NGHIÊN cứu ổn ĐỊNH của vỏ có cơ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU tác DỤNG của tải TRỌNG ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS SUBJECT TO DYNAMIC LOADS

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘNG STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS SUBJECT TO DYNAMIC LOADS Lê Thúc Định1a, Vũ Quố

NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA VỎ CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

CHỊU TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG ĐỘNG

STABILITY STUDY OF FUNCTIONALLY GRADED MATERIAL SHELLS

SUBJECT TO DYNAMIC LOADS

Lê Thúc Định1a, Vũ Quốc Trụ2b, Trần Thị Hương3c

1,2 Học viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội, Việt Nam

3Trường CĐKT Lý Tự Trọng, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam

a ledinhvhp@gmail.com; b vuquoctru@gmail.com; c khoinguyen020109@yahoo.com

TÓM TẮT

Bài báo trình bày kết quả phân tích động lực học của vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có

cơ tính biến thiên chịu tác dụng của tải trọng động Tải tới hạn được xác định theo tiêu chuẩn

ổn định Budiansky – Roth Trên cơ sở thuật toán và chương trình đã lập, khảo sát một số yếu

tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ FGM Kết quả bài báo là cơ sở cho việc nghiên cứu, tính toán, thiết kế cho các kết cấu dạng vỏ FGM trong kỹ thuật

Từ khóa: vỏ, vật liệu có cơ tính biến thiên, ổn định, tải trọng động, tải trọng tới hạn

ABSTRACT

This paper presents the results of dynamic analysis of functionally graded material cylinderical shallow shells subject to dynamic loads Critical loads are defined as Budiansky - Roth stability criteria Based on algorithms and programs have been formulated to investigate some of factors which affect to dynamic response of FGM shells Results paper is the basis to study, calculate, design for FGM shell structures in engineering

Keywords: shell, functionally graded material, stability, dynamic load, critical load

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) là loại vật liệu mới hiện đang được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu Các kết cấu làm bằng vật liệu FGM (đặc biệt là kết cấu dạng tấm, vỏ) đang được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực: hàng không vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân, … Tuy nhiên, các nghiên cứu trước đây chỉ xét mô hình chịu tải trọng theo phương hướng kính hoặc theo phương song song với đường sinh của vỏ trụ Do vậy, nghiên cứu ổn định của vỏ làm bằng vật liệu FGM chịu tác dụng của tải trọng động theo phương bất kỳ như mô hình bài báo đặt ra là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tiễn Bài báo này là cơ sở để nghiên cứu ổn định của vỏ trụ thoải FGM với dạng tải trọng phức tạp hơn, đó là tải trọng khí động

2 XÂY DỰNG BÀI TOÁN

2.1 Mô hình vật liệu có cơ tính biến thiên

Vật liệu có cơ tính biến thiên thường được sử dụng nhiều trong thực tế là loại hai thành phần, nó là hỗn hợp của gốm (ceramic) và kim loại (metal) (Hình 1) Trong đó, tỷ lệ thể tích của các thành phần vật liệu biến đổi theo chiều dày kết cấu và là hàm lũy thừa của biến chiều dày z [1], [2]:

k

z 1

V (z) ; V (z) 1 V (z)

h 2

    

trong đó: k là chỉ số tỉ lệ thể tích;V , Vc m là tỉ lệ thể tích của thành phần gốm và kim loại tương ứng, z là trục tọa độ theo phương pháp tuyến bề mặt kết cấu

h/2

-h/2 0

Bề mặt giàu gốm

Bề mặt giàu kim loại

z

x

Hình 1 Mô hình kết cấu vật liệu FGM

Tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định theo biểu thức sau [1], [2]:

z 1

h 2

     

trong đó Pe, Pc, Pm là tính chất hiệu dụng (mô đun đàn hồi, khối lượng riêng, hệ số giãn

nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt) của vật liệu FGM, gốm, kim loại tương ứng Còn hệ số Poisson thường lấy là hằng số vì ảnh hưởng của nó đến đáp ứng của kết cấu là không đáng kể, đã được chỉ ra trong [3] và nhiều công trình nghiên cứu khác

2.2 Mô hình bài toán và các giả thiết

Vỏ trụ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, chịu tác dụng của tải trọng điều hòa phân

bố, có chiều dọc trục Oy và hợp với mặt phẳng xOy góc α, kích thước của vỏ như hình 2

x

P(t )

