đại thức và ứng dụng potx

nhóm chúng em đã hoàn thành chuyên đề nhỏ về một số ứng dụng cơ bản của đa thức trong giải toán Do mặt hạn chế về thời gian nên vẫn còn nhiều thiếu sót,mong thầy và các bạn góp ý,chỉnh s

Trang 1

Chuyên đề: ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 1

Trang 2

CHUYÊN ĐỀ

Trang 3

Một số khái niệm cơ bản và quan trọng trọng đại số, trong toán học nói chung là khái niệm

về đa thức Trong chương trình phổ thông phần đại số hầu hết đều nghiên cứu về đa thúc bậc nhất, bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậc cao Rất nhiều ứng dụng và bài tập đã được học trong chương trình phổ thông Và hôm nay, với sự hướng dẫn của thầy Đỗ Kim Sơn, thầy Nguyễn Tuấn Ngọc nhóm chúng em đã hoàn thành chuyên đề nhỏ về một số ứng dụng cơ

bản của đa thức trong giải toán

Do mặt hạn chế về thời gian nên vẫn còn nhiều thiếu sót,mong thầy và các bạn góp ý,chỉnh

sửa thêm

Xin chân thành cảm ơn

Trang 4

Ph ầ n 1 SƠ LƯỢ C V Ề ĐA THỨ C :

A.ĐA THỨC – NHÂN, CHIA ĐA THỨC – SỰ CHIA HẾT

I Xét hàm số: f:ℝ→ℝ, ta nói f là một đa thức nếu hoặc f=const hoặc tồn tại n¥,n1

và tồn tại các số thực a a a0, 1, 2, ,a n với a  n 0 sao cho

a a a a là hệ số của đa thức f, a nlà hệ số cao nhất,a0là hệ số tự do

n là bậc của đa thức f và ký hiệu degf=n ( trường hợp f=const ta nói deg f=0) Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số nguyên được ký hiệu là ¢ x

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ được ký hiệu là ¤ x

Tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực được ký hiệu là ¡  x

Hai đa thức được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi dưới dạng chính tắc, các hệ tử của các lũy thừa tương ứng của ẩn x bằng nhau Do đó một đa thức bằng đa thức không khi và chỉ khi mọi hệ tử ở dạng chính tắc của nó đều bằng không ( Nguyên lý so sánh các hệ số của đa thức)

Trang 5

Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức cùng thuộc P[x], bao giờ cũng có thể tìm được một cặp đa thức q(x) và r(x) duy nhất cũng thuộc P[x] sao cho f(x)=g(x).q(x)+r(x), trong đó bậc

của r(x) bé hơn bậc của g(x) Nếu r(x) bằng đa thức không thì ta nói f(x) chia hết cho g(x),

hay g(x) chia hết f(x), hay f(x) là bội của g(x), g(x) là ước của f(x)

Một đa thức d(x) chia hết 2 đa thức f(x) và g(x) đã cho gọi là ước chung của f(x) và g(x)

Nếu d(x) là ước chung của f(x) và g(x), chia hết cho mọi ước chung khác của 2 đa thức ấy, thì d(x) gọi là ước chung lớn nhất của f(x) và g(x), viết là UCLN và ký hiệu là (f(x), g(x))=d(x) Để tìm ước chung lớn nhất của f(x) và g(x) ta dùng thuật toán Oclide bằng cách

thức hiện một số phép chia liên tiếp như sau:

Xuất phát từ thuật toán Oclide , ta chứng minh được rằng : nếu ( )d x ( ( ), ( ))f x g x

thì có thể tìm được hai đa thức ( ) à ( )u x v v x cũng trên P x  sao cho :

f x u x g x v x d x

Hơn nữa , nếu bậc của f(x) và g(x) lớn hơn 0 thì ta còn có thể chọn sao cho bậc của u(x) bé hơn bậc của g(x) và bậc của v(x) bé hơn bậc của f(x)

B.NGIỆM BỘI – PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ

I Một đa thức bậc lớn hơn 0 trên P[x] được gọi là bất khả qui trên P[x], nếu nó không

thể viết được dưới dạng tích của 2 đa thức bậc r 0 và bé hơn n , của P[x]

Mỗi đa thức bậc m > 0 của P[x] đều có thể phân tích được thành tích của những đa thức bất khả qui trên P [x] và sự phân tích đó là duy nhất , nếu không kể đến thứ tự các nhân

