biến đổi tuyến tính của E

Ta ghi Hom E( ) thay cho Hom E E( , )

 Một ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu

 Một ánh xạ tuyến tính toàn ánh được gọi là toàn cấu

 Một ánh xạ tuyến tính song ánh được gọi là đẳng cấu

b Thí dụ:

 Td1: Ánh xạ đồng nhất Id E : E là 1 phép biến E

đổi tuyến tính của E

 Td2: Ánh xạ không

0 :

0F

x





 Td3: Ánh xạ

|

:

g

là một phép biến đổi tuyến tính của  3

Vì:

  u ( , ),x y v ( , )x y    2 (g u v ) g x y[( , ) ( , )] x y   g x x y y[(  ,  )]

= ( x x ) ( y y ), 2(x x ), (x x ) 3( y y )

( x y x x ,2 , 3 ) (y  x y,2 ,x x 3 )y

 g u( ) g v( )

  u ( , )x y 2    (g u ) g[( x, y)] ( xy,2 x, x3y) (x y x x ,2 , 3 )y g u( )

2 TÍNH CHẤT

a Mệnh đề 1:

Cho f Hom E F( , ), khi đó:

i) (0) 0 f  vì ( ) f O  f O(0 ) 0 ( ) f O  ) O ii) ( f   x) f x( )

iii)

1 1

 



b Mệnh đề 2:

Cho f Hom E F( , )

Nếu f là 1 đẳng cấu thì f 1 cũng là đẳng cấu (từ F vào E)

c Mệnh đề 3:

Cho hai không gian vectơ E, F trên K

Giả sử a1, ,a là 1 cơ sở của E, và n b1, ,b là n vectơ nào n

đó của F

Khi đó, có một ánh xạ tuyến tính duy nhất f từ E vào F thỏa

( )

1, ,





 



Chứng minh:



1

n

i i i



đặt

1

( ) n i i

i



 Dễ thấy f Hom E F( , )

 Nếu có g Hom E F ( , ) thỏa

( ) 1, ,





 

1

,

n

i i i





Vậy g  f

d Mệnh đề 4:

Nếu f Hom E F( , )và g Hom F G ( , ) thì g f Hom E G( , )

Thí dụ:

Trong không gian vectơ  , cho các vectơ 3

(1,1,0), (1,0, 1), (0,1,2)

(1, 1,0), ( 1,0,0)

a) Chứng minh a,b,c là cơ sở của  3

b) Gọi f là phép biến đổi tuyến tính của  3

mà ( ) f a v f b, ( ) u v f c, ( )  u Tính ( , , ) f x y z

Bài làm:

a) ta có

nên a, b, c độc lập tuyến tính

Mà dim3 3, nên a, b, c là cơ sở của  3

b)

 u ( , , )x y z   3

u   ( x 2y z a ) (2x2y z b ) (x y z c  )

nên

( , , )f x y z  f (( x 2y z a ) (2x2y z b ) (x y z c  ) ) (  x 2y z ) f(a)(2x2y z )f ( )b (x y z) f c( ) (  x 2y z v ) (2x2y z u v )[  ] (x y z u  )

(2 x3y2 , 3z  x 3y3 ,0)z

3 ẢNH VÀ HẠT NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

a Ảnh của ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f Hom E F( , )

Tập hợp ( ) { ( ) /f E  f x x E } được gọi là ảnh của ánh xạ

tuyến tính f

Ký hiệu: Im f

Thí dụ: Im0 {0} 0  , ImId E  E

 Mệnh đề 5:

Im f là một không gian con của F

 Mệnh đề 6:

Cho f Hom E F( , ) Nếu a1, ,a là một họ sinh của E thì n f a( ), , ( )1 f a là một n

họ sinh của Im f

Chứng minh:

Hiển nhiên f a( ), , ( ) Im1 f a n  f

Ngoài ra,  y Im f  x E y  f x( )

Vì x E nên

1

n

i i i



 , suy ra

1

( ) n i ( )i

i



Vậy f a( ), , ( )1 f a n là một họ sinh của Im f

NHẬN XÉT:

f toàn ánh  Im f  F

Thí dụ:

Cho phép biến đổi tuyến tính

f : 3   3

( , , ) x y z  (x2 ,y y z x y z ,   )

Tìm một cơ sở của Im f

Giải:

Vì cơ sở tự nhiên

e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1)

là 1 họ sinh của  nên 3

f e( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)1  f e2    f e3 

là một họ sinh của Im f

Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của

( ) (1,0,1), ( ) ( 2,1, 1), ( ) (0,1,1)

Im f

Ta có:

1 2 3

f e

f e

f e

,

suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của

1 2 3

( ), ( ), ( )

f e f e f e là f e( ), ( )1 f e2

Đây là 1 cơ sở của Im f

 HẠNG CỦA AXTT:

Cho f Hom E F( , )

Số chiều của Im f được gọi là hạng của f

Ký hiệu rank( )f Tóm lại: rank( ) dim Imf  f

b Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f Hom E F( , )