Toán Cao cấp B 1 docx

Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định.. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên tập

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC

Y Z

ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI

TOÁN CAO CẤP B1

(Bài Giảng Tóm Tắt)

Lưu hành nội bộ

Y Đà Lạt 2008 Z

I Các kiến thức cơ bản

1 Tập hợp 1

1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau 1

1.2 Các phép toán trên tập hợp 1

2 ánh xạ 2

2.1 Các định nghĩa 2

2.2 ảnh và nghịch ảnh 3

2.3 Đơn ánh- Toàn ánh- Song ánh 4

3 Quan hệ trên tập hợp 6

3.1 Quan hệ hai ngôi 6

3.2 Quan hệ t-ơng đ-ơng 6

3.3 Quan hệ thứ tự 7

4 Các cấu trúc đại số 8

4.1 Phép toán hai ngôi 8

4.2 Các cấu trúc đại số cơ bản 10

5 Tr-ờng số phức 8

5.1 Định nghĩa số phức 11

5.2 Biểu diễn số phức 15

6 Đa thức 15

6.1 Vành đa thức một biến 15

6.2 Phép chia Euclid 16

6.3 Nghiệm của đa thức 20

6.4 Sơ đồ Horner 20 6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức 20

6.6 Đa thức trên tr-ờng số thực 21

6.7 Đa thức trên tr-ờng số hữu tỉ 22

6.8 Giải ph-ơng trình đại số bằng căn thức 22

7 Phân thức 27

7.1 Tr-ờng các phân thức 27

7.2 Phân tích phâh thức 28

1 Ma trận 31

1.1 Định nghĩa ma trận 31

1.2 Các ma trận đặc biệt 31

1.3 Các phép toán trên ma trận 33

1.4 Biến đổi sơ cấp trên ma trận 36

2 Định thức 37

2.1 Hoán vị 37

2.2 Nghịch thế-Ký số 37

2.3 Định nghĩa định thức 38

2.4 Các tính chất của định thức 40

2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức 42

2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo 46

2.7 Hạng của ma trận 47

2.8 Hệ ph-ơng trình tuyến tính 48

III Không gian vector 1 Không gian vector 55

1.1 Định nghĩa và ví dụ 55

1.2 Không gian vector con 57

1.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp 57

1.4 Cơ sở- Số chiều- Tọa độ 58

2 Tổng, tích, th-ơng các không gian vector 62

2.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp 62

2.2 Tích các không gian vector 64

2.3 Không gian th-ơng 65

3 ánh xạ tuyến tính 66

3.1 ánh xạ tuyến tính 66

3.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính 68

3.3 Đẳng cấu tuyến tính 70

3.4 ánh xạ tuyến tính và ma trận 70

4 Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa 72

4.1 Đổi cơ sở - Công thức đổi tọa độ 72

4.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 74

4.5 Thuật tóan chéo hóa 75

4.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính 76

5 Dạng song tuyến tính - Dạng toàn ph-ơng 76

5.1 Dạng song tuyến tính đối xứng 76

5.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính 77

5.3 Dạng toàn ph-ơng 78

5.4 Dạng chính tắc của dạng toàn ph-ơng 79

5.5 Dạng xác định 81

IV Phép tính vi phân hàm một biến thực 1 Số thực 83

1.1 Số hữu tỉ 83

1.2 Số thực 84

1.3 Các phép tóan số học 85

1.4 Cận trên cận d-ới 85

2 Dãy số thực 86

2.1 Khái niệm dãy số 86

2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 86

2.3 Giới hạn dãy số 87

2.4 Các tính chất và phép toán 88

2.5 Các điều kiện hội tụ 89

2.6 Số e và logarithm tự nhiên 90

3 Hàm một biến thực 91

3.1 Khái niệm hàm số 91

3.2 Các phép toán 92

3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt 92

3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 93

3.5 Các hàm sơ cấp 94

4 Giới hạn hàm số 95

4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 95

4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn 96

4.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn 100

5 Hàm liên tục 101

5.1 Khái niệm hàm liên tục 102

5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn 102

5.3 Các tính chất của hàm liên tục 103

6 Đạo hàm 104

6.1 Khái niệm đạo hàm 104

6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm 106

6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm 106

7 Vi phân 108

7.1 Định nghĩa vi phân 108

7.2 ứng dụng của vi phân 108

7.3 Các qui tắc tính vi phân 109

7.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 109

8 Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 110

8.1 Các định lý giá trị trung bình 110

8.2 Khai triển Taylor 114

9 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 115

9.1 Tính đơn điệu - Cực trị 1i5

9.2 Tính lồi, lõm, điểm uốn 117

V Phép tính tích phân hàm một biến 1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 119

