Tiếp sức mùa thi ĐH 2010(Mấu chốt)

Tính tọa độ chân các đường phân giác trong và ngoài của góc A... PHÂN GIÁC a Viết phương trình các đường phân giác của góc giữa... f Viết phương trình các đường phân giác trong g Tìm tọ

Bài Tập Hình Học Giải Tích Nhóm GV PTTH & Giảng Viên Đại Học DUY TÂN

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

Các công thức:

Cho A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC): AB = (xB – xA, yB – yA)

Độ dài đoạn ABAB  (xB x A)2(y B  y A)2

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  AM k MB  k -1

k kx x x

B A M

B A M

Trung điểm I của AB 

B A I

y y y

x x x

Trọng tâm G của tam giác ABC :

C B A G

y y y y

x x x x

1 a a

Hai vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng

phương, cùng chiều, cùng độ dài

a = b  





2 2

1 1

b a

b a

Hai vectơ cùng phương :

a // b  a1b2 – a2b1 = 0 Tích vô hướng:

a b = a.b cos(a,b)

a b = a1b1 + a2b2

a  b  a1b1 + a2b2 = 0

25

Góc giữa 2 vectơ:

2 2 2 1

2 2

2 1

2 2 1 1.

) ,

cos(

b b a a

b a b a b

Cho tam giác ABC có AB= (a1, a2); AC= (b1, b2)

Diện tích tam giác ABC tính bằng công thức S = 1 2 2 1

2

1

b a b

c) Tìm E sao cho EACB là hình bình hành, tìm tâm của hbh này

d) Tìm F đối xứng với A qua G (G là trọng tâm tam giác ABC)

e) Tìm các đỉnh của tam giác MNP biết rằng A, B, C lần lượt là trung điểm của MN,

NP, PM

2 Cho tam giác ABC có A(1, -1), B(5, -3), C trên Ox, trọng G trên Oy, tìm tọa độ điểm C

3 Cho tam giác ABC có A(2,6), B(- 3,-4), C(5, 0)

a) C/m tam giác ABC vuông , tìm trực tâm H ? tâm I và bk đường tròn ngoại tiếp b) Tìm đỉnh thứ tư của hình chữ nhật có 3 đỉnh là A, B, C

4 Cho A(1,5), B(-4 , -5), C(4, -1) Tính tọa độ chân các đường phân giác trong và ngoài của góc A Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Đs: (1, -5/2 ); (16, 5); (1, 0)

5 Tam giác ABC biết A(4,1), B(2,6), C( -5, 3)

a) Tính diện tích tam giác

b) Tính góc A của tam giác

c) Tìm D trên Ox sao cho ABCD là hình thang

6 Cho 2 vectơ a ( 1 , m); b  (m 1 , 1  m) Chứng tỏ góc giữa 2 vectơ này không phụ thuộc vào m

7 Cho A(2, 6); B(3,1) Tìm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông cân tại C

8 Cho ABC là tam giác đều, có B nằm trên đường thẳng y = 3, điểm C trên Ox, và A(1, 1) Tìm B, C ?

9 Diện tích hình bình hành ABCD là 12 đơn vị, A(-1, 3); B(- 2, 4) Tâm của hbh trên Ox, Tìm C, D

10 Cho 2 vectơ a(2m 1;4 3 ),  m b(3m 2;1)

a) Tìm m để 2 vecto này bằng nhau

b) Tìm m để 2 vectơ này cùng phương

c) Tìm mđể 2 vectơ này vuông góc

ĐƯỜNG THẲNG y

Tóm tắt giáo khoa: d

 Phương trình tổng quát của đường thẳng d: Ax + By + C = 0

Vectơ pháp tuyến: n( , );A B  tg = k x Vectơ chỉ phương : a ( , ) B A

Nếu B  0 thì hệ số góc của d là k = B A x = c

Nếu B = 0 thì d không có hệ số góc, khi đó d có dạng: Ax + C = 0 ( hoặc x = c ) và d //

Oy

 Phương trình tham số của d: a

2 0 1 0

t a x x

=(a1 , a2) là vecto chỉ phương

 Phương trình d qua M(x0, y0) có hsgóc k: y = k(x – x0) + y0

 Phương trình d qua 2 điểm A, B: (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA)