α

θ/2 θ/2

R

a

L

f 0

O

Hình 2 Mô hình bài toán

Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, vỏ có chiều dày thỏa mãn lý thuyết Reissner - Mindlin

x

y

1

2

3 4

u 3

u 4

x

y

z

1

2

3 4

w 1

θ x1

w 2

w 3

w 4

θy1

θ x2

θ y2

θ x3

θ x4

θy4

θ y3

a) Phần tử phẳng chịu kéo (nén) b) Phần tử vỏ phẳng chịu uốn-xoắn kết hợp

Hình 3 Mô hình phần tử vỏ chịu kéo (nén) và phần tử vỏ chịu uốn-xoắn

Vỏ thoải được rời rạc hoá bởi các phần tử phẳng, theo đó vỏ là tổ hợp hữu hạn các phần

tử phẳng bốn nút, trong đó mỗi phần tử được xem là tổ hợp của hai loại phần tử: phần tử phẳng bốn nút, mỗi nút có hai bậc tự do (ui, vi) và phần tử phẳng bốn nút chịu uốn - xoắn kết hợp, mỗi nút có bốn bậc tự do (wi, xi, yi, zi), thể hiện như trên hình 3

3 QUAN HỆ ỨNG XỬ CƠ HỌC

3.1 Quan hệ biến dạng và chuyển vị

Chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x,y,z) thuộc phần tử vỏ phẳng ở thời điểm t có dạng [4]:

0

u x, y, z, t u x, y, t z x, y, t

v x, y, z, t v x, y, t z x, y, t

w x, y, z, t w x, y, t







(3)

trong đó: u, v và w tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z tại điểm có tọa độ (x,y,z); u0, v0 và w0 tương ứng là chuyển vị dài dọc theo các trục x, y và z của mặt trung bình; x, y lần lượt là góc xoay của pháp tuyến mặt phẳng tấm quanh các trục x và y Khi kể đến biến dạng của mặt trung bình, các thành phần véctơ biến dạng quan hệ với trường chuyển vị (3) theo biểu thức [4]:

c c

z

       



trong đó:  m ,   ,  c là véc tơ biến dạng màng, véc tơ độ cong, véc tơ biến dạng trượt tương ứng và được xác định như sau:

2 0

2

1 w u

2 x x

   



      

          

     



(5)

trong đó:  L

m

 - chuyển vị màng tuyến tính;  N

m

 - chuyển vị màng phi tuyến

y xy

 

      

 

(6)

c

yz

x

w x w y



   



    





 

     



(7)

3.2 Quan hệ ứng suất và biến dạng

Giả thiết bỏ qua ứng suất pháp theo phương trục z (z = 0), quan hệ ứng suất và biến dạng của phần tử vỏ phẳng FGM được viết dưới dạng sau [4]:

x 11 12 x

66

44

55

vớiQ ,ij C là các hệ số độ cứng, các hệ số trượt được xác định như sau: kl

 

E(z) là mô đun đàn hồi của vật liệu FGM, được xác định như sau:

   c m z 1 k m

h 2

     

3.3 Các thành phần nội lực

Theo [4], quan hệ giữa các thành phần nội lực và biến dạng được biểu diễn như sau:

 

 

 

     

     

     

 

 

 

 

m

c

Q

  

 

       

     

(11)

trong đó:

x y xy

N  N , N , N - véc tơ lực màng;

x y xy

M  M , M , M - véc tơ mô men uốn và xoắn;

x y

Q  Q , Q - véc tơ lực cắt;

[A], [B], [D], [C] là ma trận độ cứng màng, ma trận độ cứng tương tác màng-uốn-xoắn,

ma trận độ cứng uốn và ma trận độ cứng trượt tương ứng [2]:

2

h / 2 p

h / 2

0 1

2 1













(12)

với  E là ma trận các hệ số đàn hồi:

  E z 2 1 0

1

1

0 0

2

    

(13)

p

k là hệ số hiệu chỉnh cắt (thường lấy kp 5 / 6)

4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng nguyên lý Hamilton cho phần tử [5], ta có:

trong đó: T , e Ue, We lần lượt là động năng, năng lượng biến dạng đàn hồi, công gây

ra bởi lực điều hòa được xác định theo các biểu thức sau:

e

V

1

2

e

T T

A

W   vP(t) cos d A   wP(t) sind A (17) Thay (15), (16), (17) vào (14) và biến đổi ta được phương trình sau:

[M ]{q } [C ]{q } [K ]{q } {F }   (18) trong đó:

e

[M ]- ma trận khối lượng của phần tử:

e

24 24 A

[M ] I [N ] [N ] I [N ] [N ] [N ] [N ] dA



2

h / 2



   ;    c m k m

z 1 z

h 2

         

e

[K ], [C ]e là ma trận độ cứng kết cấu và ma trận cản của phần tử:

 

 

N

20 4

e

[K ]







 

 

24 24



   

với α,  là hệ số cản Rayleigh

Véctơ chuyển vị nút phần tử:

1 1 1 x1 y1 z1 4 4 4 x4 y4 z4 e

e

{F } - véc tơ tải phần tử

T

Sử dụng phương pháp ma trận biến đổi tọa độ, phương trình vi phân mô tả dao động của phần tử trong hệ tọa độ tổng thể như sau:

[M ]{q } [C ]{q } [K ]{q } {F }   (23) Sau khi tập hợp các ma trận và véc tơ phần tử theo theo thuật toán của phương pháp PTHH ta được các ma trận và véctơ tổng thể Khi đó, phương trình vi phân dao động của vỏ FGM chịu tác dụng của tải trọng động có dạng như sau:

 

Phương trình (24) là phương trình vi phân phi tuyến, do đó tác giả sử dụng phương pháp tích phân trực tiếp Newmark kết hợp với lặp Newton – Raphson để giải

5 TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN

5.1 Xác định lực tới hạn

Xét vỏ trụ thoải làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên hai thành phần là nhôm và nhôm oxit với các thuộc tính vật liệu như sau: Em = 70.109N/m2, m = 2700 kg/m3, m = 0,3,

Ec = 380.109N/m2, c = 3800 kg/m3, c = 0,3 Kích thước vỏ: chiều dài L = 1m, bán kính

R = 1m, chiều dày h = 0,005m, liên kết ngàm cứng một cạnh cong, chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có phương dọc theo trục oy và hợp với mặt xoy góc α = 300, độ lớn P = P0sin(t),

P0 = 595N/m,  = 320

Sử dụng chương trình tính DB FGM Shells của nhóm tác giả lập để giải bài toán, đồng thời so sánh với kết quả giải bằng phần mềm Ansys ta nhận được kết quả như đồ thị hình 4:

Hình 4 Đáp ứng độ võng của vỏ theo thời gian

Dựa vào đồ thị đáp ứng độ võng của vỏ theo thời gian, áp dụng tiêu chuẩn ổn định động Budiansky – Roth, ta có bảng giá trị tới hạn của thời gian và lực như bảng sau:

Bảng 1 Giá trị lực tới hạn

Từ kết quả giải bài toán bằng chương trình do tác nhóm tác giả lập và giải bằng phần mềm Ansys cho thấy sai số về thời gian tới hạn là 2,43% và sai số về giá trị lực tới hạn là 1,12% Như vậy, mô hình và chương trình tính được xây dựng là hoàn toàn chấp nhận được

5.2 Khảo sát một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ

5.2.1 Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích

Khi xem xét ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến đáp ứng động của vỏ FGM, tác giả khảo sát cho 3 trường hợp: k = 0 (vỏ làm bằng nhôm oxit), k = 0,5 (vỏ làm bằng vật liệu FGM), k = ∞ (vỏ làm bằng nhôm) Kết quả đáp ứng độ võng của vỏ như đồ thị hình 5

* Nhận xét: Dựa vào đồ thị trên hình 5, ta thấy chỉ số mũ k có ảnh hưởng lớn đến đáp ứng động của vỏ Cụ thể độ võng trong trường hợp vỏ làm bằng nhôm oxit là nhỏ nhất, độ võng của vỏ làm bằng nhôm là lớn nhất còn độ võng của vỏ FGM nằm trung gian giữa vỏ nhôm và nhôm oxit Điều này hoàn toàn phù hợp với quy luật cơ học của vật liệu, đồng thời cho thấy độ tin cậy của chương trình tính

Hình 5 Ảnh hưởng của chỉ số mũ k đến đáp ứng độ võng của vỏ FGM

Bảng 2 Giá trị lớn nhất của độ võng theo chỉ số mũ tỉ lệ thể tích

Từ bảng 1 ta thấy: độ võng lớn nhất của vỏ FGM lớn hơn không nhiều so với vỏ làm bằng nhôm oxit, nhưng lại nhỏ hơn rất nhiều so với vỏ làm bằng nhôm Đây chính là tính chất

