BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
• BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR
• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)
Trang 2CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
-Cực trị tại x 0 : > 0 : x (xx 0 – , x 0 + ) f(xx) f(xx 0 )
Fermat: f đạt cực trị tại x 0 (xa,b) & khả vi tại x) & khả vi tại x 0 f’(xx 0 ) = 0
Minh hoạ hình học:
Trang 3ĐỊNH LÝ ROLL
-Hàm f(xx) liên tục trên [a,b) & khả vi tại x], khả vi trong (xa, b) & khả vi tại x), f(xa) = f(xb) & khả vi tại x)
x 0(xa, b) & khả vi tại x): f’(xx 0 ) = 0
Minh hoạ hình học:
Giải: Xét hàm phụ
VD: Chứng minh
phương trình 4ax 3 +
3b) & khả vi tại xx 2 + 2cx – (xa + b) & khả vi tại x +
c) = 0 có ít nhất 1
nghiệm thực trong
khoảng (x0, 1)
Trang 4ĐỊNH LÝ (xSỐ GIA) LAGRANGE
-Hàm f(xx) liên tục trên [a,b) & khả vi tại x], khả vi trong (xa,b) & khả vi tại x)
c (xa, b) & khả vi tại x): f(xb) & khả vi tại x) – f(xa) = f’(xc)(xb) & khả vi tại x – a)
VD: CMinh BĐThức
y x
y
x arctg
arctg
Aùp dụng: Khảo sát
tính đơn điệu của
hàm y = f(xx) b) & khả vi tại xằng
đạo hàm
Trang 5KHAI TRIỂN TAYLOR
-CT Taylor (xphần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (xa,b) & khả vi tại x)
!
)
k
x
f x
k
k
k
Hàm y = f(xx) có đạo hàm tại x 0 f(xx) f(xx 0 ) + f’(xx 0 )(xx – x 0 )
Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (xa,b) & khả vi tại x); x 0 , x(xa, b) & khả vi tại x)
!
! 2
''
0
0 0
0
n
x
x n
x
f x
x
x
f x
x x
f x
f
f
x x
c x
x n
c
f x
x k
x
f x
f
x R
n
n n
k
k k
n
,
, )!
1 (
1 0
) 1 ( 0
0
: Phần dư Lagrange
Trang 6KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
-x 0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (xphổ b) & khả vi tại xiến)
)
(
!
0
!
0 0
' 0
)
(
0
x R
x k
f x
R
x n
f x
f f
x
k
k
k n
n
n
Phần dư Lagrange: x c c x x
n
c
f x
)!
1 (
)
Phần dư Peano: R n(x) ox n1 , x 0
VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm a/ e x b) & khả vi tại x/ cosx
!
! 2
2
n
x
x x
n x
! 2
1
! 4
! 2
1
2 4
2
n
x x
x
n n
Kết quả:
Trang 7MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
-Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(xx) = sinx
x x
p1( )
6
)
(
3
x x
120 6
)
x x
Chú ý: Đồ thị đa
thức xấp xỉ tiến
dần về đồ thị hàm
được khai triển
Trang 8KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN
-Khai triển e x : tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu cos chẵn mũ chẵn; sin lẻ mũ lẻ; tg lẻ mũ lẻ K0 đan dấu shx, chx
Hàm lượng giác: sinx, cosx Hàm tgx (xchỉ đến cấp b) & khả vi tại xa)
)!
1 2
(
1
! 5
! 3
1 2 1 5
3
x x
o n
x x
x x
n
n
)!
2 (
1
! 4
! 2
1
cos 2 4 2 o x2 1 x
n
x x
x
n
3
tgx x x3 o x4 x