Nếu A(a, 0)Ox; B(0, b) Oy thì d:   1

b

y a

C By Ax

C C

2 2

2 2 2 2

1

2

1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x

2 1

2 1

2 1 2 1

A B B

A

B B A A







 Nếu d1: y = k1x + b1

d2: y = k2x + b2

thì + tg(d1, d2) =

2 1

1 2

1 k k

k k

a) d qua A( 1, -2) và có vectơ chỉ phương a = (3 , 4)

b) d qua A( 1, -2) và có vectơ pháp tuyến n = ( -3, 4)

c) d qua A( 1, -2) và N( 2, 3)

d) d qua A( 1, -2) và có hệ số góc k = 2

e) d qua A( 1, -2) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 450

f) d qua A( 1, -2) và song song với đường thẳng phân giác thứ nhất

g) d qua A( 1, -2) và song song với Oy;

h) d qua A( 1, -2) và song song Ox

i) d qua A( 1, -2) và vuông góc với đường thẳng d’: 3x + 2y – 1 = 0

j) d qua A( 1, -2) và song song với đường thẳng d’: 3x + 2y – 1 = 0

k) Sử dụng chùm đường thẳng để tìm phương trình đường d qua giao điểm của 2 đường thẳng 2x – y + 5 = 0; 3x + 2y – 3 = 0 và: i) song song với đường thẳng x + 5y + 9 = 0 ( đs: 7x + 35y – 98 = 0)ii) vuông góc với đường thẳng x + 3y + 1 = 0 (đs: 35x – 7y + 56 = 0 )iii) qua M( - 3, -2) (đs: 35x -14y + 77 = 0 )l) d qua M(3, 1) và cắt Ox tại A ; cắt Oy tại B sao cho OA = 2OB

m) d qua N(2, - 1) và cắt Ox tại A ; cắt Oy tại B sao cho AB = 13

n) d qua K(3, 1) và tạo với Ox; Oy một tam giác có diện tích bằng 1

Bài 2 KHOẢNG CÁCH

a) Tính khoảng cách từ M(1, - 4) đến d: 3x – 4y – 10 = 0

b) Tính khoảng cách từ M(1, - 4) đến d: y x 12 t t

 

c) Tính khoảng cách từ M(3, - 1) đến d :y x 31 u



d) Tìm m để khoảng cách từ M(2, 1) đến d: x – y + m = 0 bằng 2

e) Tìm m để khoảng cách từ M(2, 1) đến d: x y  12 mt t

 

f) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d: 4x – 3y – 1 = 0 & d’: 4x – 3y + 16 = 0

g) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d: y x 31 u u

o) d qua A( 1, -2) và cách B(- 1, 3) một khoảng bằng 2

p) d cách d’: 4x + 3y + 5 = 0 một khoảng bằng 2

( đs: 4x + 3y + 15 = 0; 4x + 3y – 5 = 0)q) d qua A( -2,3) và cách đều 2 điểm ( 5 , -1); ( 3, 7) ( đs: 4x + y + 5 = 0; y = 3 )r) d cách đều 2 đường thẳng: 3x – 4y + 12 = 0; 3x – 4y – 10 = 0 ( đs: 3x – 4y + 1 = 0)

s) d cách đều 2 đường thẳng : x + 2y – 3 = 0; 2x + y + 6 = 0

c) Lập phương trình của d qua A(1, 2) và tạo với d’: x – y + 4 = 0 một góc 450

d) Lập phương trình của d qua A(1, 2) và tạo với d’: 1

Bài 5 PHÂN GIÁC

a) Viết phương trình các đường phân giác của góc giữa

( đs: 3x + 4y + 16 = 0 )y) d đối xứng với d1: x + y – 1 = 0 qua d2: x – 3y + 3 = 0 ( đs: 7x – y + 1 = 0)

z) Tìm d và d’ lần lượt qua A( 0,4), B( 5 ,0) nhận d1 : 2x – 2y + 1 = 0 làm phân giác

Bài 6 Tam giác ABC có A(2, 6); B(- 3, -4); C( 5, 0)

a) Tìm toạ độ chân các đường cao hạ từ A, B, C của tam giác

b) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BC tìm A’

c) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác

d) Viết phương trình các đường trung trực của 3 cạnh

e) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác C/m G,

H, I thẳng hàng

f) Viết phương trình các đường phân giác trong

g) Tìm tọa độ tâm K đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 7 Cho A(8, 0); B(0, 6); M(9, 3)

a) C/m đường tròn đường kính AB đi qua M

b) Gọi A’B’M’ là tam giác đối xứng của tam giác ABM qua đường thẳng : x + y = 0, tìm A’, B’, M’

c) C/m hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh của tam giác OAB thẳng hàng ( đs: M1( 9, 0); M2( 0, 3); M3( ,53

5

36

) )Bài 8 Hình bình hành có 4 cạnh lần lượt qua P(1, 4); Q(9/2, 3); R(8,2); S( -1/2, 3) Tâm của hbh là I( 3/2, 2) Tìm phương trình các cạnh

Bài 9 Hình chữ nhật có 2 đỉnh đối nhau là (5, 1), ( 0,6), một cạnh có phương trình:

x + 2y – 12 = 0 Tìm phương trình các cạnh còn lại

Bài 10 Cho Tam giác ABC có BC: x – y + 2 = 0, 2 đường cao BH: 2x – 7y – 6 = 0, và BK: 7x –2y – 1 = 0 Viết phương trình 2 cạnh còn lại

Bài 11 Hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng : 3x – 4y + 6 = 0, 3x – 4y – 4 = 0 Tính diện tích của hình vuông Biết thêm I(1, 1) là tâm của hình vuông, tìm phương trình các cạnh của hình vuông