Trang 6

Trên £ [x] , chỉ có các nhị thức bậc nhất là đa thức bất khả qui

Trên ¡ [x], chỉ có các nhị thức bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực là các đa thức bất khả qui

II a/ Giả sử f(x)  ¡ [x] và a  ¡ Ta nói f(x) nhận  làm nghiệm nếu f() = 0, khi đó f(x) chia hết cho x-a hay nhận x-a làm một nhân tử

b/ Giả sử f(x)  ¡ [x] và a  ¡ và k ¥[x], k1 Ta nói  là nghiệm bội của đa

thức f(x) nếu tồn tại g(x)  ¡ [x], g()  0 sao cho (x) ( )k g x với   ¡x ( tức là f(x)

chia hết cho (x)k nhưng không chia hết cho (x)k 1)

Nếu k=1 thì ta nói  là nghiệm đơn

Nếu k≥2 thì ta nói  là nghiệm bội

C.CÁC ĐỊ NH LÝ C Ơ BẢ N V Ề NGHI ỆM ĐA THỨ C

ĐỊ NH LÝ 1

Nếu f,g ∈ℝ[x] deg f=n≥1, deg g=m thì f[g(x)]∈ℝ[x] và có bậc bằng m.n

Giả sử f,g ∈ℝ[x] với deg f=n, deg g=m, ta có:

Trang 7

 là nghiệm của đa thức f¡[ ]x  f x( ) (Mx) trong (x)¡

Chứng minh: f ¡[ ] &x ¡ luôn tồn tại duy nhất g∈ℝ[x] sao cho

Trang 8

Xác định các số thực p,q sao cho đa thức x 4 1 chia hết cho đa thức x2 pxq

Xác định đa thức f(x) biết rằng với mọi x thì:

2

( 1) 3 2

f x x  x

Trang 9

Nếu p = 0 thì từ (2) suy ra b = -q, và (4) trở thành b21,điều này vô lý

Nên : p 0 do đó p = q.Thay vào (4) thì được b = q = 1 hoặc b = q= -1.Mặt khác , từ (2) suy

ra 2ba2 0, ê n n b0.Từ đây ta có b = q = 1 và a2= 2,hay a  2,suy ra p m 2

Thử lại, ta thấy rằng x41 Mx2 2x1,bởi vì :

Trang 10

ĐỊ NH LÝ 3 ( Khai tri ể n c ủ a m ột đa thứ c theo các nghi ệ m)

Giả sử f  ¡[ ]x và các số phân biệt  1, 2, ,  ¡ m là các nghiệm của đa thức f với các bội

tương ứng là k k1, 2, ,k m khi đó tồn tại g∈ℝ[x] sao cho:

Trang 11

1

1 2 0

n n

0x 2x ax  4 2x 2a Nghĩa là x3=a hoặc là a2=2-a

Giải phương trình trên ta nhận được : a=1 hoặc a=-2

Trang 12

Ví dụ 5:

Lời giải :

Nếu tồn tại hai số a và b so cho P(a)<a và P(b)>b, hàm liên tục Q(x)=P(x)-x sẽ nhận hai giá

trị trái dấu Q(a)<0 và Q(b)<0, suy ra P(x)=x với x nào đó, điều này trái với điều kiện đã cho Như vậy chỉ còn hoặc là P(x)>x với mọi x hoặc là P(x)<x với mọi x Nhưng khi đó hoặc là

P(P(x))>P(x)>x với mọi x hoac95 là P(P(x))<P(x),x với mọi x, đó là điều phải chứng minh

ĐỊ NH LÝ 4 ( Nghi ệ m c ủa đa thứ c v ớ i h ệ s ố nguyên và đố i x ứ ng)

Chứng minh: giả sử c là nghiệm hữu tỉ tùy ý của đa thức viết c dưới dạng tối giản,c r

P x  a x  a x   a x a  trong đó n≥1 Khi đó, nếu P(x) có

nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm của P(x) có dạng r

s, trong đó r là ước của a0,

còn s là ước của an và (r,s)=1

Tam thức bậc hai P(x) với những hệ số thực sao cho phương trình P(x)=x

không có nghiệm thực.Chứng minh rằng : phương trình P(P(x))=x cũng

không có nghiệm thực

Trang 13

Chứng tỏ rằng a s0 nM Vì (r,s)=1 suy ra (r, sr n)=1 nên suy ra a0 chia hết cho r (2)

