TẢI TRỌNG ĐỘNG ppsx

Nhưng trong nhiều trường hợp tải trọng tác dụng đột ngột hay biến đổi theo thời gian nên ứng suất và biến dạng trong hệ cũng biến đổi đột ngột hoặc biến đổi theo thời gian, do đó trên hệ

CHƯƠNG 11

TẢI TRỌNG ĐỘNG

Đối với những bài toán đã khảo sát ở chương trước, tải trọng tác động lên hệ đều là tải trọng tĩnh, tức là tải trọng tác động từ từ không làm xuất hiện lực quán tính lên hệ Nhưng trong nhiều trường hợp tải trọng tác dụng đột ngột hay biến đổi theo thời gian nên ứng suất và biến dạng trong hệ cũng biến đổi đột ngột hoặc biến đổi theo thời gian, do đó trên hệ xuất hiện lực quán tính

Tải trọng động là tải trọng gây ra lực quán tính trên hệ đang xét

Trong chương này ta cũng nghiên cứu phương pháp tính độ bền của một thanh chịu tải trọng động,

vì đó là vấn đề thường gặp trong kỹ thuật

11.1 CHUYỂN ĐỘNG THẲNG VỚI GIA TỐC KHÔNG ĐỔI

Thí dụ tính sức bền của một dây cáp ở đầu treo một vật

nặng chuyển động với gia tốc không đổi (H.11-1)

Gọi:

• P: Trọng lượng của vật nặng

• γ: Trọng lượng riêng của dây cáp

• F: Diện tích mặt cắt ngang của dây cáp

• a: Gia tốc chuyển động, a>0 nếu gia tốc có chiều hướng

lên và a<0 khi hướng xuống

Để tính nội lực ở mặt cắt ngang cách đầu dây cáp một

khoảng z, ta tưởng tượng cắt bởi mặt cắt 1-1 và khảo sát sự cân

bằng phần dưới Trên mặt cắt ngang đó chịu tác dụng của trọng

lượng P của vật nặng, trọng lượng của phần dây cáp và lực quán tính phát sinh ra trong quá trình chuyển động Trọng lượng của phần dây cáp đang xét (H.11-1b) là: γ.F.z

Khối lượng của vật nặng P, của phần dây cáp đang xét là :

γ+ trong đó g là gia tốc trọng trường

Như đã biết, lực quán tính bằng tích của khối lượng với gia tốc và có chiều ngược với chiều của gia tốc, vậy lực quán tính bằng:

và có chiều hướng xuống vì ở đây ta đang xét dây cáp chuyển động đi lên nhanh dần đều (a> 0)

Theo nguyên lý Đa-lam-be thì ở mỗi thời điểm vật thể được coi là cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực tác động trực tiếp lên vật thể và của lực quán tính Do đó, nếu gọi Nđ là lực dọc động trên mặt cắt ngang 1-1 thì phương trình cân bằng động là :

Nđ-(P + γFz) - +γ = 0

đ

Hay Nđ = (P + γ.Fz).(1 + ) (a) Nếu vật nặng P không thể chuyển động (ở trạng thái tĩnh, a = 0) Thì lực dọc tĩnh Nt trong dây cáp được tính theo phương trình cân bằng tĩnh (không có lực quán tính):

N

=

=σ

Nσ

Nmax t

γ+

= Ứng suất động lớn nhất:

Thí dụ 11-1 Một dây cáp có diện tích mặt cắt ngang bằng 1 cm2 mang một dầm chữ I 30a, dài 10

m, chuyển động hướng lên với gia tốc 5 m/s2 (H.11-2a) Tính ứng suất lớn nhất trong dây cáp và trong dầm Bỏ qua trọng lượng dây cáp

H.11-2 a) Đối với dầm

Tra bảng thép định hình chữ I số 30a ta có :

+ Trọng lượng của dầm trên 1m chiều dài : q = 392 N/m

+ Mômen chống uốn đối với trục x : wx = 60,1 cm3 ( trong bảng là wy)

Sơ đồ tính dầm như trên hình H.11-2b Dựa vào biểu đồ mômen uốn (H.11-2c) do trọng lượng bản thân của dầm ta được:

Mmax = 2940 Nm = 294000 Ncm

Ứng suất tĩnh lớn nhất trong dầm:

σt max = = =

,w

M

x max N/cm2 Ứng suất động lớn nhất trong dầm được tính theo công thức (11-2):

σ = σ t max = 1,51.4892 = 7387 N/cm2

b) Đối với dây cáp

Vì bỏ qua trọng lượng bản thân dây cáp nên lực tác dụng lên dây dây cáp là trọng lượng của dầm Vậy lực dọc tĩnh trong dây cáp :

Nt

Ứng suất động trong dây cáp:

σ đ = Kđ σ t = 1,51.3920 = 5919 N/cm2

11.2 CHUYỂN ĐỘNG QUAY VỚI VẬN TỐC GÓC KHÔNG ĐỔI

Thí dụ tính ứng suất trong một cái

vô-lăng có diện tích mặt cắt ngang F không đổi

quay với vận tốc góc không đổi Với mức độ

chính nhất định, ta cóthể bỏ qua ảnh hưởng của

các nan hoa đối với vành của vô-lăng, nghĩa là

coi vô-lăng như một vành tròn (H.11-3)

Nđ

Vì bỏ qua các nan hoa và trọng lượng bản thân của vô-lăng nên khi đó chỉ có lực li tâm tác dụng vô-lăng (H.11-3) Ta sẽ tính cường độ của lực li tâm đó như sau:

Vô-lăng quay với vận tốc góc ω không đổi nên gia tốc góc :

dtd

Vậy gia tốc tiếp tuyến :

at = α R = 0

Và gia tốc pháp tuyến bằng:

trong đó R là bán kính trung bình của vô-lăng

Xét một phân tố có chiều dài vô cùng bé ds lấy dọc theo chu vi (H.11-4) Khối lương của phân tố này là :

dm = .γFg.ds

trong đó g là gia tốc trọng trường

Lực li tâm tác dụng lên phân tố đó bằng:

dP = an.dm = .γFg.ds ω R

Vì chiều dài ds của phân tố là vô cùng bé, nên có thể coi lực dP phân bố đều , do đó cường độ lực

li tâm là:

Để tính nội lực mặt cắt ngang, ta tưởng tượng cắt vô-lăng bằng một mặt cắt xuyên tâm (H.11-4)

Do tính chất đối xứng, trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một thành phần lực dọc Nđ (lực dọc động Nđ do sự quay của vô-lăng sinh ra) viết điều kiện cân bằng của phần nữa vô-lăng đang xét dưới dạng phương trình tổng hình chiếu của các lực xuống phương y:

π

ϕ = 0 hay kể đến (11-4) :

Nđ = ∫

π

ϕ ds.sin

Nên : Nđ = ∫γ ω ϕ ϕ

π

d

sin g

ϕωγ

− FRg cosHay Nđ = γ ω

Điều kiện bền của vô-lăng là:

σđ = γ.v ≤[ ]σ

gtrong đó [σ ] là ứng suất cho phép của vật liệu

Ta nhận thấy rằng ứng suất động σđ tăng rất nhanh khi tăng vận tốc góc hay tăng bán kính lăng

Thí dụ 11-2 Trên dầm AB có gắng

một thanh CDE (H.11-5a) quay với vận tốc

góc ω không đổi quanh trục dầm AB

Vẽ biểu đồ nội lực M, N, Q do tác

dụng của lực li tâm gây ra

Bài giải

Lực li tâm tác dung lên thanh CDE

được tính như sau: (H.11-5b)

+ Đối với thanh DE : vì thanh DE //

AB nên bán kính quay của mọi điểm trên đó

là không đổi và bằng l vậy cường độ của lựûc

li tâm trên đơn vị dài bằng:

qDE = γg.F.ω l = const

trong đó F là diện tích mặt cắt ngang của đoạn thanh DE

+ Đối với thanh CD : Vì thanh này có tâm quay là C và vuông góc với trục quay AB nên bán kính quay của những điểm trên thanh CD sẽ khác nhau Giả sử xét điểm M trên thanh CD với bán kính r, cướng độ lực li tâm của điểm M bằng:

=

∑MB VA.(l )l .gFl. l l .gFl. l l l Rút ra: VA = .γg.F.ω l

Biểu đồ M, Q và N được biểu diễn trên hình H.11-6

H.11-6 11.3 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ DAO ĐỘNG

Bậc tự do của một hệ đàn hồi khi dao động là thông số

độc lập để xác định vị trí của hệ

Hình H.11-7 biểu diễn một khối lượng m đặt trên một

dầm Nếu bỏ qua trọng lượng của dầm thì hệ có một bậc tự do, vì

muốn xác định vị trí của khối lượng m ta chỉ cần biết tung độ y

Nếu kể đến trọng lượng bản thân của dầm thì hệ có vô số bậc tự do, vì cần biết vô số tung độ y để xác định tất cả mọi điểm trên dầm

Dao động của một hệ đàn hồi được chia ra: dao động tự do và dao động cưỡng bức

Dao động cưỡng bức là dao động của hệ đàn hồi dưới tác dụng của ngoại lực biến đổi theo thời gian Thí dụ một mô-tơ điện đặt trên một dầm, phần rô-to của mô-tơ có trọng lượng lệch tâm Khi quay, rô-to sẽ gây ra lực li tâm mà các thành phần của nó tác dụng lên dầm biến đổi theo thời gian Lực này được gọi là lực kích thích, nó làm cho dầm dao động

Dao động tự do là dao động không có lực kích thích Giả sử dầm chịu một xung lực do tác động của một va chạm nào đó, sau khi va chạm, dầm tiếp tục dao động nhưng không chịu tác dụng của lực kích thích nào trong khi dao động

Ta gọi hệ đã thực hiện một dao động khi hệ từ vị trí cân bằng này chuyển đến vị trí cân bằng tiếp theo sau khi đã qua mọi vị trí được xác định bởi qui luật dao động của hệ Khoảng thời gian để hệ thực hiện một dao động được gọi là chu kỳ của dao động, ký hiệu là T Chu kỳ được đo bằng giây (s) Số dao động trong một giây được gọi là tần số của dao động, ký hiệu là f:

f = T (1/s)

Tần số được đo bằng Hertz

Trong kỹ thuật thường dùng tần số vòng, là số dao động trong 2π giây, ký hiệu là ω

ω = 2π.f = Tπ (1/s) 11.4 DAO ĐỘNG CỦA HỆ ĐÀN HỒI CÓ MỘT BẬC TỰ DO

H.11-7

Ta xét một dầm có mang khối lượng m (H.11-8) Nếu bỏ qua trọng lượng của dầm thì ta được một hệ có một bậc tự do Giả sử lực kích thích P(t) biến đổi theo

thời gian tác dụng tai mặt cắt ngang có hoành độ z

Để tìm phương trình dao động ( phương trình chuyển

động của khối lượng m) ta dựa vào nguyên lý Đa-lam-be

Theo nguyên lý này, ta có thể viết phương trình cân bằng

động cho một hệ chuyển động có gia tốc nếu kể đến lực quán

tính tác dụng lên hệ đó

Gọi y(t) là chuyển vị của khối lượng m ở

thời điểm t Vận tốc và gia tốc của khối lượng

này là và

Độ võng của dầm ở vị trí đặt khối lượng

m do những lực sau đây gây ra:

- Lực kích thích P(t): Nếu gọi δ z là

chuyển vị ở mặt cắt ngang đặt khối lượng m do

lực kích thích bằng một đơn vị đặt ở vị trí của lực

kích thích P(t) gây ra (H.11-9a) thì độ võng do

- Lực quán tính tác dụng lên hệ ở điểm đặt khối lượng m bằng m.ddty( )t Vậy chuyển vị của điểm đặt khối lượng m do lực quán tính gây ra bằng:

dt

)t(y

d δ a

Chuyển động của khối lượng m lúc đầu là nhanh dần đều, tức là gia tốc hướng xuống theo chiều chuyển động, vậy lực quán tính sẽ hướng lên, nên chuyển vị do lực quán tính gây ra sẽ mang dấu (-) Tóm lại, chuyển vị ở mặt cắt ngang đặt khối lượng m do các lực tác dụng vào hệ sẽ gây ra sẽ là : y(t) = δ z.P(t) - β dydt( )t.δ a - m

β

=α

d + 2α dydt( )t + ω y(t) = ω δ z.P(t) (11-7) Phương trình (11-7) là phương trình vi phân của dao động Hệ số α biểu diễn ảnh hưởng của lực cản của môi trường chung quanh đến dao động và số thứ nguyên 1/s Dưới đây ta sẽ khảo sát các trường hợp riêng biệt dao động

I DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN

Như trên đã trình bày, dao động tự do là dao động không có lực kích thích, tức là P(t) = 0; vì không có lực cản nên α = 0 Do đó, phương trình vi phân của dao động (11-7) sẽ có dạng:

dt

)t(y

Nghiệm của phương trình (11-8) là;

Các hằng số C1 và C2 được xác định từ điều kiện ban đầu nghĩa là từ vị trí y0 và vận tốc •0 của khối lượng m ở thời điểm t = 0

Đường biểu diễn phương trình dao động (11-9) như

trên hình H.11-10 Theo (11-9), ta nhận thấy rằng chuyển

động của khối lượng m mang tính chất dao động vì sin(ω t

+ϕ ) là một hàm số tuần hoàn có giá trị lặp đi lặp lại sau một khoảng thời gian T nhất định.

Xác định chu kỳ T : khi thời gian t tăng lên một lượng T thì chuyển vị ở thời điểm t và t + T là như nhau :

Gọi G là trọng lượng của khối lượng m

g là gia tốc trọng trường

Dưới đây là phương pháp Ray-lây (Rayleigh), Ray-lây đề ra phương pháp tính gần đúng bằng cách thay thế khối lượng phân tán của chi tiết liên kết đàn hồi bằng một khối lượng tập trung và qui bài toán vô số bậc tự do về bài toán một bậc tự do

Điểm cơ bản của phương pháp này là giả thiết một đường cong biến dạng trong quá trình dao động của chi tiết liên kết đàn hồi rồi căn cứ vào đó mà tính động năng và thế năng của hệ Sau đó, lập phương trình năng lượng để tính tần số riêng Hãy nghiên cứu phương pháp Ray-lây qua trường hợp sau

Thí dụ cho một

khối lượng m đặt ở đầu

Giả thiết trọng lượng của dầm công-xôn không ảnh hưởng đáng kể đến biến dạng của nó, phương trình đường đàn hồi của dầm công-xôn khi dao động giống với phương trình đường đàn hồi của dầm công-xôn chịu lực tập trung Q ở đầu B, nghĩa là vận tốc ở đầu B là y(1,t) thì vận tốc ở mặt cắt với hoành độ z là:

gdz

.q.2

g là gia tốc trọng trường

Động năng toàn dầm công-xôn là:

l z

lz)

t,l(

y.g

q ∫l − 

II DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ KỂ LỰC CẢN

Vì dao động tự do nên lực kích thích P(t) = 0, khi đó phương trình vi phân (11-7) của dao động có dạng:

dt( )t

dy.dt

)t(y

−α

−α

−

=

ω

−α+α

−

=k

có hai trường hợp xảy ra:

1 - Trường hợp thứ nhất : α < ω - Hệ số ảnh hưởng của lực cản nhỏ hơn tần số riêng không kể đến lực cản thì:

k1,2 = - α± ω

ω : là tần số dao động riêng có kể đến lực cản

Lúc này nghiệm tổng quát của phương trình (11-11) có dạng:

y(t) = e− α t(C cosω t+C sinω )t

y0 = C1 , • 0 = -α C1 + ω1.C2

Rút ra: C1 = y0

C2 = +ωα

•

Phương trình của dao động là :

y(t) = e t(y cos t y .y sinω )t

ω

α++ω

• α

α++

=

• α

− α

− .C e y y y

Độ lệch pha:

y.y

.yarctg

α+

ω

=α

•

Chu kỳ của dao động : T1 = ωπ −α ω

So sánh chu kỳ T1 với chu kỳ T của dao động tự do không kể đến lực cản thì chu kỳ T1 tăng lên (vì có lực cản)

Biểu thức (11-13) biểu diễn một dao động tắc dần,

đồ thị của dao động tắt dần được biểu diễn trên H.11-12

Qua đồ thị ta thấy biên độ giảm dần theo thời gian Lực cản

càng lớn, tức hệ số α càng lớn, thì sự tắt dần càng nhanh

Sau mỗi chu kỳ T1 biên độ dao động sẽ giảm đi theo tỉ số:

) T t(

t

ee

+ α

III - DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC - HIỆN TƯỢNG CỘNG HƯỠNG