Bài 12 Viết phương trình 4 cạnh của 1 hình vuông biết 2 cạnh song song lần lượt qua

M(2,1), N(3,5); 2 cạnh còn lại lần lượt đi qua P( 0,1), Q(-3, -1)

(đs: có 2 hv với phương trình 4 cạnh là: x – 3y + 1 = 0, x - 3y + 12 = 0

Bài 14 Cho tam giác ABC có A(5,5); đường cao và trung tuyến từ đỉnh C lần lượt là

x + 3y – 8 = 0 ; x + 5y – 14 = 0 Tìm phương trình các cạnh tam giác

( đs: 3x – y – 10 = 0; x – 3y + 10 = 0; x + y – 2 = 0)Bài 15 Cho tam giác ABC có B(1,2); đường phân giác trong góc A: x – y – 3 = 0;

trung tuyến từ đỉnh C : x + 4y + 9 = 0 Tìm phương trình các cạnh

(đs: x –2y = 0, 5x + 2y – 9 = 0; x – 2y – 9 = 0 )

Bài 16 Cho tam giác ABC cân, phương trình cạnh đáy: 3x – y + 5 = 0, phương trình cạnh Bên: x + 2y – 1 = 0 Lập phương trình cạnh còn lại biết nó đi qua M(1, -3)

(đs: 2x + 11y +31 = 0 )

Bài 17 Cho tam giác ABC có A(2, -3), B(3, -2), trọng tâm G nằm trên đường thẳng :

x – y – 8 = 0, diện tích tam giác bằng Tìm đỉnh C ? đs : C(1, -1), C( -2, -10)Bài 18 Tam giác ABC có M(0,4) là trung điểm cạnh BC, 2 cạnh kia có phương trình

Bài 21 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2, -1), 2 đường phân giác trong là x –2y + 1 = 0 ,

x + y + 3 = 0 Lập phương trình cạnh BC ( đs: 4x – y + 3 = 0 )

Bài 22 Cho tam giác ABC có B(3, 5), C( 4, -3), một đường phân giác trong: x + 2y – 8 = 0 Tìm phương trình các cạnh

Bài 23 Cho A(0, 1), B(-2, 5), C(4, 9) Lập phương trình các cạnh thoi nội tiếp trong tam giác ABC sao cho A là 1 đỉnh hình thoi, 2 cạnh của hình thoi trùng với AB, AC; một đỉnh nằm trên BC (đs: AB, AC, 6x + 3y -19 = 0, 6x – 3y + 19 = 0)

Bài 24 Hình thoi có đường chéo: x + 2y – 7 = 0, một cạnh có phương trình x + 7y – 7 = 0, một đỉnh (0, 1) Tìm phương trình các cạnh

Bài 25 Viết phương trình các cạnh của tam giác có 1 đỉnh (1, 3), 2 đường trung tuyến :

x – 2y + 1= 0 và y – 1 = 0

Bài 26 Tam giác có 1 đỉnh (3 ,-1), phương trình đường trung tuyến và phân giác trong kẽ từ

2 đỉnh khác nhau lần lượt là : x – 4y + 10 = 0, 6x + 10y – 59 = 0 tìm phương trình các cạnh

Bài 27 Hình vuông có tâm (2, 3), một cạnh có phương trình x - 2y –1 = 0 Tìm phương trình các đườmg chéo và các cạnh còn lại

ĐƯỜNG TRÒN

Tóm tắt giáo khoa:

 Phương trình đường tròn ( C ):

(x – a)2 + (y – b)2 = R2 hoặc F(x, y) = x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

tâm I(a, b); R = a2b2 c với đk: a2 + b2 – c > 0

 Phương tích của M đối với (C): PM/ (C) = F(xM, yM)

 Trục đẳng phương:

hai đường tròn (C ): F(x, y) = x2 + y2 –2ax – 2by + c = 0 tâm I(a, b), bk R

(C’ ): G(x, y) = x2 + y2 –2a’x – 2b’y + c’ = 0 tâm J(a’, b’), bk R’Tập các điểm có cùng phương tích đối với cả 2 đường tròn là đường thẳng, gọi là trục đẳng phương, có phương trình: F(x, y) = G(x, y)

Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm và đi qua các điểm chung, nếu có

 Vị trí tương đối: ( C) và (C’ ) không cắt, ngoài nhau  IJ > R + R’

( C) và (C’ ) tiếp xúc ngoài nhau IJ = R + R’

( C) và (C’ ) cắt nhau  R R ' < IJ < R + R’

( C) và (C’ ) tiếp xúc trong nhau  R R ' = IJ

( C) và (C’ ) không cắt, chứa trong nhau  R R ' > IJ

 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(x0, y0) thuộc (C):

