Đường thẳng Pascal- Ứng dụng- Phát triển

Trong chuyên đềø này ta sẽ chứng minh định lí này theo phương pháp xạ ảnh, phương pháp tọa độâ và trình bày một số bài tóan ứng dụng, mở rộng … 1 Khái niệm, kí hiệu: Hình lục giác nội t

ĐƯỜNG THẲNG PASCAL - ỨNG DỤNG - PHÁT TRIỂN

Lê Hữu Dũng Trường THPT chuyên Lê Quý Đơn, TP Đà Nẵng

====================

Định lí Pascal về hình lục giác nội tiếp là định lí cơ bản của lý thuyết thiết diện conic do Blaise Pascal công bố vào năm 1640 (lúc ông mới 16 tuổi) Đó là dạng tổng quát của định lí Pappus (Hy lạp cổ đại) Đối ngẫu của nó là định lí Brianchon

(công bố năm 1806 tức là gần 200 năm sau định lí Pascal) Bản thân Pascal đã suy

ra hơn 200 hệ qủa từ định lí thần kì này! Trong chuyên đềø này ta sẽ chứng minh định lí này theo phương pháp xạ ảnh, phương pháp tọa độâ và trình bày một số bài tóan ứng dụng, mở rộng …

1) Khái niệm, kí hiệu:

Hình lục giác nội tiếp trong một đường conic ứng với 6 điểm nằm bất kì trên conic 1, 2, 3, 4, 5, 6 gọi là các đỉnh của lục giác Các đường nối 12, 23, 34, 56, 61 gọi là các cạnh của lục giác Các cặp cạnh 12 và 45; 23 và 56; 34 và 61 là các cạnh đối diện của hình lục giác Theo ngôn ngữ Graph thì mỗi lục giác là một xích Hamilton trên đồ thị đủ K6 Từ đó ứng với 6 điểm trên conic, ta có (6 - 1)!/2 =

60 lục giác khác nhau

2) Định lí Pascal :

Ba giao điểm của các cạnh đối diện của hình lục giác nội tiếp trong một conic nằm trên một đường thẳng (gọi là đường thẳng Pascal của lục giác )

• Chứng minh theo phương pháp xạ ảnh:

Trong hình học xạ ảnh, tính chất nêu trong định lí này là tính chất xạ ảnh Nếu nó đúng trên một lọai conic thì cũng đúng trên mọi conic khác Vì vậy ta chỉ cần chứng minh nó đúng với 6 điểm A, B, C, D, E, F trên 1 đường tròn như hình vẽ bên cạnh : chứng minh J, K, L thẳng hàng

Áp dụng định lí Menelaus cho GHI và 3 cát tuyến của

nó: DKC, AJB and ELF

HK/GK GC/IC ID/HD = 1 HA/GA GB/IB IJ/HJ = 1 HF/GF GL/IL IE/HE = 1 Nhân 3 đẳng thức trên ta có:

HK/GK GL/IL IJ/HJ (ID.IE/IB.IC) (HF.HA/HD.HE)

(GC.GB/GA.GF) = 1

Các thừa số trong ngoặc bằng 1, suy ra:

HK/GK GL/IL IJ/HJ = 1

Do đó K, J, L thẳng hàng (theo định lí Menelaus đảo)

* Bình luận: Chứng minh trên phụ thuộc vào hình vẽ và phải dựa trên khái niệm

mặt phẳng xạ ảnh và ánh xạ xạ ảnh - một lí thuyết ngoài chương trình phổ thông Dưới đây là một cách chứng minh thuần túy đại số (chỉ dựa hòan tòan vào kiến thức toán trong trường phổ thông)

* Chứng minh bằng phương pháp tọa độ :

