GT ha NS ung dung cua khai trien taylor va da thuc 07 24

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐA THỨC NỘI DUNG 1.Mở đầu Với hàm số khả vi cấp cao, ta có khai triển Taylor:... Trong mỗi trường hợp, tác giả có đưa ra định hướng c

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

NỘI DUNG 1.Mở đầu

Với hàm số khả vi cấp cao, ta có khai triển Taylor:

2 Một số hệ quả của khai triển Taylor

Hệ quả 4 là trường hợp riêng của hệ quả 2 khi n=1

Hệ quả 5 Cho f x  xác định trên R thỏa mãn f x  khả vi cấp 3 và (3) 

f x liên tục tại một lân cận U củax0

a)Nếu  3  

0

f x   x Rthì f x Pf,2,x0 x  x x0và f x Pf,2,x0 x  x x0 b) Nếu  3  

0

f x   x R thì f x Pf,2,x0 x  x x0và f x Pf,2,x0 x  x x0

Hệ quả 5 là trường hợp riêng của hệ quả 3 khi n=2

Các hệ quả trên vẫn đúng khi tập xác định của hàm số là một khoảng đồng thời

hàm số có đạo hàm cấp cao liên tục và không đổi dấu trên tập xác định

Nếu dùng khai triển Taylor thì ta có thể thấy ngay các hệ quả trên Tuy nhiên khai triển Taylor không được đưa vào chương trình Trung học phổ thông Các bài toán sau đây có được từ việc xét các trường hợp riêng của các hệ quả trên Trong mỗi trường hợp, tác giả có đưa ra định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức trên cơ sở sử dụng kiến

thức được quy định trong sách giáo khoa hiện hành.

Khi giải nhiều bài toán về bất đẳng thức, ta mò mẫm và dự đoán về một bất đẳng thức mới và kiểm nghiệm lại xem bất đẳng thức đó có đúng không Bài viết này tập trung

việc sử dụng đa thức Pf n x, , 0 x giúp ta đưa ra một số đánh giá mới trong tình huống liên quan đến hàm f x .

3 Khai triển Taylor một số hàm số và ứng dụng

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số y 1 x  1 x.

Không phải lúc nào cũng có f x P f n x , , 0x hoặc f x P f n x , , 0x Đa thức

 , , 0

P f n x là một trong những biểu thức mà ta sẽ chọn để đánh giá so sánh với f x 

Thực tế, sau khi mò mẫm và dự đoán, ta phải kiểm nghiệm xem các bất đẳng thức có

đúng không Bất đẳng thức trong Bài 2 là bất đẳng thức Bernoulli

Bài 5 (Sử dụng Hệ quả 4) Chứng minh rằng e x    1 x x R

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số ye x  1 x Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0

x Như vậy nếu x0 thì e x  1 x

Bài 6 (Sử dụng Bài 5). ae Chứng minh rằng a x   1 x x 0

Cách giải: a x e x    1 x x 0.

Bài 7 (Sử dụng Hệ quả 4) Đề thi Olympic 30 tháng 4 năm 2001

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có 1 sin A1 sin B1 sin Ce3 32

1 sin A 1 sin B 1 sin C e A.e B.e C e A B C e

Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0

Bài 10 (Sử dụng Hệ quả 5) Cho *

Bài 12. (Sử dụng Hệ quả 5) Cho *

Bài 14. (Sử dụng Hệ quả 4) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012)

Cho x  y z 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P tại x y z, ,   0;0;0  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3

Ta có thể sử dụng khai triển Taylor để đề xuất các bất đẳng thức mới, từ đó xét tính bị chặn và hội tụ của dãy số

Bài 15 (Sử dụng Hệ quả 4) Cho các dãy số dương      u n , s n , v n thỏa mãn

n n

u k

Dễ thấy  s bị chặn khi và chỉ khi n  v n bị chặn

Vì vậy  s hội tụ khi và chỉ khi n  v n hội tụ

Bài 16 (Sử dụng Hệ quả 5) Cho các dãy số dương      u n , s n , w n thỏa mãn

Dễ thấy  s bị chặn khi và chỉ khi n  w n bị chặn

Vì vậy  s hội tụ khi và chỉ khi n  w n hội tụ

Nhận xét, có thể tổng quát Bài 15 và Bài 16 với dãy số  w n mà

i k

u w

Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có 1

1 1

n n k

1

1

  theo Bài 17  u n hội tụ Vậy  y n hội tụ

Bài 19 (Sử dụng Hệ quả 4) Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của Việt Nam, 2011

Cho dãy số thực  x n xác định bởi

2

1

n n k

  theo Bài 16  u n hội tụ Vậy  y n hội tụ

Nhờ khai triển Taylor, ta có thể đề xuất các bất đẳng thức, từ đó đề xuất các bài giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá

Bài 20 (Sử dụng Hệ quả 4) Giải phương trình e x  1 x.

Cách giải: Sử dụng Bài 5, phương trình có tập nghiệm S  0

Bài 21 (Sử dụng Hệ quả 4) Giải phương trình 10x  1 x

Cách giải: Sử dụng Bài 6, phương trình có tập nghiệm S  0

Bài 22 (Sử dụng Hệ quả 4) Giải phương trình x 1 ln x

Cách giải: Điều kiện x0 Đặt tln x Phương trình trở thành e t  1 t

Cách giải: Sử dụng Bài 9, phương trình có tập nghiệm S  0

Bài 25 (Sử dụng Hệ quả 5) Giải phương trình  2



     Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn

b)Cho các hằng số nguyên dương a, b (a<b) và dãy số  v n thỏa mãn

* 1

* 1

u  u n N

     u n là dãy tăng

lim ln 1 ln 1 lim ln lim ln ln

11

Bài 29 (Sử dụng Hệ quả 4) Đề thi thử Đại học lần 3 năm 2016 của Trường THPT

Nguyễn Tất Thành – Đại học Sư phạm Hà Nội

x y xy x  y x  y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3

Vậy phương trình có tập nghiệm S 0

Bài 31 (Sử dụng Hệ quả 4 và 5) Cho *

Chứng minh rằng dãy số  u n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó

Cách giải: Theo Bài 30, ta có:

Vậy sinx  x x 0.

+)

2 2

Bài 35 (Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994, tr.85)

Cho số thực  0; Dãy số  a n được xác định như sau 0

* 1

.sin

a) b n là dãy số bị chặn trên b)  b n là dãy số tăng

   

 

5 2

  và f x  là hàm liên tục trên R nên f x  đồng biến trên R

Vì f x  đồng biến trên R, f  0 0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 0

Bài 38 Đề thi Olympic Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 2009

Cho dãy số thực  x n xác định bởi 1

* 3

Chứng minh rằng dãy số  x n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Bài 40 được tác giả của bài viết tham khảo từ đề thi Olympic Trường THPT Thực hành

sư phạm Đại học An Giang

x  f x   x x Nhờ khai triển Taylor, ta có thể mò mẫm, dự đoán và kiểm

nghiệm được kết quả trên Trong đề thi Olympic Trường THPT Thực hành sư phạm Đại

học An Giang, có nội dung chứng minh 2   0

Từ đây ta giải được hệ phương trình đã cho nhờ tính chất x y.

Bài 42 Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng

2sinA2sinB2sinC3tanA3tanB3tanC5 

a n

Bài 50 Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2010-2011

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 12 12 12 1

a b c  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài viết trình bày lại khai triển Taylor của một hàm số khả vi liên tục cấp cao và đưa

ra nhiều hệ quả của khai triển này Đồng thời, tác giả trình bày lại khai triển Taylor 7 hàm số thường gặp và ứng dụng của các khai triển đó Thông qua khai triển Taylor, tác giả làm sáng tỏ một con đường tìm đến các bổ đề giải một số bài toán liên quan đến bất đẳng thức và làm sáng tỏ một con đường đưa đến các bài toán mới Giáo viên THPT có thêm một định hướng để sáng tác nhiều bài toán mới về bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh mò mẫm và dự đoán về điều kiện xảy

ra đẳng thức trong một số bài toán bất đẳng thức, dự đoán về nghiệm của phương trình trong một số bài toán giải phương trình, từ đó chọn x0 phù hợp để thực hiện khai triển Taylor

6.Tài liệu tham khảo

1 Phan Đức Chính, Bất đẳng thức, Nhà xuất bản Giáo dục, 1994

2 Nguyễn Vũ Lương, Các bài toán về hàm mũ và loga, Nhà xuất bản Giáo dục, 2013 3.Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích, Giáo trình Lý thuyết và bài tập có hướng dẫn, Tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2010

4 Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng 4 Toán 11, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội, 2014