(x –a)(x0 – a) + (y – b)(y0 – b) = R2

hoặc xx0 + yy0 – a(x + x0) – b(y + y0) + c = 0

 Các tiếp tuyến khác ta dùng điều kiện để đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn là

d(I, d) = R

Bài tập:

1 Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có đường kính AB với A( 1, 2), B(-3, 6)

b) (C) có tâm I(1, 2) và tiếp xúc với d: 3x – 4y – 26 = 0

c) (C) qua 3 điểm A( 4, -2), B(5,5), C(6, -2)

d) (C) có tâm trên Ox và qua 2 điểm A(3,1), B(5, 5)

e) (C) qua A(2,1) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ

f) (C) qua 2 điểm (2, 3), ( -1,1) và có tâm trên d: x – 3y – 11 = 0

g) (C) qua 2 điểm (4,0), (2, 0) và tiếp xúc với đường phân giác thứ nhất

h) (C) qua ( 1,0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng x + y – 2 = 0, x + y + 3 = 0

i) (C) có tâm trên d: 4x – 3y – 2 = 0, và tiếp xúc với cả 2 đường thẳng: x + y + 4 = 0,7x – y + 4 = 0

j) (C) qua N(9,9) và tiếp xúc với Ox tại P(6, 0)

k) (C) có r = 1, tiếp xúc với trục Ox, tâm nằm trên d: x + y – 3 = 0

l) (C) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC với A(8,0), B(0,6) đs: (x –2)2 + (y –2)2 = 4m) (C) luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng d: (1 – m2)x + 2my + m2- 4m + 1 = 0

đs: x2 + (y – 2)2 = 1

n) (C) qua A(1,-2) và 2 giao điểm của d: x – 7y + 10 = 0 và (C’): x2 + y2 –2x + 4y – 20 = 0

2 Cho ( Cm ) : x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0

a) Tìm m để ( Cm ) là đường tròn

b) Tìm quỹ tích các tâm I của ( Cm ) Vẽ quỹ tích đó

c) Tìm m để ( Cm ) tiếp xúc với Oy

d) Tìm m để ( Cm ) có bán kính bằng 4

e) Tìm m để ( Cm ) cắt Ox theo một dây cung có độ dài 12 (đs: m = 6)f) Tìm m để diện tích hình tròn (Cm) có diện tích bằng 16

3 Cho A(3,1), B(0,7), C(5,2) M là điểm chạy trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, c/

m khi đó trọng tâm G của tam giác MBC cũng chạy trên một đường tròn Viết phương trình đường tròn đó Đs: (x - )2 + (y - )2 =

4 Cho ( Cm ): x2 + y2 – 2mx + 2(m + 1)y – 12 = 0

a) Tìm quỹ tích các tâm của đường tròn trên đs: y = - x - 1b) Tìm m sao cho ( Cm ) có R nhỏ nhất đs: m = c) Khi m = 2, tìm khoảng cách ngắn nhất giữa ( C2 ) và d: 3x – 4y + 12 = 0 đs: 1

5 Cho ( C): x2 + y2 – 4x + 2y – m2 + 6m = 0, và d: 3x + 4y – 12 = 0

a) Với m nào thì ( C) là đường tròn ?

b) Khi (C ) là đường tròn, biện luận theo m số giao điểm của (C ) và d

6 Lập phương trình các tiếp tuyến của (C): x2 + y2– 4x – 4y – 1 = 0 biết:

a) tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với Ox

b) tiếp tuyến của (C) vuông góc với d: 6x + 4y – 1 = 0

c) tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ II

d) tiếp tuyến của (C) có hệ số góc k = 1

e) tiếp tuyến của (C) qua A(5, -1)

f) tiếp tuyến của (C) qua B( 6,7)

g) tiếp tuyến của (C) cách gốc O một khoảng bằng 2

đs: 0

3

7 4 4 3

7 4

h) tiếp tuyến của (C) tạo với d: y = 2x + 4 một góc 450

đs:

3

4 10 3

1

y v 8 10 3

8 Viết phương trình các phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn:

(C ): x2 + y2 - 6x + 5 = 0; ( C’): x2 + y2 –12x - 6y + 44 = 0

đs: có 4 tiếp tuyến chung x = 5, y = 2, ( 33 9 17 )

8

1 ) 17 9 ( 8

a) C/m 2 đường tròn tiếp xúc nhau, tìm toạ độ tiếp điểm H

b) Gọi d là tiếp tuyến chung không qua H, Tìm giao điểm K của d và IJ Viết phương trình đường tròn (C) qua K và tiếp xúc với cả 2 đường tròn trên tại H

Đs: H(, ), K(11,11),(C): (x - )2 + (y - )2 = 1250

10 Cho (C): x2 + y2 – 6x – 4y –3 = 0 và M(5, 3)

a) Tìm phương tích của M đối với (C)

b) Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (C) theo dây cung AB có độ dài:

ngắn nhất ? dài nhất ? tính các độ dài đó ?

