b/ Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức là số chính phương.. Tìm giá trị nguyên của Q.. Bài 41đ : Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm, đáy nhỏ bằng chiều cao và đường ch
Trang 1UBND HUYỆN ĐẠI LỘC KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ DÀO TẠO Năm học : 2009-2010
MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1(2đ) : Cho đa thức : x4 - x2 + 2x + 2
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử
b/ Tìm các số nguyên x để giá trị của đa thức là số chính phương
Bài 2(3đ) : Cho biểu thức 2 2 2( 1)
x
P
−
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c/ Cho Q = 2 x
P Tìm giá trị nguyên của Q.
Bài 3(2đ) : Cho đường thẳng y = mx + m - 1 (1)
a/ Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
b/ Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 2
Bài 4(1đ) : Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10 cm, đáy nhỏ bằng chiều
cao và đường chéo vuông góc với cạnh bên Tính chiều cao của hình thang
Bài 5(2đ) : Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính là R và r ( R > r ) M và A
là hai điểm trên đường tròn (O;r) với M cố định, A di động Qua điểm M
vẽ dây BC của đường tròn (O;R) vuông góc với AM Chứng minh rằng : a/ Tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm A
b/ Trọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định
Họ và tên thí sinh :
Số Báo danh :
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
1
(2đ)
a
(1đ)
x4 - x2 + 2x + 2 = (x4 - 2x2 + 1)+(x2 + 2x + 1) = (x2 - 1)2 + (x + 1)2
= (x + 1)2(x - 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2[(x - 1)2 + 1]
= (x + 1)2(x2 - 2x + 2)
0.25
0.25 0.25 0.25
b
(1đ)
Ta có x4 - x2 + 2x + 2 = (x + 1)2[(x - 1)2 + 1] (cmt)
Là số chính phương thì : hoặc (x + 1)2 = 0 và (x - 1)2 + 1 tuỳ y hoặc (x + 1)2 ≠ 0 và (x - 1)2 + 1 là số chính phương
• Nếu (x + 1)2 = 0 ; ta có x + 1 = 0 <=> x = - 1
• Nếu (x + 1)2 ≠ 0 ; ta có (x - 1)2 + 1 là số chính phương nên đặt (x - 1)2 + 1 = y2 (y∈N)
Ta có : (y + | x - 1|)(y - | x - 1|) = 1
Mà y∈N , | x - 1| ∈ N nên chỉ xãy ra
y + | x - 1| = 1 và y - | x - 1| = 1 Suy ra |x - 1| = 0 <=> x - 1 = 0 <=> x = 1 Vậy giá trị của đa thức là số chính phương khi x = ± 1
0.25
0.25 0.25
0.25 2
(3đ)
a
x
P
−
= ( 1)( 1) (2 1) (2 1)( 1)
x ≠ 1 = x( x− − 1) (2 x+ + 1) (2 x+ 1) = x− x−2 x− +1 2 x+2
= x - x + 1
0.5
0.25 0.25 b
2 4 4
x− x + − + =
2
x
− + ≥
4 khi x - 12 = 0 <=> x = 1
4
0.25 0.25 0.5 c
(1đ) Q=2P x = x−2 x x+1
=
1
x x
= + − (
1 1
x
= + − )
Vì x > 0, x ≠ 1 nên M x 1 1
x
= + − > 1 (BĐT Côsi) Suy ra 0 < Q < 2 Mà Q nguyên nên Q = 1
0.5 0.25 0.25
Trang 3(2đ)
a
(1đ)
Điều kiện để đường thẳng (1) đi qua 1 điểm cố định N(x0 ;y0) với mọi m là y0 = mx0 + m - 1 với mọi m
<=> (x0 + 1)m - (y0 + 1) = 0 với mọi m <=> 0
0
1 0
1 0
x y
+ =
+ =
<=>
0 0
1 1
x y
= −
= −
Vậy các đường thẳng (1) luôn đi qua điểm cố đinh N(-1 ;-1)
0.25 0.25
0.25 0.25
b
(1đ)
Gọi A là giáo điểm của đt (1) với Oy
Với x = 0, y = m - 1 Ta có OA =|m - 1|
Gọi B là giao điểm của đt (1) với Ox
Với y = 0, x = 1 m
m
− Ta có OB = 1 m
m
−
S(AOB) = 2 <=> . 2
2
OA OB = <=> OA.OB = 4 <=> ( )2
1 4
m m
−
= <=>
2 2
( )
( )
a
b
− + =
− + = −
Giải pt (a) … m = 3±2 2 Giải pt (b) … m = - 1
Có 3 đường thẳng đi qua N và tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2 là :
m = 3 + 2 2 : y = (3 +2 2)x + 2 + 2 2
m = 3 - 2 2 : y = ( 3 - 2 2)x + 2 - 2 2
m = 1 : y = - x - 2
0.25
0.25 0.25 0.25
4
(1đ)
(1đ)
Tam giác DAC vuông tại A, ta có AH2 = HD.HC
x2 = 10 .10
= 100 2
4
x
−
x= 2 5 cm
0.25 0.25
0.25 0.25
Vẽ AH, BK cùng vg góc với CD
Đặt AB = AH = BK = x Cm: DH = CK = 10
2
x
−
Từ đó cm: HC = 10
2
x
+
Trang 4(2đ)
a
(1đ)
OMH
∆ vuông tại H nên : HM2 = OM2 - OH2 = r2 - OH2 (2)
OBH
∆ vuông tại H nên : HB2 = OB2 - OH2 = R2 - OH2 (3) (1),(2),(3) : MA2 + MB2 + MC2 = MA2 + 2(HB2 + HM2) = 4 OH2 + 2( r2 -OH2 + R2 - OH2) = 2(r2 + R2)
Vậy tổng MA2 + MB2 + MC2 không phụ thuộc vào
vị trí điểm A
0.25
0.25 0.25 0.25
b
(1đ)
ABC
∆ có AH là trung tuyến , G là trọng tâm (gt) => G ∈ AH và AG = 2
3 AH (*)
AMN
∆ có AH là trung tuyến (HM=HN) nên G cũng là trọng tâm của ∆AMN
mà MO là trung tuyến của ∆AMN (AO=ON) nên MO đi qua G
Các điểm M,O cố định nên G cố định
0.25
0.25 0.25 0.25
Học sinh giải cách khác nếu đúng đầy đủ vẫn được điểm tối đa
Điểm toàn bài không làm tròn số
Vẽ OH ⊥BC => HM = HN
Và HB = HC
AMN = nên AN là đg kính của đtròn (O;r)
OH là đường Trg bình của
AMN
∆ => MA = 2 OH
MA2 = 4 OH2 (1)
MB2 + MC2 = (HB - HM)2 + (HC+HM)2
= (HB-HM)2 + (HB+HM)2
= 2(HB2+HM2)