Chứng minh bất đẳng thức... Cho a,b,c là ba số thực dương... Chứng minh rằng:.
Trang 1Chủ đề 4: ĐẲNG THỨC , BẤT ĐẲNG THỨC& ỨNG DỤNG
x+ + =y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P = 2x y z1 +x 21y z+ x y1 2z
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta cĩ:
4ab ≤ (a + b)2 1
4
a b
+
+
1 1 1
( , 0)
4 a b a b
⇔ + ÷ ∀ >
Ta cĩ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
≤ + ÷≤ + + ÷= + + ÷
Tương tự: 1 1 1 1 1
≤ + + ÷
2 8 2 2
≤ + + ÷
2x y z+x 2y z+x y 2z
1 1 1 1 2009
4 x y z 4
≤ + + ÷=
Vậy MaxP = 2009
4 khi x = y = z =
12 2009
2 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa:
2 a 2 2 b 2 2 c 2 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c
Giải :
Ta cĩ:
3
2 3
−
≥
⇔ 3a3 ≥ (2a – b)(a2 + ab + b2) ⇔ a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0
⇔ (a + b)(a – b)2 ≥ 0 (h/n)
Tương tự:
3
2 3
−
≥ + + (2) ,
3
2 3
−
≥
Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được:
+ +
Vậy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1
3 Tìm giá những số dương thỏa mãn: a2+ + =b2 c2 3 Chứng minh bất đẳng thức
Trang 22 2 2
a b b c c a+ + ≥a +b +c
Giải:
x+ ≥y x y > >
+
a b b c+ ≥ a b c b c c a+ ≥ a b c c a a b+ ≥
Ta lại cĩ:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2b c a ≥b 7 2c a b ≥c 7
a b b c c a+ + ≥a +b +c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
3 Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1 Chøng minh r»ng
4 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a+b+c= 3
Chứng minh rằng: 3(a2 +b2 +c2)+4abc≥13
5 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
1 1 1
2
x+ + ≥y z
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)
6 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : 0< ≤a 1,0< ≤b 1,0< ≤c 1 Chứng minh rằng:
+ + + ≥ + + +
7 Cho a,b,c là ba số thực dương Chứng minh:
3 3 3
2
b c c a a b
8 Cho x,y,z thoả mãn là các số thực: x2 −xy+y2 =1.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức:
1
1 2 2
4 4
+ +
+ +
=
y x
y x P
Trang 39 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
7 2
27
ab bc ca+ + − abc≤ .
9 Cho ba số a, b, c khác 0 Chứng minh: a22 +b22 +c22 ≥ + +a b c
10 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
+ +