(đs: a): -11, b) min(AB) = 2khi d: 2x + y – 13 = 0; max(AB) = 8 khi d:x –2y + 1 = 0

11 Cho ( C1 ): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0; (C2 ): x2 + y2 + 2x – 2y – 14 = 0

a) C/m 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm A, B Tính độ dài AB

b) Viết phương trình đường thẳng qua AB

c) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và C(0,1)

d) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, B và có tâm trên đường phân giác thứ II

12 Cho (C): x2 + y2 – 4x – 4y – 5 = 0 và d: 5x – y + 5 = 0

a) C/m d cắt (C) tại 2 điểm A, B tính độ dài AB

b) Viết phương trình của đường tròn (C’) qua A, B và có tâm trên Ox

14 Cho (C) có tâm I(2, -1), R = 2; d: x – my + 4m = 0

a) C/m d qua 1 điểm cố định

b) Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B

c) Tìm quỹ tích trung điểm K của AB

Đs: điểm có định M(0, 4) ,

21

88 5 21

a) C/m d luôn cắt (C) tại 2 điểm A, B tìm m để AB dài nhất ? ngắn nhất ?

b) Tìm quỹ tích trung điểm H của AB

c) Khi m = 1, tìm giao điểm A, B Tìm trên (C) điểm N sao cho SNAB = SIAB , I là tâm của (C)

Đs: a): m = -1, m = 1, b) H thuộc (x – ½)2 + (y – 3/2 )2 = ½ , c) N( 2  1 , 2  2 ),N(  2  1  2  2 )

16 Cho ( C) có tâm I(1,1), R = và M(4 ,3) Lập phương trình đường thẳng d qua M cắt (C) tại

2 điểm A, B sao cho:

a) M là trung điểm của AB đs: 3x + 2y -18 = 0

a) Tìm điều kiện giữa A, B để d tiếp xúc với ( C)

b) M, N thuộc ( C), xM = -1, yN = 1 Khi d tiếp xúc với (C), tìm A, B để tổng khoảng cáchtừ M, N đến d nhỏ nhất Đs: A2 + B2 = 1; A =

2

2 , B =-

2 2

20 Hai họ đường tròn (Cm ): x2 + y2 - 2mx + 2(m + 1)y - 1 = 0 và

( C’m): x2 + y2 –x + (m –1)y + 3 = 0 Tìm phương trình trục đẳng phươngcủa (Cm ) và (C’m ) Chứng tỏ khi m thay đổi, các trục đẳng phương đó đi qua một điểm cố định Đs: điểm cố định: (4/7 , 8/7)

21 Cho (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0, A(3, 5) Các tiếp tuyến của (C) là AM, AN Viết phương trình đường MN và tính đoạn MN

Đs: 3x + 4y – 11 = 0, MN =

22 Cho họ đường thẳng d: (x – 1)cost +(y – 1)sint – 4 = 0 (t là tham số) Tìm tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng mà d không đi qua với mọi t Suy ra d tiếp xúc với một đường tròn cố định Đs: (x – 1)2 + (y – 1)2 < 16; d tiếp xúc với (x – 1)2 + (y – 1)2 = 16

y x

2 cos 2

cos

2

1 sin

sin

đs :

4

7 2

x

y x

2 2

1

đs: m > /2

( HD: xét M(c,d) trên d: x + y – 6 = 0 và

N(a, b) trên (C) : x2 + y2 = 1 Tìm min( MN ) = ?)

26 Cho 4 số thực a, b, c, d thoả: a2 + b2 – 2a –2b +1 = 0

b) Tìm m để biểu thức E = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 đạt GTLN, GTNN ? tính GTLN, GTNN đó

28 C/m các cặp đường thẳng d, d’sau cắt nhau và tập các giao điểm của chúng là một đường tròn cố định:

a) d: 2mx –( m + 1)y + 1 – 3m = 0; d’: (3m +1)x + (m - 1)y + 2 - 6m = 0

b) d: ( m + 1)x – my + 2m + 1 = 0; d’ : mx + (m + 1)y – 5m – 2 = 0

đs:a) x2 + y2 – x – 3y = 0; b) (x – 1)2 + (y - )2 = 17

ELIP

Tóm tắt giáo khoa:

Cho trước 2 điểm F1 và F2 cố định sao cho đoạn F1F2 = 2c > 0

Elip là tập hợp các điểm M thoả: MF1 + MF2 = 2a, (a > c )

(E): 2 1

2 2

(E): 2 1

2 2

x (a > b > 0)

 Tiếp tuyến của (E)

a) Tiếp tuyến tại M thuộc (E) có phương trình: . .20 1

2 0





b

y y a

x x

(tách đôi toạ độ)b) Điều kiện để d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (E): 2 1

2 2

là A2  2 B2  2 C2

Bài tập:

1 Cho (E1 ): 4x2 + 9y2 = 36 Xác định tất cả các yếu tố của (E) : toạ độ các đỉnh, tiêu điểm, trục lớn , trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai ? phương trình các đường chuẩn, hình chữ nhật cơ sở Vẽ (E1 ) và các yếu tố đó Tương tự với (E2 ): 16x2 + 9x2 = 144