Gọi (S): F(x, y) = ax2 +by2 +cxy+dx+ey+ f = 0 là một đường conic (đường cong bậc

2) trong hệ mặt phẳng tọa độ Oxy và 1, 2, 3, 4, 5, 6 là 6 đỉnh của lục giác nội tiếp trong conic (S) như hình bên Ta chứng minh các điểm M, N, P thẳng hàng

Đặt phương trình các đường thẳng nối điểm i và j là

0 )

,

( = j + j + j =

j x y A x B y C

α

Xét đường cong bậc ba:

(C): G(x,y) = α24α16α35− λα34α26α15 = 0

Dễ thấy (C) cắt (S) tại 6 điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6

Bây giờ nếu chọn

35 16 24

35 16 24 α α α

α α α

với mọi điểm A(x, y) thuộc (S) : F(x, y ) = 0

sao cho α24α16α35 ≠ 0 ta có G(x, y) = 0

Suy ra G(x, y) chia hết cho F(x, y)

Do đó g(x, y) có thể phân tích thành dạng G(x, y) = F(x, y) (Ax + By + C) = 0 tức là đường bậc ba (C) có thể phân rã thành conic (S) và đường thẳng(d): Ax + By +

C = 0

Gọi M, N, P có tọa độ (x, y) lần lượt là giao điểm của các cặp cạnh đối 15, 24; 16, 34; 26, 35 thì G(x,y) = α24α16α35− λα34α26α15 = 0 suy ra M, N, P thuộc (C)

Mặt khác M, N, P không thuộc (S) Do đó M, N, P phải thuộc (d), tức là M, N, P thẳng hàng trên đường thẳng (d)

Vậy định lí Pascal đã được chứng minh, thuần túy bằng đại số !

3) Hệ qủa:

Lục giác nội tiếp conic có thể suy biến thành ngũ giác (khi có một cặp đỉnh trùng nhau), hoặc tứ giác (khi có 2 cặp đỉnh trùng nhau), hoặc tam giác (khi có 3 cặp đỉnh trùng nhau ) Từ đó ta có thể suy ra trực tiếp các hệ qủa sau:

1) Nếu ngũ giác 12345 nội tiếp trong một conic, các cặp đường thẳng 12, 45;

23, 51; 34 và tiếp tuyến tại 1 sẽ cắt nhau theo 3 điểm thẳng hàng

2) Nếu tứ giác nội tiếp trong một conic, các cặp cạnh đối diện cùng với các cặp tiếp tuyến taiï các đỉnh đối diện sẽ cắt nhau theo 4 điểm thẳng hàng

3) Nếu tam giác nội tiếp trong một conic, các tiếp tuyến taiï các đỉnh sẽ cắt cạnh đối diện theo 3 điểm thẳng hàng

4) Áp dụng định li Pascal khi conic là cặp đường thẳng ta có định lí Pappus: Trong mặt phẳng, cho các điểm 1, 3, 5 thuộc đường thẳng d và các điểm 2, 4,

6 thuộc đường thẳng d’ Các cặp cạnh 12 và 45; 23 và 56; 34 và 61 cắt nhau theo 3 điểm thẳng hàng

1

5

6 4

M

4) Đối ngẫu:

Bằng phép đối cực đối với conic, ta suy ra định lí Branchion (đối ngẫu của định

lí Pascal) như sau: Nếu 6 cạnh của lục giác là tiếp tuyến của một conic thì các đường thẳng nối 3 cặp đỉnh đối diện của lục giác đồng quy

5) Vài bài tóan ứng dụng tiêu biểu:

Bài tóan 1:

ứùng với đỉnh B, C Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc AB, AC lần lượt tại N, M

Chứng minh MN, DE, B’C’ đồng quy

Giải:

Gọi hình chiếu của C, B lên BD, CE

lần lượt là P, Q

Dễ chứng minh

N, M, P thẳng hàng

Tương tự M,N, Q thẳng hàng,

do đó M, Q, N, P thẳng hàng

Lục giác BCPB’C’ Q nội tiếp trong

đường tròn đường kính BC

S, E, D thẳng hàng, tức là MN, DE, B’C’ đồng quy tại Sø

Bài tóan 2:

định

Giải: Gọi trực tâm ∆ABC là H

(giao điểm của đường cao BN, CN)

S là giao điểm của BQ, CP

Dễ dàng chứng minh được PQ // BC

Phép vị tự tâm S tỉ số - SQ / SB:

biến B thành Q, biến C thành P,

biến CM thành PB’, biến BN thành QC’

Do đó H, S, K thẳng hàng (1)

Áp dụng định lí Pappus cho P, C’ B và C, B’, Q

nằm trên AB và AC ta có K, P, S thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra H, P, S, K thẳng hàng, do đó PK qua điểm H cố định

S H

K

Q P

P

B'

C

A

B

C'

M P Q

I

B' C'

A

Bài tóan 3:

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại A, B cắt nhau tại S Một cát tuyến quay quanh S cắt CA, CB tại M, N và cắt (O) tại P, Q Chứng minh (M, N, P, Q) = -1

Giải:

Vẽ tiếp tuyến ME, MF của (O) cắt SA, SB

tại K, L Áp dụng định lí Branchion cho lục giác

ngoại tiếp có các cạnh KE, EM, ML, LB, BS, SK

ta có BE, SM, KL đồng quy

Tương tự với lục giác ngoại tiếp có các cạnh

MD, DL, SL, SA, AK, KM ta có AD, SM, LK đồng

quy Do đó BE, AD, SM đồng quy tại giao điểm I

của SM, KL

Áp dụng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp ADEEBC

ta có I, N’ , M thẳng hàng

Suy ra N’≡ N tức là N thuộc ED

Do ED là đường đối cực của M đối với (O) nên (M, N, P, Q) = -1

Bài tóan 4:

Cho 4 điểm A, B, C, D thuộc parabol (P) Gọi a, b lần lượt là tiếp tuyến của (P)

a) AB, CD, M’N, N’M đồng quy (nếu AB cắt CD)

b) (O, B, M, N) = (A, O, M’, N’)

Giải:

a) Áp dụng định lí Pascal cho lục giác nội tiếp

CAABBD với :

ta có S, N’, M thẳng hàng

Tương tự xét lục giác nội tiếp AABBCD với:

ta có S, M’, N thẳng hàng

Do đó AB, MN’, NM’ đồøng quy tại S

Theo định nghĩa tỉ số kép ta có:

(N, B, M, O) = (AN, AB, AM, AO)

= (AN, AS, AI, AM’) = (MN, MS, MI, MM’)

= (MO, MN’, MA, MM’) = ( O, N’, A, M’)

S

O

N'

M B

A

Q

K

L

M S

E

D

C A

B

N

Bài tóan 5: Qua điểm A thuộc hyperbol (H) dựng đường thẳng m và n song song

các tiệm cận Đường thẳng d qua tâm I của (H) cắt (H) tại B, C và cắt m, n tại M,N

Chứng minh (M, N , B, C) = -1

Giải:

Gọi D, E là 2 điểm bất kì thuộc (H) khác A

Tiếp tuyến tại D, E của (H) cắt nhau tại S

Ứng với mỗi cặp vị trí của D, E xét đường

thẳng d’ qu a S và cùng phương d,

điểm của d’ và (H) là B’, C’

Áp dụng định lí Pascal, tương tự bài 3 ta có

(M’, N’ , B’, C’) = -1 (1)

Cho D, E dần tới vô cùng trên các nhánh vô

tận của (H) sao cho đường AD dần tới n, và

đường AE dần tới m

Khi đó S → I , d’ → d, B’→ B , C’→ C

Do đó (1) dẫn đến : (M, N , B, C) = -1

TÓAN ĐỀ NGHỊ:

Bài tóan 6: Cho A, B, C, D thuộc đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại A, D

hàng

Bài tóan 7: Cho tứ giác AB C D Gọi S = AB  CD, S’ = BC  AD, N thuộc

C thẳng hàng

Bài tóan 8: Cho I, J thuộc đường tròn (O) Lấy A, B lần lượt thuộc tiếp tuyến

của (P) tại I, J Vẽ AC, BD tiếp xúc (O) với C, D là tiếp điểm Gọi P = AC 

Bài tóan 9: Cho P trong ∆ABC Gọi P1, P2 lần lượt là hình chiếu của P lên AC,

BC và Q1, Q2 lần lượt là hình chiếu của C lên AP, BP Gọi P3 là hình chiếu của P lên AB

Chứn g minh S thuộc đường tròn (P1 P2 P3)

Bài tóan 10: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy C’, A’, B’ lần lượt thuộc

chéo nối 2 đỉnh đối của lục giác đồng quy

Bài tóan 11: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O,R) Đường tròn (O’,R’) tiếp xúc trong với (O) tại T và tiếp xúc với cạnh AB, AC tại E, F Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp I của ∆ABC thuộc đọan EF

m

n

N

M B

I A

C

6) Mở rộng , phát triển:

Ứng với 6 điểm trên conic, ta có 60 lục giác khác nhau, phát sinh 60 đường thẳng Pascal khác nhau Trong 60 đường đó, cứ 3 đường một đi qua 20 điểm gọi là điểm Steiner, các điểm này lại cứ 4 điểm một nằm trên 15 đường thẳng gọi là đường thẳng Plucker Các đường Pascal cứ 3 đường một lại đồng quy trong một tập gồm 60 điểm khác gọi là các điểm Kirkman Ứng với mỗi điểm Steiner có 3 điểm Kirkman sao cho cả 4 điểm đó đều nằm trên 1 đường thẳng gọi là đường thẳng Cayley Có 20 đường thẳng Cayley như thế, trong đó cứ 4 đường một lại đi qua 15 điểm gọi là các điểm Salmon …

Và cứ thế, trùng trùng Duyên khởi, định lí Pascal mở ra những cảnh giới viên dung vô ngại Sau đây là 3 bài ấn tượng, mở rộng và phát triển từ định lí Pascal:

Bài tóan Mobius: Cho một (4n + 2) - giác nội tiếp trong một cônic Các cặp

cạnh đối diện cắt nhau tại 2n + 1 điểm Nếu 2n điểm trong các điểm đó thẳng hàng thì điểm còn lại cũng nằm trên đường thẳng đó

Định lí Staud: Cho đường bậc 2 không suy biến (S) ngoại tiếp tam giác ABC

Đường thẳng d bất kì qua cực O của AB đối với (S) cắt CA, CB tại M, N Chứng minh M và N liên hiệp đối với (S)

Định lí Fréjer: Nếu f là phép đối hợp khác phép đồng nhất của conic (S) tức làø

ánh xạ xạ ảnh f : (S) → (S), f =f− 1ø thì đường thẳng nối 2 điểm tương ứng qua 1 điểm cố định gọi là điểm Fréjer của f

* Chú thích:

Có thể xây dựng khái niệm ánh xạ xạ ảnh (chỉ dùng kiến thức tóan phổ thông) như sau:

Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng là phép biến hình 1 – 1 biến đường thẳng thành đường thẳng

Phép chiếu xuyên tâm O từ mặt phẳng (đường thẳng) (P) lên mặt phẳng (đường thẳng) (Q) là phép biến hình biến điểm A bất kì thuộc (P) thành điểm A’ là giao điểm của đường thẳng OA với (Q)

Ánh xạ xạ ảnh của mp (P) lên mặt phẳng (Q) là tích các phép chiếu xuyên tâm và các phép biến đổi tuyến tính

Biên soạn: Lê hữu Dũng Trường THPT chuyên Lê

Quý Đôn Đà nẵng 9.2006