Kết hợp (1) và (2) được điều phải chứng minh

P x  a x  a x   a x a  , trong đó

ai nguyên, ∀i=0,1,…,n-1 Khi đó, nếu P(x) có nghiệm hữu tỉ thì mọi nghiệm hữu tỉ của P(x)

đều là số nguyên và là một trong các ước số ( âm, dương) của hệ số

Trang 14

Cho P(x) ∈ℤ[x], giả sử các phương trình P(x)=1, P(x)=2, P(x) =3 có ít nhất 1

nghiệm nguyên lần lượt là x1,x2,x3

4.4.Đa thức P(x) là đa thức có hệ số đối xứng khi và chỉ khi điều

kiện su đây thỏa mãn:Một số a là nghiệm của đa thức P(x) khi và

chỉ khi số 1

a cũng là nghiệm

Trang 15

Nếu phương trình P(x) =1 có 1 nghiệm nguyên x’1≠x1, lý luận tương tự suy ra x’1=2x2-x3

Suy ra x’1=x1 mâu thuẫn, suy ra x1 là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình P(x)=1

Tương tự x3 là nghiệm nguyên duy nhất của phương trình P(x) =3

2

Giả sử phương trình P(x) =5 có 1 nghiệm nguyên x5

Trong (1) cho x=x5 suy ra 5=P(x5)=(x5-x2)q(x5)+2 hay (x5-x2)q(x5)=3 ⇒x5-x2 chỉ có thể lấy

Trang 16

P(x) =(x-x3)r(x)+3, với r(x)∈ℤ[x] Cho xx5(x5x r x3) ( )5 2x5x3chỉ lấy giá trị ±1

Trang 17

Từ f x f( ) (2x2) f(2x3x),  ¡ (*), so sánh hệ số của xx 3n và x0 trong khai

Trang 18

Ví dụ 8:

1.Ta có

1

1 2 1( )

1.Biện luận số nguyên thực của (1) theo n

2 Giả sử n≥3, chứng minh (1) chỉ có nghiệm đơn lớn hơn

Trang 19

Suy ra f(x) có 2 nghiệm đơn phân biệt

1

n x n

Suy ra f(x) có 2 nghiệm đơn phân biệt

2.Dựa vào bảng biến thiên trên, ta thấy f(x) luôn có đúng 1 nghiệm > 1 (1) Với n ≥3, ta có:

Trang 20

Nếu số hữu tỉ a=u/v là nghiệm của phương trình đã cho, thì theo định lý ở trên những số u và

v có khả năng sau đây u=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 và v=±1, ±2, ±3, ±6 Để có thể áp dụng

định lý 4.2 ta sẽ tính tất cả các khả năng của u+v và u-v cho mọi khả năng của hai số u và v

kết quả xem trong bảng sau:

5 -5

3 -1

5 -1

7

5

0 -3 +3 -7 -1 -5 -1 -7 -1 -7

-1

3 -4

12 -1/2 1/3 -2/3

¼ -3/4

0

4 -3

13 -1

11 -3 -2 -5 -3 -7

2 -3

6 -12 3/2 -1/3 4/3 -1/4 1/6

3 -2

7 -11

5 -13

1 -4

1 -5 -5

Hãytìm những nghiệm thực của phương trình:

P x  x  x  x  x 

Trang 21

Ta tính được P(1)=4 và P(-1)=18, ta thấy ngay rằng những số hữu tỉ thỏa mãn các định lý trên là:2;-3;1/2;-1/3 ( bằng cách tìm trong bảng những P(-1) chia hết cho u+v và P(1) chia hết cho u-v) Như vậy nếu phương trình đã cho có nghiệm hữu tỉ, thì chúng sẽ nằm trong 2;-3;1/2;

-1/3 Số nào sẽ thực sự lòa nghiệm của đa thức đã cho, bằng cách áp dụng P(x)=0 khi và chỉ

khi P(x) chia hết cho x-a, nghĩa là áp dụng sơ đồ Horner Ta có:

Bây giờ, ta kiểm tra những số nào trong các số -3;1/2/-1/3 là nghiệm ( phải kiểm tra lại -3 vì

trừ khi phương trình đã cho có nghiệm bội) từ những số này suy ra ngay -3 không phải là

nghiệm của Q(x), vì 4 không chia hết cho 3 Còn lại hai số sau ta lại sử dụng sơ đồ Horner

Trang 22

Mặt khác trong (2) cho x=y=z=1 , ta co 24=8C

Suy ra :C=3 Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2

Hướng dẫn

Chứng minh rằng: Không tồn tại đa thức bậc 2 với

Trang 23

Do b nguyên nên (4) chỉ xảy ra khi a=b=0 ( và do đó c=0)

Điều này mâu thuẫn với giả thiết: a khác 0

khác nhau Chứng minh rằng đa thức P x( )không có nghiệm

nguyên

Trang 24

Từ (1) và giả thiết suy ra :1 P a   ax0 Q a 2   

Do |Q(a)| và |a-x0| là nguyên không âm, nên từ (2)

|a-x0|=1 (3)

Tương tự đối với b,c:

|b-x0|=1 ; |c-x0|=1 (4)

Các số trên thuộc tập hợp {-1;1} Vì thế 2 trong số chúng bằng nhau (nguyên lí Dirichlet)

Suy ra : a=b ( trái giả thiết) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Vì thế đa thức Q(x)=1+P(x) nhận c,d làm nghiệm, nên theo định lý Be1zout, ta có

Q(x)=1+P(x)=(x-c)(x-d).R(x), ở đây R(x) cũng là đa thức với hệ số nguyên.Như vậy:

Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên Cho a,b là hai số nguyên

thỏa mãn điều kiện a<b và P(a)=P(b)=1 Cho c,d là hai số nguyên

thỏa mãn điều kiện c<d và P(c)=P(d)=-1 Giả thiết thêm rằng a<c

Chứng minh a, b, c, d là 4 số nguyên liên tiếp

Trang 25

Trang 26

Hướng dẫn

Nếu x0 là nghiệm của đa thức thì x0 phải chẵn

suy ra giá trị của P(x0), P(1) từ đó :

có hai nghiệm nguyên phân biệt

Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên Giả sử

P(0) và P(1) là các số nguyên lẻ.Chứng minh

rằng:đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

Trang 27

Áp dụng hằng đẳng thức khai triển xn-yn kết hợp với (1) suy ra:

P(p)-P(q)⋮p-q suy ra P(p)-P(p) là số chẵn với mọi p là số nguyên chẵn khác 0

Mặt khác, P(0) là số nguyên lẻ suy ra: P(p) là số nguyên lẻ ( P(p)≠0 với mọi số nguyên chẵn) Tương tự, ta có P(p)-P(1) là chẵn với mọi p nguyên lẻ

Kết hợp với P(1) lẻ suy ra p lẻ thì P(p) lẻ (P(p)≠0 với mọi số nguyên lẻ)

Điều đó nghĩa là P(x) lẻ với mọi x nguyên, tức là đa thức không có nghiệm nguyên (điều phải chứng minh )

Nhận xét:

Nếu P(x) là đa thức với hệ số nguyên, trong đó P(a) bà P(b) là các số nguyên lẻ với a,b có

tính chẵn, lẻ khác nhau Khi đó P(x) là số nguyên lẻ với mọi giá trị nguyên của x

ai đều là các số nguyên lẻ, i=0,1,…,2k

Chứng minh rằng: đa thức P(x) không có nghiệm hữu tỉ

Trang 28

Từ (4) và (5) và do a0,a2k là các số nguyên lẻ nên suy ra p và q củng là các số nguyên lẻ

Vế trái của (1) là một tổng của (2k+1) số nguyên lẻ, do đó tổng ấy không thể bằng 0

Suy ra điều phải chứng minh

Trang 29

Cho đa thức với hệ số nguyên Biết P(x) nhận giá trị bằng 2 với 4 giá

trị khác nhau của x∈ℤ.chứng minh rằng , đa thức P(x) không thể

Trang 30

Chứng tỏ a là nghiệm của đa thức:

P(x) =x3-6x-6

Định lý ở trên thì nghiệm hữu tỉ của đa thức phải thuộc tập hợp {1,2,3,6}

Thử lại a là nghiệm suy ra a là số vô tỉ

Cho đa thức P(x) =x3+ax2+bx+c, trong đó a,b,c là các

số hữu tỉ biết rằng là một nghiệm của đa thức tìm

các nghiệm khác của đa thức ( nếu có)

