Chương 4: Cấu trúc cây ppt

4.1.7 Phép duyệt cây  Là phép thăm các nút trong cây một cách hệ thống sao cho tất cả các nút đều được thăm và được thăm đúng một lần  Có 3 cách duyệt cây cơ bản :  Duyệt cây theo th

Chương 4

CẤU TRÚC CÂY

NỘI DUNG

 Các khái niệm cơ bản

 Cây nhị phân

 Cây tổng quát

4.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

 Định nghĩa cây

 Cấp của cây

 Mức của cây

 Đường đi và độ dài đường đi trong cây

 Độ cao, độ sâu của nút trong cây

 Thứ tự các nút trong cây

 Phép duyệt cây

4.1.1 Định nghĩa cây

 Cây là tập hợp hữu hạn các nút trong đó có một nút đặc biệt gọi là gốc của cây(root) Các nút có mối quan hệ

phân cấp gọi là quan hệ ‘’cha-con’’

 Định nghĩa đệ qui về cây

 Một nút là một cây gốc của cây chính là nút đó.

 Giả sử T 1 , T 2 , …, T n (n ≥ 1) là các cây có gốc tương

ứng r 1 , r 2 ,…, r n Khi đó cây T với gốc r được hình thành bằng cách cho r trở thành nút cha của các nút r 1 , r 2 ,

…, r n

4.1.2 Cấp của cây

 Cấp của nút trong cây là số con của nút

 Cấp của cây: Là cấp cao nhất của nút có trong cây.

 Cây có cấp n thì gọi là cây n - phân

4.1.3 Mức của cây

 Gốc của cây có mức là 1

 Cha có mức là i thì con có mức là i+1

 Mức của cây là mức cao nhất của nút có trong cây

4.1.4 Đường đi và độ dài đường đi

 Dãy các nút n 1 , n 2 , , n k được gọi là một đường đi trong cây T nếu n i là cha của n i+1 (1 ≤ i < k) có độ dài là k-1

 Nếu có một đường đi từ A đến B trong cây T thì A được gọi là tiền thân của B, B được gọi là hậu thế của A

 Trong một cây, gốc là nút không có tiền thân, lá là nút không có hậu thế

4.1.5 Độ cao và độ sâu của nút

 Độ cao của một nút trong cây là số nút trong đường đi dài nhất từ nút đó tới lá

 Độ cao của cây là độ cao của nút gốc

 Độ sâu của một nút trong cây là số nút trong đường đi

từ gốc tới nút đó

4.1.6 Thứ tự các nút trong cây

 Trong cây nếu nút n có các con là n 1, n 2 , , n k thì

 n i (1<=i<=k) là các nút anh em

 n 1 là con bên trái cùng hay con trưởng

 n k là con bên phải cùng hay con út

 n i (1<=i<k) là anh em liền kề bên trái của n i+1

 n i (1<i<=k) là anh em liền kề bên phải của n i-1

4.1.7 Phép duyệt cây

 Là phép thăm các nút trong cây một cách hệ thống sao cho tất cả các nút đều được thăm và được thăm đúng một lần

 Có 3 cách duyệt cây cơ bản :

 Duyệt cây theo thứ tự trước (preorder)

 Duyệt cây theo thứ tự giữa (inorder)

 Duyệt cây theo thứ tự sau (postorder )

4.1.7 Phép duyệt cây

 Duyệt cây theo thứ tự trước (preorder)

Nếu cây khác rỗng

 Thăm gốc

 Duyệt cây con trái cùng theo thứ tự trước

 Duyệt các cây con còn lại theo thứ tự trước

4.1.7 Phép duyệt cây

 Duyệt cây theo thứ tự sau (postorder)

Nếu cây khác rỗng

 Duyệt cây con trái cùng theo thứ tự sau

 Duyệt các cây con còn lại theo thứ tự sau

 Thăm gốc

4.1.7 Phép duyệt cây

Thứ tự trước : ABEFGCHDIKThứ tự giữa : EBFGAHCIDKThứ tự sau : EFGBHCIKDA

A

K I

H G

F E

4.1.8 Cây gán nhãn và cây biểu thức

 Cây gán nhãn : Mỗi nút trong cây được gán với một

nhãn

 Cây biểu thức : Mỗi nút trong cây được gán với một

thành phần của biểu thức theo cách

 Mỗi nút lá được gán với một toán hạng

 Mỗi nút trong được gán với một toán tử

4.1.8 Cây gán nhãn và cây biểu thức

 Ví dụ cây biểu thức P = a*(b - c) + d/e

 Duyệt theo thứ tự trước : + * a - b c / d e

 Duyệt theo thứ sau : a b c - * d e / +

4.1.8 Cây gán nhãn và cây biểu thức

 Thuật toán định giá biểu thức dạng tiền tố

 Khởi tạo : Sử dụng ngăn xếp rỗng

 Bước 1 : Đọc từng thành phần của biểu thức tiền tố

Nếu là toán tử đẩy toán tử vào ngăn xếp Nếu là toán hạng xét phần tử đỉnh của ngăn xếp, nếu là toán tử thì đẩy toán hạng vào, nếu là toán hạng thì lấy ra cùng với một toán tử thực hiện phép toán rồi xét phần tử đỉnh.

4.1.8 Cây gán nhãn và cây biểu thức

a*kq1

=kq2

d / kq2 +

d/e

=kq3

kq2 +

e

kq2+kq3

=kq

4.2 CÂY NHỊ PHÂN

 Khái niệm, đặc điểm, tính chất

 Biểu diễn cây nhị phân

 Cây nhị phân tìm kiếm

4.2.1 Khái niệm, đặc điểm, tính chất

 Là dạng đặc biệt của cây Mỗi nút trong có tối đa 2 con, phân biệt con bên trái và con bên phải của nút

 Là cây có thứ tự

 Các dạng cây nhị phân đặc biệt

 Cây nhị phân suy biến

4.2.1 Khái niệm, đặc điểm, tính chất

 Các dạng cây nhị phân đặc biệt

 Cây nhị phân hoàn chỉnh : Các mức đều đạt tối đa số nút trừ mức cao nhất trong cây

4.2.1 Khái niệm, đặc điểm, tính chất

 Các dạng cây nhị phân đặc biệt

 Cây nhị phân hoàn chỉnh đầy đủ : Các mức đều đạt tối

đa số nút

4.2.1 Khái niệm, đặc điểm, tính chất

 Trong cây nhị phân

 Số lượng nút tối đa ở mức i là 2 i-1

 Số lượng nút tối đa ở cây nhị phân mức i 2 i – 1

 Trong các cây nhị phân có cùng số nút thì cây nhị

phân suy biến có chiều cao lớn nhất, cây nhị phân

hoàn chỉnh, hoàn chỉnh đầy đủ có chiều cao nhỏ nhất

4.2.2 Biểu diễn cây nhị phân

 Biểu diễn bằng mảng

 Biểu diễn bằng con trỏ

4.2.2 Biểu diễn cây nhị phân

 Biểu diễn bằng mảng : Dùng mảng một chiều

4.2.2 Biểu diễn cây nhị phân

C

D

4.2.2 Biểu diễn cây nhị phân

 Biểu diễn bằng con trỏ

 Mỗi nút trong cây là một bản ghi gồm có 3 trường

 data chứa thông tin của nút

4.2.2 Biểu diễn cây nhị phân

 Ví dụ

 Nhận xét : Cây nhị phân có n nút thì có 2*n con trỏ

Trong đó n-1 con trỏ khác NULL

4.2.3 Cây nhị phân tìm kiếm

 Định nghĩa, khai báo cấu trúc dữ liệu

 Các phép toán cơ bản

Định nghĩa cây nhị phân tìm kiếm

 Là cây nhị phân đặc biệt dùng để lưu trữ và tìm kiếm

thông tin

 Khóa của nút cha không nhỏ hơn khóa của nút con bên trái và không lớn hơn khóa của nút con bên phải

