các bài toán hình (phần 1)

2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R.. M là một điểm bất kỳ trên đường tròn... a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.. Tr

1/ Cho hình vuông ABCD Đường kính CD và

đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) Chứng minh rằng đường

DM là dây chung của hai đường tròn ⇒ AO ⊥ DI

⇒ OAD = CDI ; AD = CD ⇒ ∆ ADO = ∆ DCI

⇒ IC = OD = ½ BC

B I C

O

A D

M

2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R M là một điểm bất kỳ trên đường tròn

a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4

b/ Chứng minh MA MB MC MD < 6R2

) )(

(

2 MA4 + MB4 MC4 + MD4

2 2

4

2 2

4

2 MC MD = MC MD

2 2

2

2

2 MA MB MC MD

a/ MA 4 + MC 4 = ( MA 2 + MC 2 ) – 2MA 2 MC 2 = AC 4 – 2MH 2 AC 2 = 16R 4 –

8R 2 MH 2

Chứng minh tương tự ta có : MB 4 + MD 4 = 16R 4 – 8R 2 MK 2

⇒ MA 4 + MB 4 + MC 4 + MD 4 = 32R 4 – 8R 2 ( MH 2 + MK 2 ) = 32R 4 – 8R 2 R 2

= 24R 4

b/ Aùp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có :

(MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 + MD 4 ) ≥

Vì MA 4 +

MB 4 ≥

MC 4 + MD 4 ≥

⇒ (MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 +

MD 4 ) ≥

(MA 4 + MB 4 ) + ( MC 4 + MD 4 ) ≥ 4MA.MB.MC.MD

⇒ 4MA.MB.MC.MD ≤ 24R 4

⇒ MA.MB.MC.MD ≤ 6R 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R 4

3/Cho hình vuông ABCD Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K Kẻ EF vuông góc với AB

Chứng minh EK = EF

• E

giác của góc BAD

4/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm

di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a

a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích ∆ CEF lớn nhất

CF = CK

Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA

= EB + FD = EB + BK

Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau

a )

Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE

5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N

a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai

b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB

c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông

ba điểm A , D , N thẳng hàng

điều phải chứng minh

b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD

c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ Khi M trùng với

B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF