2đ Khảo sát và vẽ đồ thị C hàm số trên.. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.. 11đ.Tính khoảng cách từ M đến P, suy ra phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng P.. 2
Trang 12
-2
-4
-6
Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009
Trường THPT Vĩnh Linh
♥
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI NĂM – MÔN TOÁN 12
(NĂM HỌC 2008-2009) (Thời gian 150 phút) A.Phần chung cho tất cả các thí sinh:
Câu I : (3 đ)Cho hàm số : y =f(x) = 1
3 x
3 - 2x2 + 3x
1 (2đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên.
2 (1đ) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y =m(x-3) tiếp
xúc với (C).
Câu II: (3đ)
1.(1đ)Giải phương trình :
3 ) 1 ( log )
3
(
2.(1đ)Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(x) =
x4 – 2x3 + x2
trên đoạn [-1;1]
3.(1đ)Tính tích phân sau: K = ∫4 + x x dx
0
2 sin ) 1 (
π
Câu III(1đ)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt
bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
B.Phần riêng:
B.1: Chương trình chuẩn
Câu IVa (2đ) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : x - 2y + z + 3 = 0.
1(1đ).Tính khoảng cách từ M đến (P), suy ra phương trình mặt cầu có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
2(1đ).Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua M và vuông góc với (P).Tìm toạ độ giao điểm của d và (P).
Câu Va (1đ) Giải phương trình : z3 – 27 =0
B.2.Chương trình Nâng cao:
Câu IVb(2đ):
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình:
d1:
1
3 2
2 1
x
và d2:
2 2 2
y t
z t
= − +
= −
= −
1(1đ).Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
2(1đ).Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2.
Câu Vb: (1đ) Cho z ∈ C , biết z +z-1 = 3 Tính :A= z2009 + z-2009
ĐÁP ÁN
Câu 1:
1.
.TXĐ :R
0.25 đ
.Sự biến thiên:
a Giới hạn của hàm số tại vô cực: lim
x y
→−∞ = +∞ lim
x y
0.25 đ
b.Bảng biến thiên:
Ta có: y’ = -x2 +4x – 3
y’ = 0 ⇔x= 1, x=3
0.25 đ
- ∞
-4 3
y
y'
Hàm số đồng biến trên khoảng ((0; 3)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞ ; 1) và (3; +∞)
0.5 đ
Cực trị : Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 ⇒yct = - 4
3
Hàm số đạt cực đại tại x =3 ⇒ycđ = 0 0.25 đ
3.Đồ thị:
.Điểm uốn : y’’= -2x+4 , y’’ = 0 ⇔x=2
Vậy điểm uốn là U(2; 2
3
− ) Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Giao điểm của đồ thị với trục tung là O(0;0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là O(0;0) và điểm (0;3) 0.5 đ
2 Đường thẳng y =m(x-3) tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm:
2
1
3
x x x m x
− + − =
⇒ x=3 , x =3
2 0.5 đ
Với x =3⇒ m= 0 , phương trình tt : y=0 0.25 đ
Với x =3
2 ⇒ m= 3
4 , phương trình tt : y=
3
4(x-3) 0.25 đ
Câu II: 1.Giải phương trình :
Trang 2Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009 3
) 1 ( log )
3
(
Giải:
Đk: x > 3
0.25 đ
(1) ⇔log2(x-3)(x-1) = log28
0.25 đ
⇔ (x-3)(x-1) = 8 ⇔x2 -4x – 5 = 0 ⇔ x= -1 (loại) , x= 5
0.5 đ
Vậy phương trình có một nghiệm : x =5
2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(x) = x 4 – 2x 3 + x 2 trên đoạn
[-1;1]
Giải:
Ta có : y' = 4x3 -6x2 +2x
y'= 0 ⇔ x= 0 , x = 1
2 , x = 1 0.5 đ
Suy ra : f(-1) = 4 , f(0) = 0 , f(1
2) =
1
16 , f(1) = 0 0.25đ
Vậy, trên đoạn [-1;1] Giá trị nhỏ nhất của hàm số là : f(0) = f(1) = 0
Giá trị lớn nhất của hàm số là : f(-1) = 4
0.25 đ
3.Tính tích phân:
K = ∫ 4 + x x dx
0
2 sin
)
1
(
π
= ∫ 4 x dx
0
2 sin
π
+∫ 4 x x dx
0
2 sin
π
0
2
cos
2
x
− + ∫ 4 x x dx
0
2 sin
π
= 2
1 + I 0.25 đ
Tính : I =∫ 4 x x dx
0
2 sin
π
Đặt
=
=
xdx dv
x
u
2 sin =>
−
=
=
x v
dx du
2 cos 2
1 0.25 đ
Suy ra: I =∫ 4 x x dx
0
2 sin
π
0
2 cos 2
x x
dx
x
∫ 4
0
2
cos
2
1
π
0
2 sin 4
x = 4
1 0.25 đ
Suy ra:∫ 4 + x x dx
0
2 sin )
1
(
π
= 2
1 + 4
1 = 4
3 0.25 đ
Câu III:
Hình chóp tam đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a
Gọi H là tâm đáy, I là trung điểm của cạnh CD
Đường cao của hình chóp là SH
Xét tam giác vuông SHI , ta có :
SH = HI.tan600 = 1
2a. 3 0.25 đ Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
V = 1
3a
2 1
2a. 3 =
3 6
a3 0.25 đ
( hình vẽ 0.5đ)
B.Phần riêng:
B.1: Chương trình chuẩn Câu IVa Giải:
1.Khoảng cách từ M(1;2;3) đến mp(P) là: d(M,(P)) =
− + +
Mặt cầu có tâm M(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) suy ra bán kính R = 6
2 Vậy
phương trình mặt cầu là: (x-1)2 + (y-2)2 +(z-3)2 = 3
2 0.5đ
2.Đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc với (P) nhận véc tơ pháp tuyến của mp(P):
n r
= (1;-2;1)làm vtcp 0.25 đ
Suy ra phương trình tham số là:
1
2 2 3
x t
z t
= +
= −
= +
, t∈R
0.25 đ Toạ độ giao điểm H(x;y;z) của mp(P) và đt d là nghiệm của hệ:
1
2 2 3
x 2y z 3 0.
x t
z t
= +
= −
= +
⇔
1 2 3 5 2 1 2
x y z t
=
=
=
= −
⇔H 1 5 ( ;3; )
2 2 0.25 đ
Câu Va : Giải phương trình : z3 – 27 =0 Giải : z3 – 27 =0 ⇔(z-3)(z2 +3z +9) = 0 ⇔
2
3
3 9 0 (1)
z
z z
=
+ + =
0.5 đ
Trang 3Uit.edu.vn NHAT THANH 12 2009
Giải (1): ta có : ∆ = - 27
z1 = 3 3 3
2
i
− + , z2 = 3 3 3
2
i
− −
0.5 đ
B.2.Chương trình Nâng cao:
IVb Chứng minh rằng hai đường thẳng trên chéo nhau:
Đường thẳng d1:
1
3 2
2 1
x
đi qua M( 1;2;3) có véc
tơ chỉ phương là:
u =( 1,2,1)
0.25 đ
Đường thẳng d2:
2 2 2
y t
z t
= − +
= −
= −
đi qua gốc toạ độ O(0;0;0) và có véc tơ chỉ
phương :
u' = ( 1;-1;-1)
0.25 đ
Ta có: OM =(1,2,3)
Suy ra :[ ] u ' , u OM = -6 ≠0 suy ra hai đường thẳng trên chéo nhau
0.5 đ
b Mặt phẳng chứa d1 và song song với d2 đi qua điểm M(1,2,3) và nhận:
[ ] u ,u '
n = =(-1;2;-3) làm véc tơ pháp tuyến
0.25 đ
Suy ra phương trình mặt phẳng là:
-(x-1) +2(y-2) -3(z-3) = 0
0.5 đ
⇔ x -2y + 3z – 6 =0
0.25 đ
Câu Vb: Cho z ∈C , biết z +z-1 = 3 Tính :A= z2009 + z -2009
nghiệm :
z1,2 = 3 1
2 ± 2 i hay : z =cos
6
sin 6
π
0.25 đ
Sử dụng công thức Moa-vrơ , ta có: z2009 = cos(2009
6
π
) ±isin(2009
6
π
)
0.25 đ
z -2009 =
2009
cos 2009 isin(2009 )
cos(2009
6
π
) misin(2009
6
π
) 0.25 đ
Suy ra: z2009 + z -2009 = cos(2009
6
π
) ±isin(2009
6
π
) +cos(2009
6
π
) m
isin(2009
6
π
)
= 2cos(2009
6
π
) =2cos(5 6
π
+ 167.2 π ) = 2cos5
6
π
= - 3 0.25 đ Vậy : A = - 3
a
I H
A
B
D
C
S
