Tìm diện tích tứ giác MNCB.. Vì MN song song với BC nên tứ giác MNCB là hình thang.. Tính diện tích các tam giác BAO ,COD , OAD ,và BOC... Hiện nay tuổi bố cộng tuổi con bằng 64 tuổi ,tu
Trang 12 Một đội xe có 15 ô tô gồm ba loại : loại 4 bánh chở được 5 tấn , loại 6 bánh
chở được 8 tấn và loại 6 bánh chở được 10 tấn Đội xe đó có thể chở được
117 tấn hàng cùng một lúc Hỏi mỗi loại ô tô có mấy mấy chiếc, biết rằng đếm
được tất cả 84 bánh xe
Giải
Giả sử 15 xe đều là xe 6 bánh Khi đó tổng số bánh xe là:
6 x 15 = 90 (bánh xe)
Tổng số bánh xe dôi ra là:
90 – 84 = 6 (bánh xe)
Tổng số bánh xe dôi ra vì mỗi chiếc xe 4 bánh được tính thêm
6 – 4 = 2 (bánh xe)
Số xe 4 bánh là:
6 : 2 = 3 (chiếc)
Số xe 6 bánh là:
15 – 3 = 12 (chiếc)
Số hàng 3 xe 4 bánh chở là:
5 x 3 = 15 (tấn)
Số hàng 12 xe 6 bánh chở là:
117 – 15 = 102 (tấn)
Giả sử 12 xe đều chở đươc tấn hàng Khi đó, tổng số tấn hàng chở được là:
10 x 12 = 120 (tấn)
Số tấn hàng dôi ra là:
120 – 102 = 18 (tấn)
Số tấn hàng dôi ra là do mỗi xe 8 tấn chở thêm:
10 – 8 = 2 (tấn)
Số xe chở được 8 tấn là:
18 : 2 = 9 (chiếc)
Số xe chở được 10 tấn là:
12 – 9 = 3 (chiếc)
Đáp số: 3 chiếc 4 bánh.
9 chiếc xe 6 bánh loại 8 tấn
3 chiếc xe 6 bánh loại 10 tấn
3 Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Giải:
Chúng ta gọi dãy ba số tự nhiên liên tiếp tùy ý là: n , n + 1 , n +2 ; n∈N
Đặt tích n ( n + 1)(n + 2) = A(n)M3
Ta xét 3 trường hợp sau:
1) n = 3 q 1 , q 1∈N
Khi đó hiển nhiên có A(n)M3
2) n = q 2 + 1 , q 2∈N
Ta có n + 2 = 3 q 2 + 3 = 3 ( q 2 + 1 ) Hay n + 2M3 Do đó A(n)M3
3) n = 3 q 3 + 2 , q 3∈N
Lúc này ta có n + 1 = 3 ( q 3 + 1 ) Hay n + 1M3 Do đó A(n)M3
Từ các chứng minh trên, chúng ta khẳng định được A(n) M 3 ,∀n ∈ N
3 Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó cộng với tổng các chữ
số của nó thì bằng 555
Giải:
Gọi số cần tìm là abc (a # 0 ; a,b,c < 10) Theo đề bài ta có: abc + a + b + c = 555 abc < 555 (1) , do đó < 5 và b < 5 (*) Trong trường hợp nầy tổng a + b + c đạt giá trị lớn nhất là: 5 + 4 + 9 = 18 Nên abc đạt giá trị nhỏ nhất là: 555 – 18 = 537
Do đó abc > 536 (2)
Từ (1) và (2) ta có : 536 < abc< 555 Vậy a = 5 Khi đó
5bc + 5 + b + c = 555
500 + bc + 5 +b + c = 555
505 + bb + 2c = 555
bb + 2c = 50 Nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì bb đạt giá trị nhỏ nhất là:
50 – 2 x 9 = 32, do đó b > 3
Từ (*) và (**) ta có: 3 < b < 5 Vậy b = 3 hoặc 4
Vì 2 c chẵn và 50 chẵn nên b chẵn Do đó b = 4 Khi đó:
44 + 2c = 50 2c + 6
c = 3 Vậy số cần tìm là 543
(Thử lại : 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng)
4 Chứng minh rằng ∀n ∈ N , n 3 + 2n M 3
Giải:
Ta có n 3 + 2n = (n3 – n) + 3n = n (n2 – 1)+ 3n = n (n – 1)(n + 1)+3n Khi n =0 thì n3 + 2n M 3