2 Lập phương trình của (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Một tiêu điểm (12, 0) và tâm sai e = 12/13

b) (E) qua 2 điễm (3, 2); (3, 2)

c) 2 tiêu điểm trên Ox, trục nhỏ = 6 và (E) qua (-2, 2)

d) tiêu điểm trên Ox, (E) qua (, 1) và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 6

e) phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là x +4 = 0, x – 4 = 0, y + 3 = 0, y – 3 = 0f) một đỉnh trên trục lớn là (0,5), phương trình đường tròn ngoại tiếp hcn cơ sở là

x2 + y2 = 41

g) trục nhỏ bằng 4 phương trình 2 đường chuẩn: y +5 = 0, y – 5 = 0

h) tiêu điểm trên Oy, tâm sai e =

2

2 , khoảng cách giữa 2 đường chuẩn là 8i) tiêu điểm trên Ox, (E) qua điểm M(8, 12), bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng 20

j) (E) tiếp xúc với cả 2 đường thẳng d: 3x – 2y – 20 = 0, d’: x + 6y – 20 = 0

3 Tìm tâm sai của (E) biết :

a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới 1 góc vuông

b) Khoảng cách giửa 2 đỉnh trên 2 trục bằng tiêu cự

c) Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng 2 lần tiêu cự

4 Tìm điểm M trên (E): x2 + 9y2 = 9 thoả:

a) Có bán kính qua tiêu điểm: MF1 = 3MF2

b) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc vuông

c) Nhìn 2 tiêu điểm dưới một góc 1200

d) M là giao điểm của (E) với đường thẳng d qua gốc O có hệ số góc k = - 1

5 Viết phương trình tiếp tuyến của (E):

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 16x2 + 4y2 = 64 tại điểm M có yM = 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x2 + y2 = 17 tại các giao điểm của (E) và d:

x – 2y = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 16x2 + 4y2 = 64,

biết tiếp tuyến có hệ số góc k = - 2 Tìm toạ độ tiếp điểm

d) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9x2 + 25y2 = 225 biết tiếp tuyến song song với đường d: 4x + 5y + 3 = 0 Tìm toạ độ tiếp điểm đs: 4x + 5y  25 = 0e) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x2 + 9y2 = 36 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y – 7 = 0 Tìm tọa độ tiếp điểm

Đs: 4x + 3y  6 = 0, , 1813

13

6 (   )f) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 4x2 + y2 –4 = 0 biết tiếp tuyến lập với trục hoành một góc 600 đs: x – y = 0 g) Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9x2 + 16y2 – 144 = 0 biết tiếp tuyến hợp với đường d: x – 2y + 1 = 0 một góc 450 (đs: 3x – y  3 = 0 va ø2x +3y = 0)

h) 4x2 + 9y2 – 36 = 0 biết tiếp tuyến qua điểm (3, - 4), tìm tọa độ tiếp điểm

Đs: x = 3, x + 2y + 5 = 0; (3, 0), (, )

i) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (E):4x2 + 5y2 = 20 và (E’): 5x2 + 4y2 = 20 Đs: x  y 3 = 0

6 Cho (E): 16x2 + 25y2 = 100 và d: y = x + b

a) Tìm b để d và (E) có điểm chung

b) Khi d cắt (E) tại 2 điểm A, B tìm b để AB dài nhất

c) Quỹ tích trung điểm I của AB

Đs: a)

2

41 2

41





 b ;b) b = 0; c) y = phần nằm trong (E)

7 Cho (E): 5x2 + 16y2 = 80 và 2 điểm A(-5, -1), B(-1, 1)

a) Xét vị trí tương đối của đường AB và (E)

b) Tìm các phương trình tiếp tuyến của (E) song song với AB

c) Điểm M di động trên (E), tìm GTLN của diện tích tam giác MAB

Đs: a) d cắt (E), b) x –y 6 = 0, c) max(SMAB) = 9

8 Cho (E): 9x2 + 4y2 = 36 và 2 điểm A(1, ), B(, 1)

a) Xét vị trí tương đối của đường AB với (E)

b) Các điểm M, N di động lần lượt trên (E) và đường thẳng AB Tìm M, N để MN nhỏ nhất, tính giá trị nhỏ nhất đó

c) Tính GTLN, GTNN của diện tích tam giác ABM

( Đs: a)AB: 4x – 5y + 20 = 0, không cắt, b) M(, ) min(MN) = 341 ,

c) max(S) = khi M(,), min(S) = khi M(, ) )

9 Cho (E): x2 + 4y2 = 4 và điểm A 





4 2 3 , 8 2 3

a) Tìm diểm trên (E) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua A

b) Điểm N di chuyển trên (E) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài doạn AN

Đs: (

4 2 6 , 2 2 6 );

