Tính xác suất để số bi đỏ mà người đó lấy được không lớn hơn 2.. Tứ giác ABCD biến thiên nội tiếp trong O sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau.. Chứng minh 2 cạnh BD, SC vuông gó
Trang 1Trường THPT
Tiến Thịnh
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LỚP 11 Năm học: 2009- 2010
ĐỀ BÀI
Câu 1: Tìm các nghiệm thuộc khoảng (0; 2 ) π của phương trình:
4sin
+cosx+ −cosx =
x cosx
Câu 2: Tính giới hạn
1
limx→ 2
1
+ + + −
−
n
x
Câu 3: Trong 1 cái hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng, 5 bi xanh cùng chất, cùng kích
thước.Một người lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 viên bi Tính xác suất để số bi đỏ
mà người đó lấy được không lớn hơn 2
Câu 4: Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O bán kính R và 1 điểm A cố
định trên (O) Tứ giác ABCD biến thiên nội tiếp trong (O) sao cho 2 đường chéo luôn vuông góc với nhau Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy 1 điểm S Nối S với A, B, C, D
a Chứng minh 2 cạnh BD, SC vuông góc với nhau
b Nêu cách xác định điểm I cách đều 5 điểm A, B, C, D, S
c Tứ giác ABCD là hình gì để diện tích của nó lớn nhất Tìm GTLN đó theo R
Câu 5: Cho hàm số
=
khi x
f x
x
Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x=0
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM
điểm
1 Đk xác định của phương trình: cosx≠ 0
Do x=π không là nghiệm của (1) nên xét 2 trường hợp:
TH1: x∈ (0; ) π Khi đó 0 0, sinx 0
< < ⇒x π cos x> >
PT (1) trở thành
4
10 5
= +
⇔
= +
k x
l x
π
Tìm k và l nguyên sao cho
4
6 3
0
10 5
< + < =
⇔ =
< + <
k
k
Ta nhận được nghiệm
6
=
x π
và 3
10
=
x π
TH2: x∈ ( ; 2 ) π π Khi đó 0, sinx 0
2 < < ⇒ 2x cos2x < 2 >
PT (1) trở thành
4
6 3 4
2 5
= − +
⇔
= +
k x
l x
π
Tìm k và l nguyên sao cho
4đ
Trang 36 3
2
2 5
< − + < =
⇔ =
< + <
k
k
Ta nhận được nghiệm 7
6
=
và 13
10
=
KL: Trong khoảng (0; 2 ) π phương trình ban đầu có 4 nghiệm là
6
=
x π
;
3
10
=
x π
; 7
6
=
và 13
10
=
2
1
limx→ 2
1
+ + + −
−
n
x
=
1
limx→ ( 1) ( 2 1) ( 1)
1
−
n
x
=lim→1
x
( 1)[1 ( 1) ( 1) ( 1)]
1
−
−
n
x
=limx→1 [1 ( + + +x 1) (x2 + + + +x 1) (x n−1 + + 1)]
=1+2+3+…+n= ( 1)
2
+
n n
3đ
3
Lấy ngẫu nhiên, cùng lúc 4 viên bi trong hộp có 3 bi đỏ, 4 bi vàng và 5 bi
xanh nên có số phần tử của không gian mẫu là: 4
12
( ) Ω =
Gọi A: “Biến cố trong 4 bi lẫy ngẫu nhiên có 3 bi màu đỏ”
( ) =
n A C C
Xác suất của biến cố A là:
4 12
( )
55
=C C =
P A
C
Vậy xác suất để số bi đỏ mà người đó lấy được không lớn hơn 2 là
1 54
1 ( ) 1
55 55
−P A = − =
4đ
4
Hình vẽ
5đ
Trang 4a, Vì SA⊥ ( )P nên AC là hình chiếu của SC trên mp(P).
Theo gt AC⊥BDnên theo định lí 3 đường vuông góc ta có SC⊥BD
b, Cách dựng:
Qua O kẻ đường thẳng d’ vuông góc với mp(P)
Dựng mp(Q) là mp trung trực của SA
Giao của mp(Q) và đường thẳng d’ là điểm I cần xác định
H
C D
d
S
O
d’
I
K
P
Trang 5Vì I d∈ ' nên I cách đều A, B, C, D
Vì I mp Q∈ ( )nên I cách đều S và A
Vậy điểm I vừa dựng cách đều 5 điểm A, B, C, D, S
2
=
WABCD
S AC BD Kẻ OH ⊥ AC tại H Kẻ OK ⊥BDtại K
Ta có AC= 2 AO2 −OH2 = 2 R2 −OH2
Để tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất thì độ dài AC và BD lớn nhất khi và
chỉ khi OH=OK=0⇒ ≡≡
H O
K O
Vậy tưa giác ABCD là hình vuông Khi đó 1 2
.2 2 2 2
WABCD
5
Ta có f '(0) =
0
0
−
f x f
x limx→0 sin1 0
0
−
=
−
x x
x
1
0
→+∞ ∈
= m m Z→
x
mπ
1 sin sin 0
0
⇒
x
1 sin =
x limx→0 sinmπ = 0
1
0 2
2
→+∞ ∈
x
n
0
⇒
x
1 sin =
x limx→0 sin( 2 ) sin 1
2 + n = 2 =
Từ đó suy ra hàm số không dó đạo hàm tại x=0
4đ