Ta gọi dao động cưỡng bức là dao động của hệ đàn hồi

có lực kích thích tác dụng thường xuyên

Trong chương này ta chỉ xét trường hợp lực kích thích

P(t) biến thiên tuần hoàn theo thời gian

Thí dụ một mô-tơ điện đặt trên một dầm, phần rô-to

của mô-tơ có khối lượng M đặt lệch tâm quay là e (H.11-13)

Khi quay với vận tốc góc r, rô-to sinh ra lực li tâm:

dty( )t

d

z

δω

=ω+α

Nghiệm tổng quát của phương trình (11-14) gồm hai số hạng:

y(t) = y1(t) + y2(t)

Trong đó

y1(t) - nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất

y2(t) - nghiệm riêng của phương trình vi phân có vế phải

Ta thấy ngay rằng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (không có vế phải) :

H.11-12

+ α +ω y( )t=

dt( )t

dy dt

)t(yd

là biểu thức (11-13):

y1(t) = e− α t.C.sin(ω t+α)nó biểu diễn dao động tắc dần

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất (có vế phải) được xác định như sau : vì vế phải của phương trình (11-14) là một hàm số tuần hoàn, nên ta đặt nghiệm riêng dạng:

δω

=α

−

−ω

C)

r(C.r )C .rC .P

r

Rút ra : C1 = ( r ) r

rP

z

α+

−ω

−ωδ

ω

rP

z

α+

−ω

αδ

z

α+

−ωδω

α+

−

δ

rr

α

=ϕ Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (11-14) là:

Số hạng đầu biễu diễn dao động tự do tắt dần Số hạng thứ hai biễu diễn dao động cưỡng bức do lực kích thích gây ra Dao động tự do sẽ mất đi sau một thời gian, khi đó hệ sẽ dao động theo tần số r của lực kích thích và biên độ của dao động là:

α+

−

δ

rr

gọi là hệ số động, nó biểu diễn số lần chuyển vị động ( biên độ của dao động cưỡng bức) lớn hơn chuyển vị tĩnh

Ta được: y(t) = y1(t) + kđ yt.sin(rt - ϕ)

Trong thực tế, khi dao động luôn luôn có lực cản nên sau một thời gian nhất định số hạng y1(t) sẽ mất đi, vì nó biểu diễn dao động tự do tắc dần Ở đây ta chỉ xét dao động cưỡng bức do lực kích thích gây

ra, nên độ võng động sẽ là:

Mặt khác mục đích của sức bền vật liệu là xác định ứng suất lớn nhất và độ võng lớn nhất để viết điều kiện bền và cứng, nên không cần xac định độ võng động ở bất kỳ thời điểm nào mà chủ yếu tìm giá trị tuỵêt đối lớn nhất của độ võng động:

=τ

σ

=σ

t đ đ

t đ đ

.k

.k

Trong đó: σ τ - ứng suất động do tải trọng động gây ra

τσ - ứng suất tĩnh do biên độ của lực kích thích tác dụng tĩnh lên hệ gây ra

Nếu ngoài lực kích thích, trên hệ còn có tải trọng tĩnh tác dụng thì ứng suất toàn phần trên một mặt cắt nào đó sẽ là tổng ứng suất do tải trọng tĩnh đó gây ra và ứng suất động tính theo công thức ( 11-17 )

Để so sánh ảnh hưởng của tải trọng động và tải trọng tĩnh, ta sẽ khảo sát hệ số độ kđ tính theo công thức (11-15)

Hệ số kđ phụ thuộc tỉ sốω và ωα

Trên hình 11-14 biểu diễn quan hệ giữa hệ số động kđ

với ω Ta nhận thấy:

a) Nếu ω < 1 khá nhiều thì hệ số k đ ≈ 1, do đó, biên độ

của độ võng động gần bằng độ võng tĩnh Điều đó có nghĩa là

đối với trường hợp tần số của lực kích thích nhỏ hơn nhiều so

với tần số riêng của hệ, thì có thể coi như lực kích thich tác

dụng một cách tĩnh lên hệ

b) Nếu ω > 1 khá nhiều, kđ sẽ nhỏ, vậy biên độ của độ

võng động sẽ nhỏ hơn độ võng tĩnh Khi đó sẽ tính theo lực