2

2 ,

10 Chứng minh các tính chất của (E): 2 1

2 2

a) d là một tiếp tuyến của (E), c/m tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm đến d là một hằng số

b) C/m nếu 2 tiếp tuyến của (E) song song thì 2 tiếp điểm tương ứng đối xứng nhau qua gốc O và ngược lại, 2 điểm trên (E) đối xứng nhau qua O thì tiếp tuyến tại đó song song nhau

c) C/m tích các khoảng cách từ 1 tiêu điểm 2 tiếp tuyến song là một hằng số

d) F1, F2 là 2 tiêu điểm, M thuộc (E), C/m:

 F1M.F2M + OM2 = a2 + b2

 b OM  a

 (F1M – F2M)2 = 4(OM2 – b2)

e) d là một tiếp tuyến của (E) , d cắt 2 đường x = - a, x = a tại M, N C/m các tam giác

F1MN, F2MN vuông tại F Tìm phương trình của d sao cho diện tích tam giác F1MN nhỏ nhất

f) Gọi M là giao diểm của d: y = kx với (E), tính OM theo k, a, b Gọi B, A là 2 điểm trên (E) sao cho OA vuông góc OB, C/m:

i i) 2 2

11

OB

OA  có giá trị không đổi

ii) AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

ii iii) Tính GTLL, GTNN của diện tích tam giác OAB và độ dài AB

( Đs: OM2 = 222(1 2 22)

a k b

k b a



 , i) A thuộc d: y = kx thì B thuộc d’: y = x,

11

OB

OA  = 22 22

b a

b

a 

, ii) đường tròn tâm O, r = 2 2

b a

h)

11 Quỹ tích các điểm là (E)

a) Cho đường d: 3x + 25 = 0 và F(-3, 0) Tìm quỹ tích những điểm M thoả : 5FM = 3MKvới K là hình chiếu của M lên d

b) Cho A(3cost, 0), B(0, sint), khi t thay đổi, tìm tập hợp các điểm M thoả: 2

; cos 10

1 2 sin 4

:

2 2

t x

M

d) Tìm tập các tâm đường tròn x2 + y2 –2xcost - 2ysint + 3cos2t + sintcost = 0

e) Cho Cm : x2 + y2 -mx + m2 – 1 = 0 , tìm tập hợp các điểm M sao cho chỉ có một

đường tròn trong họ Cm đi qua

14 Cho (E): x2 + 16y2 = 16, (E’): 4x2+ 9y2 = 36

a) C/m (E) và (E’) có 4 điểm chung cùng nằm trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (E) và (E’)

Đs: x2+ y2 = ; x- y

15 Cho (E) có một tiêu điểm là F( -, 0), tâm O, độ dài trục lớn là 6

a) Lập phương trình của (E)

b) d là một tiếp tuyến di động của (E), d cắt 2 trục Ox, Oy tại 2 điểm A, B Tìm GTNN của SOAB

Đs: 8x2 + 18y2 = 144; min(SOAB) = 12

16 Cho (E): 4x2 + 9y2 = 36, d là một tiếp tuyến di động của (E), d cắt 2 đường x =  3 tại

2 điểm M(3, m) và N(-3, n)

a) C/m: m.n = 4

b) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

c) C/m tam giác FMN vuông Tìm GTNN của SFMN , F là một trong 2 tiêu điểm

d) Tìm GTNN của tứ giác có 4 đỉnh M, N, A(-3, 0), B(3, 0)

( Đs: b) quỹ tích I: x2 + 9y2 = 1 bỏ đi 2 điểm ? c) min(SFMN) = 4; min(SABMN) = 12)

Tóm tắt giáo khoa:

Cho 2 điểm cố định F1, F2 , F1F2 = 2c, Hypebol là tập các điểm M thỏa:

MF1 MF2  2a (c > a > 0 )

F1, F2 : 2 tiêu điểm ; F1F2 = 2c: tiêu cự ; MF1, MF2 : bán kính qua tiêu

(H): 2 1 2 2 2   b y a x (H): 2 1 2 2 2   b x a y

c2 = a2 + b2 ; tâm sai e = > 1 ; c2 = a2 + b2 ; tâm sai e = > 1 tiệm cận: y = x tiệm cận : x = y đường chuẩn: x = đường chuẩn: y =  bán kính qua tiêu điểm : bán kính qua tiêu điểm :

r1 = MF1 = exM  a r1 = MF1 = eyM  a

r2 = MF2 = exM - a r2 = MF2  eyM  a tiếp tuyến tại M(x0 , y0)  (H) tiếp tuyến tại M(x0 , y0)  (H) có pt: - = 1 - = 1

Tổng quát (H) : - =  1 Điều kiện để d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc (H):

A2m2 – B2 n2 =  C2

Hyprbol liên hợp của (H): - = 1 là (H’) : - = - 1

Hypebol vuông là hypebol có 2 tiệm cận vuông góc nhau, tức là a = b

b) Qua A(-2, 2) có 2 tiêm cận là 2x  y = 0

c) Qua B(-3,2) phương trình 2 đường chuẩn là 2y  1 = 0

d) Trục ảo trên Oy có độ dài 12, tâm sai e = 5/4

e) Tâm sai e = , qua M(3, -5)

f) Trục thưc trên Oy, phương trình các cạnh hcn cơ sở là y 1 = 0; 2x 1 = 0g) Một đỉnh trên trục thực là (3, 0) , đường tròn ngoại tiếp hcn cơ sở có phương trình:

x2 + y2 – 16 = 0

h) Một tiêu điểm ( -10, 0 ), phương trình các tiệm cận là 4x  3y = 0

i) Qua M(1, )và 2 tiệm cận vuông góc nhau

j) Qua M có hoành độ – 5 và MF1 = , MF2 = , F1, F2 là 2 tiêu điểm trên Ox

k) Qua M(6, 3) và góc giữa 2 tiệm cận là 600

(Đs: a) x2 – 2y2 = 4; b) 4x2 – y2 = 4;c) có 2 (H): 3y2 – x2 = 3 và 12y2 – x2 = 39; d) - = 1; e) x2 – y2 = 16;f) y2 – 4x2 = 1;g)7x2 - 9y2 = 63;

iii h) 64x2 – 36y2 = 100; i) y2 – x2 = 4; j) 9x2 – 16y2 = 144 ; k) có 2 (H):

iv x2 – 3y2 = 9 và 3x

3 Tìm điểm M trên (H): 9x2 – 16y2 = 144 thoả:

a) MF1 = 2MF2

b) M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông

c) M nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc 1200

9 , 5 34 4 b)

; 5 119 3 ,

a) Tìm M trên (H) có tọa độ nguyên

b) D qua A(4, 1) cắt (H) tại 2 điểm M, N sao cho AM = AN, tìm M, N

5 Cho (H): x2 – 4y2– 4 = 0, tìm trên (H) 2 điểm M, N sao cho tam giác AMN đều với A là đỉnh trên trục thực có hoành độ dương Đs: (14, 4)

7 Lập phương trình tiếp tuyến của (H):

a) (H): 25y2 – 16x2 = 9 tại điểm N có xN = - 1

b) (H): x2 – 4y2 = 20, tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với d: 2x – y – 10 = 0 Đs: 3x – 4y – 10 = 0; 7x + 4y – 30 = 0

c) (H): x2 – 4y2 = 20, tiếp tuyến có hệ số góc k = ¾ , tìm toạ độ tiếp điểm

đs:3x – 4y 10 = 0d) 5x2 – y2 = 4, tiếp tuyến song song với d: 3x + y – 5 = 0, tìm toạ độ tiếp điểm

đs:3x + y 

5

5

4 = 0e) (H): 4x2 – 5y2 = -20, tiếp tuyến vuông góc với d: 3x + 2y – 5 = 0 Tìm tiếp điểm đs: 2x – 3y 4 = 0 tại (5/2 ,

3)

f) (H): x2 – 4y2 = 4, tiếp tuyến tạo vơí d: x – 2y –1 một góc 450

đs: 3x – y 3= 0

g) (H): 25x2 – 16y2 = - 400, tiếp tuyến xuất phát từ A(4,1) Tìm tiếp điểm

đs: x – y – 3 = 0 tại (, )và 3x + 4y – 16 = 0 tại (-3, )

h) (H): x2 – 2y2 = 4, tiếp tuyến xuất phát từ B(2,3)

đs:x – 2 = 0 và 11x – 12y + 14 = 0i) (H): 5x2 – 4y2 = 20, tiếp tuyến cách tâm của (H) một khoảng bằng

đs: 2tiếp tuyến:2x y – 9 = 0

j) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 3x2 – 4y2 = 12 và(H’): 3y2 – 4x2 = 12 Đs: 2tiếp tuyến: x y 1 = 0k) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 7x2 – 4y2 = 28 và (E): x2 + 3y2 = 3 Đs: 2tiếp tuyến: 2x  y  5 = 0l) Tìm phương trình tiếp tuyến chung của (H): 7x2 – 2y2 = 14 và (C): x2 + y2 = 1

c) (H) tiếp xúc cả 2 đường thẳng: 5x – 6y - 16 = 0; 13x – 10y – 48 = 0

đs: x2 – 4y2 = 16 d) (H) qua N(,3) và tiếp xúc với d: 9x + 2y – 15 = 0

đs: 9x2 – y2 = 45; - = 1

10 Chứng minh một số tính chất của (H): - = 1

a) C/m hình chiếu vuông góc của một tiêu đểm lên các tiệm cận nằm trên đường chuẩntương ứng

b) Tích các khoảng cách từ một tiêu điểm đến 2 tiệm cận là một hằng số

c) OM2 – MF1.MF2 = a2 – b2 (M thuộc (H) )

d) (MF1 + MF2)2 = 4(OM2 + b2)