Khi n ≠ 0 thì n (n – 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp cho nên nó chia hết cho 3 , còn 3n cũng luôn chia hết cho 3
Do đó n3 + 2nM3 ∀n ∈N
6 Cho a = x195y có các chữ số khác nhau Tìm tất cả những chữ số x , y để thay
vào ta được số a đồng thời chia hết cho 3 và 4
Giải:
Số a chia hết cho 4 thì 5y chia hết cho 4 Vậy y = 2 hoặc y = 6 + Thay y = 2 ta có a =x1952 Số x1952 chia hết cho 3 nên x = 1 ; 4 hoặc 7 Vì a có các chữ số khác nên x = 4 hoặc 7 Ta được số 41952 và 71952 thỏa mãn điều kiện của đề bài
+ Thay y = 6 ta có a =x1956 Số x1956 chia hết cho 3 nên x = 3 ; 6 hoặc 9 Vì a có các chữ số khác nên x = 3 Ta được số 31956 thỏa mãn điều kiện của đề bài Vậy các số cần tìm là :41952 , 71952 và 31956
Trang 25 Tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = 30 cm, AC = 40 cm,
BC = 50 cm Một đường thẳng song song với cạnh BC và cách
cạnh BC một đoạn bằng 3 cm, cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh Ac tại N
a Tứ giác MNCB là hình gì ?
b Tìm diện tích tứ giác MNCB A Giải:
M
B C
50cm H
a Vì MN song song với BC nên tứ giác MNCB là hình thang b Ta có : AB x AC 30 x 40 SABC = = = 600 (cm2) 2 2
BC x NH 50 x 3 SMBC = SNBC = = = 75 (cm2) 2 2
Hai tam giác MBC và ABC có chung ch iều cao hạ từ C , nên : MB SMBC 75 1
= = =
AB SABC 600 8
1 1
Vậy MB = AB x = 30 x = 3, 75 (cm) 8 8
Suy ra AM = AB – MB = 30 – 3 ,75 = 26, 25 (cm) Tương tự ta có : NC SNBC 75 1
= = =
AC SABC 600 8
1 1
Hay NC = AC x = 40 x = 5 (cm) 8 8
Suy ra AN = AC – NC = 40 – 5 = 35 (cm) AM x AN 26, 25 x 35 Vậy SNBC = = = 459, 375 (cm2) 2 2
Suy ra SMNCB = 600 – 459 , 375 = 140, 625 (cm2) Đáp số : 140, 625 cm2 6 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD = 12 cm, đáy nhỏ BC = 3 cm, chiều cao là 6 cm Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại O Tính diện tích các tam giác BAO ,COD , OAD ,và BOC Giải: B 3 cm C
HH
6cm A D 12 x 6
Ta có: SBAD = = 36 (cm 2) 2
3 x 6 SBDC = SBAC = = 9 (cm 2) 2
Vậy SBAD = 4 SBDC (1) Hai tam giác BAD và BDC có chung đáy BD nên từ (1) ta có chiều cao AH = 4 CK (2) Hai tam giác BAO và BOC có chung đáy BO nên từ (2) ta có: SBAO = 4 SBOC Mặt khác: 3 x 6 SBAO + SBOC = SBAC = = 9 (cm 2) 2
Ta có sơ đồ : Diện tích tam giác BOC : 9 (cm2) Diện tích tam giác BAO :
Tổng số phần bằng nhau: 4 + 1 = 5 (phần) Diện tích tam giác BOC là: 9 : 5 = 1, 8 (cm2) Diện tích tam giác BAO là: 1,8 x4 = 7, 2 (cm2)
Từ đây suy ra : SCOD = SBDC – SBOC = SBAC – SBOC = 9 – 1,8 = 7, 2 (cm 2) Và SOAD = SBAD – SBAO = 36 – 7, 2 = 28, 8 (cm 2) Đáp số : SBAO = SCOD = 7,2 cm 2 SOAD = 28 ,8 cm 2 SBOC = 1, 8 cm 2 O H
K
12cm
30 cm 40cm
M N
Trang 38 Hiện nay tuổi bố cộng tuổi con bằng 64 tuổi ,tuổi con bằng /3 tuổi bố Hỏi :
a Mấy năm trước tuổi bố gấp 9 lần tuổi tuổi con ?
b Mấy năm nữa tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ?
Giải:
Hiện nay ta có sơ đồ:
Tuổi bố: 64 tuổi
Tuổi con:
Tổng số phần bằng nhau:
1 + 7 = 8 (phần)
Hiện nay tuổi con là:
64 : 8 = 8 (tuổi)
Hiện nay tuổi bố là:
8 x 7 = 56 (tuổi)
Tuổi bố hơn tuổi con là:
56 – 8 = 48 (tuổi)
a Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con ta có sơ đồ :
Tuổi bố :
Tuổi con:
Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi
9 – 1 = 8 (phần)
Tuổi con lúc đó là:
48 : 8 = 6 (tuổi)
Khi tuổi bố gấp 9 lần tuổi con cách nay:
8 – 6 = 2 ( năm)
b Khi tuổi bố gấp 5 lần tuổi con ta có sơ đồ :
Tuổi bố :
Tuổi con:
Hiệu số phần bằng nhau: 48 tuổi
5 – 1 = 4 (phần)
Khi đó tuổi con là:
48 : 4 = 12 (tuổi)
Để tuổi bố gấp 5 lần tuổi con cần thêm thời gian là:
12 – 8 = 4 (năm)
Đáp số: a 2 năm
b 4 năm
9 Thay x , y trong số 2004xy bởi chữ số thích hợp để số này đồng thời chia hết cho
2, 5 và 9
Giải:
Số 2004xy đồng thời chia hết cho 2 và 5 nên y = 0 Thay y = 0 vào số 2004xy ta
được số 2004x0
Số này chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của nó chia hết cho 9
Vậy 2 + 0 + 0 + 4 +x + 0 chia hết cho 9 hay 6 + x chia hết cho 9
Vì 6 chia 9 dư 6 nên x chỉ có thể là 3 Thay x = 3 vào số 2004x0 ta được số 200430
thỏa mản đề bài đã cho
9 Lúc 5 giờ 30 phút ,một người khởi hành từ tỉnh A bằng xe máy với vận
tốc 40 km/giờ và đến tỉnh B lúc 8giờ 15 phút ,người đó nghỉ lại tỉnh B 30 phút rồi quay về tỉnh A với vận tốc cũ Lúc 7 giờ 45 phút một người khác đi từ tỉnh A đến tỉnh B bằng xe đạp với vận tốc 10km/giờ.Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ và chỗ gặp nhau cách tỉnh B bao nhiêu km?
Giải:
Thời gian người đi xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B là:
8 giờ 15 phút – 5 giờ 30 phút = 2 giờ 45 phút = 2, 75 giờ Quãng đường AB là
40 x 2, 75 = 110 (km) Người đi xe máy rời tỉnh B lúc:
8 giờ 15 phút + 30 phút = 8 giờ 45 phút Thời gian người đi xe đạp đi từ 7 giờ 45 phút đến 8 giờ 45 phút là:
8 giờ 45 phút – 7 giờ 45 phút = 1 giờ Đến 8 giờ 45 phút người đi xe đạp đã đi được 10 km Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau:
110 – 10 = 100 (km) Thời gian từ 8 giờ 45 phút đến lúc hai người gặp nhau là:
100 : ( 40 + 10 ) = 2 (giờ) Hai người gặp nhau lúc:
8 giờ 45 phút + 2 giờ = 10 giờ 45 phút Chỗ hai người gặp nhau cách tỉnh B là:
40 x 2 = 80 (km) Đáp số : a 10 giờ 45 phút.
b 80 km
2 Chứng minh rằng:
1 1 1 n + + … + = , với mọi n > 2
1 x 2 2 x 3 n x ( n + 1) n + 1
Giải Với n = 2 ta có:
1 1 2 + =
1 x 2 2 x 3 3 Vậy công thức trên đúng với n = 2
Giả sử công thức trên đúng với n = k ≥ 2 , tức là:
1 1 1 n + + … + = , với k > 2
1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) k + 1
Ta có: 1 1 1 + + … +
1 x 2 2 x 3 (k+1) ( k+2)
1 1 1 1 =[ + + … + ] +
1 x 2 2 x 3 k x ( k + 1) (k + 1)(k + 2)
k 1 k x (k +2) +1 k + 1 = + = =
K + 1 (k +1)(k +2) (k + 1) x ( k + 2) k + 2 Vậy công thức trên đúng với n = k + 1
Từ đó suy ra công thức trên đúng với mọi n ≥ 2
Trang 412 Tính nhanh tổng sau:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + +
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Giải 1 1
Nhận xét : = 1 –
2 2
1 1 1
+ = 1 –
2 4 4
1 1 1 1 1 1
+ + = 1 + = 1 –
2 4 8 4 8 8
1 1 1 1 1 1 1
+ + + = 1 – + = 1
2 4 8 16 8 16 16
v.v … Vậy tổng phải tìm là : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + + + +
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
1 1023
= 1 – =
1024 1024 1023
Đáp số: 1024
20 Trong giải vô địch bóng đá thế giới , bảng B có 5 đội thi đấu vòng tròn một lượt tính điểm Trong mỗi trận đấu : đội thắng được 3 điểm ,đội thua được 0 điểm ,nếu hòa thì mỗi đội được 1 điểm Hãy tính xem một đội bóng thắng mấy trận , hòa mấy trận , thua mấy trận , nếu : a Đội đó được 7 điểm b Đội đó được 8 điểm c Đội đó được 11 điểm Giải: Vì có 5 đội ,nên mỗi đội phải đấu 4 trận a) Nếu thắng cả 4 trận thì đội đó được: 3 x 4 = 12 (điểm) Cứ 1 trận thua thì đội đó bị trừ 3 điểm Còn 1 trận hòa thì đội đó bị trừ 2 điểm Đội đó bị trừ: 12 – 7 = 5 (điểm) Vậy đội đó thua 1 trận và hòa 1 trận Suy ra đội đó thắng 2 trận b) Đội đó bị trừ : 12 – 8 = 4 (điểm) Vì 2 = 2 + 2 nên đội đó hòa 2 trận và thắng : 4 – 2 = 2 (trận) c) Đội đó chỉ mất: 12 – 11 = 1 (điểm) Điều này không thể xảy ra được Đáp số: a) 2 thắng , 1 hòa , 1 thua b) 2 thắng , 2 hòa ; c) Không thể xảy ra đội đó được 11 điểm 26 Tính diện tích phần có gạch chéo ở hình vẽ bên Biết cạnh của hình vuông là 4 m , đường kính của hình tròn là 2 m , tâm của hình tròn nằm ở chính giữa hình vuông Giải: Diện tích hình vuông: 4 x 4 = 16 (m2) Diện tích hình tròn:
1 x 1 x 3,14 = 3,14 (m2) Chiều cao mỗi tam giác trong hình vẽ là: (4 – 2 ) : 2 = 1 (m) Diện tích của 4 hình tam giác đó là: 4 x 1 X 4 = 8 (m2) 2
Diện tích toàn phần gạch chéo là: 16 – ( 8 + 3, 14 ) = 4, 86 (m2) Đáp số: 4, 86 (m2)