ưu việt của vật liệu FGM so với các vật liệu thành phần của nó

5.2.2 Ảnh hưởng của tỉ số h/R

Để đánh giá ảnh hưởng của tỉ số h/R đối với đáp ứng động của vỏ FGM, tác giả khảo sát với giá trị của h/R thay đổi từ 0,005 – 0,02 và thu được kết quả như trên đồ thị hình 6

Hình 6 Ảnh hưởng của tỉ số h/R đến đáp ứng độ võng của vỏ FGM

* Nhận xét: Căn cứ vào đồ thị hình 6, ta nhận thấy tỉ số giữa chiều dày và bán kính (h/R) có ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng động của vỏ FGM Khi tỉ số h/R tăng, độ võng của

vỏ giảm Như vậy khả năng chịu tải của vỏ tăng lên Đây cũng là giải pháp cơ học nhằm tăng cứng cho vỏ, tuy nhiên cần chú ý đến tính kinh tế và tính công nghệ của kết cấu

5.2.3 Ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến lực tới hạn

Thực hiện khảo sát đáp ứng chuyển vị của vỏ FGM theo thời gian ứng với ba giá trị khác nhau của chỉ số mũ: k = 0,5, k = 1, k = 2 Kết quả được thể hiện trên đồ thị hình 7

Hình 7 Ảnh hưởng của chỉ số mũ k đến lực tới hạn của vỏ FGM

Bảng 3 Giá trị lực tới hạn tương ứng với chỉ số mũ tỉ lệ thể tích

* Nhận xét: Căn cứ vào kết quả khảo sát trên đồ thị hình 7 và bảng 3, ta thấy chỉ số mũ

tỉ lệ thể tích có ảnh hưởng lớn đến lực tới hạn của vỏ, lực tới hạn tỉ lệ nghịch với chỉ số mũ Kết cấu ổn định tốt hơn khi chỉ số mũ nhỏ hơn 1, do đó trong thực tế để thiết kế các kết cấu vỏ theo hướng tăng khả năng ổn định thì nên lựa chọn vật liệu FGM có chỉ số mũ k nhỏ hơn 1

6 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, tác giả đã xây dựng thuật toán PTHH giải bài toán động lực học phi tuyến của vỏ FGM chịu tác dụng của tải trọng động, xây dựng chương trình tính bằng ngôn ngữ matlab và tiến hành khảo sát số xác định lực tới hạn của vỏ FGM

Nghiên cứu một số yếu tố ảnh hưởng đến đáp ứng động của vỏ FGM: ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích, tỉ số h/R; nghiên cứu ảnh hưởng của chỉ số mũ tỉ lệ thể tích đến khả năng ổn định của kết cấu vỏ FGM

Thông qua các kết quả số, rút ra nhận xét làm cơ sở tham khảo để lựa chọn các giải pháp hợp lý cho kết cấu của vỏ FGM

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lee S L., Kim J H., Thermal post-buckling and limit-cycle oscillation of functionally

graded panel with structural damping in supersonic airflow, 2009, Composite Structures

(91), pp 205-211

[2] Lee S.-L., Kim J.-H., Thermal Stability Boundary of FG Panel under Aerodynamic Load,

World Academy of Science, Engineering and Technology,2007, (32), pp 60 - 65

[3] Lê Khả Hòa, Phân tích ổn định tĩnh của vỏ bằng vật liệu có cơ tính biến thiên, Luận án

tiến sĩ cơ học, Đại học KHTN, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015

[4] Trần Ích Thịnh, Vật liệu composite cơ học và tính toán kết cấu, NXB Giáo dục, 1994

[5] Yuan K H., Qiu Z P., Nonlinear flutter analysis of stiffened composite panels in

supersonic flow, Sciene China Physics & Astronomy, 2010, Vol 3 No 2, pp 336 - 344

THÔNG TIN TÁC GIẢ

1 Lê Thúc Định, Học viện KTQS, ledinhvhp@gmail.com, 0982.140.560 – 0919.148.167

2 Vũ Quốc Trụ, Học viện KTQS, vuquoctru@gmail.com, 0983.577.999

3 Trần Thị Hương, Trường CĐKT Lý Tự Trọng, khoinguyen020109@yahoo.com,

0988100633