ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn : TOÁN - Khối : D PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y= − − +x4 x2 6
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
y= x−
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình sin 2x− cos 2x+ 3sinx− cosx− = 1 0
2 Giải phương trình 4 2x+ +x 2 + 2x3 = 4 2+ +x 2 + 2x3+ −4x 4 (x∈ ¡ )
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
3
e
x
= − ÷
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC,
4
AC
AH = Gọi CM là đường cao của tam giác SAC Chứng minh M là trung điểm của
SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y= − +x x+ − − +x x+
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm là H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) Xác định toạ độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0 và (Q): x − y + z − 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thoả mãn z = 2 và z 2 là số thuần ảo.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và ∆ là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên ∆ Viết phương trình đường thẳng ∆ , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ 1 :
3
y t
z t
= +
=
=
và ∆ 2 :
x− = y− = z
Xác định toạ độ điểm M thuộc ∆ 1 sao cho khoảng cách từ M đến ∆ 2
bằng 1.
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
( , ) 2log ( 2) log 0
x x y
x y
− + + =
Trang 2Giải cách khácvài câu
+) Câu II : 2) Đk x ≥ - 2
a) Cách 1 : Nh đáp án của Bộ GD
b) Cách 2 :
PT ⇔(24 2 2(24 4 1) 2 3(24 4 1)
−
=
− +
⇔ ((24x− 4 −1)(24 + 2 x+ 2 −2x3)=0
⇔ 4x - 4 = 0 ⇔ x = 1
4 + 2 x+2 = x3 ⇔ x3 -8 = 2 x+2 - 4 (*)
(*) ⇔ (x-2)(x2 + 2x +4) - 2( x+2 - 2) = 0
⇔ (x-2)( x2 + 2x + 2 + 2 - 2 + +
−
2 2
2
x
⇔ (x-2)[ x2 + 2x + 2 + 2 − + 2 + 2
1 1
⇔ (x-2) = 0 vì x2 +2x + 2 > 0 và − + 2 + 2
1 1
2 2
1
2 > + +
+ +
x
x
⇔ x = 2 Vậy PT có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2
a) Cách 1 : Nh đáp án của Bộ GD
b) Cách 2 :
- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua I thì A’(-7;7)
- Tứ giác BHCA’ là hình bình hành , nên gọi M là trung điểm của BC thì M cũng là trung điểm của HA’ nên M(-2;3)
- Đờng thẳng BC đi qua M và có VTPT là AH= (0;6) nên PT của đt BC
là 0(x+2) + 6(y-3) = 0 ⇔y = 3
- Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(-2;0) bán kính
IA = 74nên có PT là (x+2)2 + y2 = 74
- Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ PT (x+2)2 + y2 = 74
y = 3
- Giải hệ tìm đợc C( -2 + 65 ; 3 ),(vì C có hoành độ dơng)
c) Cách 3 : Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , M là trung điểm của
BC thì GH =−2GI
từ đó tìm đợc G
− −
3
1
; 3
1 và có AM =3GM từ đó tìm đợc M(-2;3)
- Đờng thẳng BC đi qua M và có VTPT là AH= (0;6) nên PT của đt BC
là 0(x+2) + 6(y-3) = 0 ⇔y = 3
- Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I(-2;0) bán kính
IA = 74nên có PT là (x+2)2 + y2 = 74
- Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ PT (x+2)2 + y2 = 74
y = 3
- Giải hệ tìm đợc C( -2 + 65 ; 3 ),(vì C có hoành độ dơng)
d) Cách 4 : Gọi H’ là giao điểm của đt AH với đờng tròn ngoại tiếp tam
giác ABC , thì đt BC đi qua trung điểm N của HH’ , ta có PT đt AH là x =
3, nên toạ độ của H’ là nghiệm của hệ PT (x+2)2 + y2 = 74
Trang 3x = 3
từ đó tìm đợc H’(3;7) suy ra N(3;3)
- Đờng thẳng BC đi qua N và có VTPT là AH= (0;6) nên PT của đt BC
là 0(x-3) + 6(y-3) = 0 ⇔y = 3
- Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ PT (x+2)2 + y2 = 74
y = 3
- Giải hệ tìm đợc C( -2 + 65 ; 3 ),(vì C có hoành độ dơng)
A
HHI
B C
H’ A’