Trang 31

Giả sử x1,x2,…,xk là các nghiệm nguyên của P(x)=3 ( x1<x2<…<xk) và y1,y2, ,yl là các

nghiệm nguyên của P(x)=-3 (y1<y2<…<yl) Rõ ràng xi khác yj,∀i,j

Vì deg ( ) 1991P x  k 1991;l1991 mặt khác , k+1 chính là số nghiệm của đa thức Q(x) nên theo giả thuyết phản chứng thì k l 1996.Từ đó ta có k5,l ta suy ra tồn tại 5

Vì P(x) là đa thức với hệ số nguyên mà yi0,xi0 là nguyên nên ta có:

Giả sử P(x) là đa thức bậc 1991 với hệ số nguyên

Xét đa thức Q(x) =P2(x)-9 Chứng minh rằng : số

nghiệm nguyên của đa thức Q(x) nhỏ hơn 1996

Trang 32

y x ,suy ra | yi0 – xi0 |6 (2)

Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng là sai , tức là đa thức Q(x) =

2

( ) 9

P x  không thể có quá 1995 nghiệm nguyên (đpcm)

Nhận xét

Ta có thể chứng minh (1) như sau :

Vì k5,l5 và x i  y i,i j, do đó có ít nhất ba nghiệm trong số l nghiệm y j i( 1, )l nằm lệch hẳn về bên phải ( hoặc bên trái ) các nghiệm x i i( 1, )k Không giảm tổng quát ta coi sự lệch này về bên phải Như vậy ta có :

Trang 33

Hướng dẫn

1) Giả sử P(x)  H tức là P x( )ax3bx2cx d , trong đó aM,3 bM M3,c 3 Vì thế tồn tại

sốa1,b1,d1 ∈ℤ sao cho a=3a1, b=3b1, c+rd=3d1, trong đó r∈{0;1;2}.( vì c M3 nên tồn

tại r∈{0 ;1 ;2} sao cho cr+d⋮3) Ta có :

Trang 34

hiển nhiên 9a⋮3 và 3ar22br Mc 3 điều đó nghĩa là Q(x) ∈H Như vậy tồn tại r∈{0 ;1 ;2}

và đa thức Q(x) ∈H sao cho P3x r 3Q x 

2) Giả sử P x( )H Theo câu 1), tồn tại số r 1 0;1; 2và đa thức P x( )H sao cho :

3) Giả sử P(0), (1)P cũng không chia hết cho 3

Lấy r 0;1; 2theo 1)ta có

Do P x r(3  )3 ( )S x P r( )đúng với mọi x nên nếu chọn xx x,  thì ta có

Trang 35

Do S x( )  x S x( )là số nguyên theo gt thì P r M( ) 3, vì thế từ (*)suy ra

P x không chia hết cho 3 với 3 giá trị nguyên liên tiếp nào

đó của x Chứng minh rằng đa thức P x( )không có nghiệm

nguyên

Trang 36

AD định lí Bézout suy ra 2; 2; 3  nằn trong số các nghiệm của P x( )

Trang 37

từ (1) suy ra đa thức bậc nhất R x( ) (b10)x a 5bchia hết cho đa thức

Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những

nghiệm x1,x2,x3 của đa thức P x( )x32x2 x a

x x  x

Hướng dẫn :tương tự ví dụ 4, a 4,a2

nghiệm x1,x2,x3, x4 của đa thức

Trang 38

Bài 20 :

Bài 21 :

Bài 22 :

Bài 23 :

nghiệm x1,x2,x3 của đa thức P x( )x3ax210x5

thỏa mãn điều kiện x1 x2x x1 2

Hướng dẫn :tương tự ví dụ 4,a  6

Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những nghiệm

x1,x2,x3, x4 của đa thức P x( )x4x3ax2 x 6 thỏa mãn

điều kiện x1 x2  1

Hướng dẫn :tương tự ví dụ 4, a  5

Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những nghiệm

x1,x2,x3, x4 của đa thức P x( )x42x36x2ax11 thỏa mãn

điều kiện x1 x2 x3x4

Hướng dẫn : Hướng dẫn :tương tự ví dụ 4, a  7

Định dạng
Số trang	44
Dung lượng	1,56 MB