Khai báo cấu trúc dữ liệu

struct node

{

<kiểu khóa> key ;

node *left, *right ;

Các phép toán cơ bản

 Khởi tạo cây t rỗng : creat(t)

 Kiểm tra cây t rỗng : empty(t)

 Chèn khóa x vào cây t : insert(x,t)

 Loại khóa x trong cây t : del(x,t)

 Duyệt cây t theo 3 cách duyệt cơ bản

Các phép toán cơ bản

 Khởi tạo cây t rỗng : creat(t)

void creat(node *&t)

{

t = NULL;

}

Các phép toán cơ bản

 Chèn khóa x vào cây t : insert(x,t)

void insert(<kiểu khóa> x, node *&t)

Các phép toán cơ bản

 Loại khóa x trong cây t

 Nếu t->key== x

x

q

Các phép toán cơ bản

 Nếu t->key!=x

if (t->key>x) del(x,t->left) ; else del(x,t->right);

!x

Các phép toán cơ bản

 Loại khóa x trong cây t : del(x,t)

void del(<kiểu khóa> x, node *&t)

{ node *p,*q,*s;

if (t!=NULL)

{ if (t->key==x)

if (t->left==NULL) { p=t; t =t->right; delete(p);}

else if (t->right==NULL) { p=t; t =t->left; delete(p);}

else

Các phép toán cơ bản

else { p=t->left;

else if (t->key>x) del(x,t->left) ;

Các phép toán cơ bản

 Nhập cây nhị phân tìm kiếm

void nhap(node * &t)

{ int n,x ; t=NULL ; cout<<“Nhap so nut : ” ; cin>>n ; for (int i=1;i<=n;i++)

{ cout<<“Nhap nut thu “<<i<<“ : “ ; cin>>x ; insert(x,t)

4.3 CÂY TỔNG QUÁT

 Các phương pháp biểu diễn cây tổng quát

 Biểu diễn cây tổng quát bằng danh sách con của nút

 Cài đặt bởi mảng

 Cài đặt bởi con trỏ

 Kết hợp mảng và con trỏ

 Biểu diễn cây tổng quát bằng con trưởng và anh em liền

kề bên phải (Cây nhị phân tương đương)

 Cài đặt bởi mảng

 Cài đặt bởi con trỏ

 Biểu diễn cây tổng quát theo cha của nút

 Cài đặt bởi mảng

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 1 - Tự cho các biểu thức số học Yêu cầu :

 Dựng cây biểu thức

 Viết biểu thức dưới dạng tiền tố, hậu tố

 Mô tả tình trạng của ngăn xếp qua các bước định giá biểu thức dạng hậu tố, tiền tố

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 2 - Cho danh sách các nút trong cây

 Duyệt theo inorder : BDEFCHIGA

 Duyệt theo postorder : FEDIHGCBA

Dựng cây nhị phân tương ứng

 Duyệt theo preorder : ACDNFOPBEMK

 Duyệt theo inorder : DNCOFPAEBKM

Dựng cây nhị phân tương ứng

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 3 - Thực hiện các yêu cầu sau đối với cây nhị phân

tìm kiếm lưu các khóa là các số nguyên

 Nhập cây nhị phân

 Hiện cây theo 3 cách duyệt

 Loại khóa x trong cây t

 Tính tổng các nút trong cây t, tổng các nút âm chẵn,

BÀI TẬP ÁP DỤNG

 Bài 3 - (Tiếp)

 Tráo đổi các nút trong cây t

 Copy cây t vào cây t1

 Xóa nút lớn nhất, xóa nút nhỏ nhất trong cây t

 Tìm kiếm khóa x trong cây t