1.1 Nguyên hàm 119

1.2 Bảng tính tích phân các hàm sơ cấp 120

1.3 Các tính chất 121

1.4 Các ph-ơng pháp tính tích phân 121

2 Tích phân một số lớp hàm thông dụng 121

2.1 Tích phân các hàm hữu tỉ 121

2.2 Tích phân các hàm vô tỉ 125

3 Tích phân xác định 128

3.1 Bài toán diện tích hình thang cong 128

3.2 Định nghĩa tích phân xác định 128

3.3 Các lớp hàm khả tích 129

3.4 Các tính chất của tích phân xác định 130

3.5 Công thức Newton-Leibnitz 131

3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định 132

3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định 133

4 Tích phân suy rộng 135

4.1 Tích phân suy rộng loại 1 135

4.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm không âm 137

4.3 Sự hội tụ tuyệt đối 138

4.4 Tích phân suy rộng loại 2 140

VI Lý thuyết chuỗi 1 Các định nghĩa và ví dụ 143

1.1 Chuỗi số 143

1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 145

1.3 Các tính chất của chuỗi 145

2 Chuỗi d-ơng 146

2.1 Chuỗi d-ơng 146

2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi d-ơng 147

3 Chuỗi với dấu bất kỳ 150

3.1 Chuỗi đan dấu 150

3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 150

4 Chuỗi hàm 151

4.1 Khái niệm chuỗi hàm, sự hội tụ, hội tụ đều 151

4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 152

5 Chuỗi lỹ thừa 154

5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ 154

5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 155

6 Khai triÓn Fourier 158

6.1 Chuçi l-îng gi¸c 158

6.2 Khai triÓn Fourier cña hµm ch½n, hµm lÎ 159

6.3 Khai triÓn Fourier cña hµm tuÇn hoµn cã chu kú kh¸c 2π 160

6.4 Th¸c triÓn tuÇn hoµn 160

6.5 TÝch ph©n Fourier 161

I Một số kiến thức cơ bản

1 Tập hợp

1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau

Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể

nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là

tập con của X, ký hiệu A ⊂ X Rõ ràng ta có ∅ ⊂ X với mọi tập hợp X Các

tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2X, và gọi là tập hợp các tập con

Định nghĩa 1 Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A ∪ B, là tập hợp gồm các

phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B.

Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ∩ B, là tập hợp gồm các phần tử vừa

thuộc A vừa thuộc B Nếu A ∩ B = ∅, thì ta nói A và B rời nhau.

Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \ B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc

A nh-ng không thuộc B Nếu A là tập con của X thì hiệu X \ A gọi là phần

X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B), X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B)

Chứng minh Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên

tập hợp Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan Thật vậy ta có

Định nghĩa 2 Cho hai tập hợp X và Y Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui

tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x ∈ X với duy nhất một phần tử y ∈ Y Phần tử

y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f (x), và x đ-ợc gọi là tạo ảnh của y Tập hợp X

đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau

f : X −→ Y

x 7−→ y = f (x)

Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập

nguồn X và f (x) = g(x) với mọi x ∈ X.

gọi là nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ f

Nếu V = {y}, thì ta viết f−1(y) thay cho f−1({y}).

Chứng minh Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa Ta chứng minh,

chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4) Thật vậy, ta có

Vậy f−1(A ∩ B) = f−1(A) ∩ f−1(B) 2

Nhận xét Đẳng thức f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) nói chung không đúng Chẳng

hạn, với ánh xạ f : R → [−1, 1] , f (x) = sinx, và A = [0, π/2], B = [π/4, π]

2.3 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh

Định nghĩa 4 Cho ánh xạ f : X −→ Y ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu với mọi

x1, x2 ∈ X sao cho f (x1) = f (x2), thì suy ra x1 = x2 Nh- vậy, với mỗi phần tử

y ∈ Y tồn tại không quá một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x).

ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f (X) = Y , tức là, với mỗi phần tử y ∈ Y tồn tại

ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x).

ánh xạ f gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Tức là, với mỗi phần

tử y ∈ Y tồn tại đúng một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x).

Ví dụ a) ánh xạ f : R −→ R, x 7−→ x3, là một song ánh Thật vậy, với mỗi

y ∈ R, ph-ơng trình y = x3 có duy nhất nghiệm x = √3

Định nghĩa 5 Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y → Z Hợp của f và g, ký

hiệu g ◦ f , là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g ◦ f (x) = g(f (x)).

Ví dụ Với f : R → R, f (x) = x2 và g : R → R, g(x) = x + 2, ta có

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2+ 2,(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x + 2) = (x + 2)2

2.4.2 ánh xạ ng-ợc

Định nghĩa 6 ánh xạ f : X −→ Y gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ánh xạ

g : Y −→ X sao cho

g ◦ f = IdX và f ◦ g = IdY

ánh xạ g khi đó gọi là ánh xạ ng-ợc cuả ánh xạ f và ký hiệu g = f−1

Nhận xét ánh xạ ng-ợc của f : X −→ Y nếu tồn tại là duy nhất Thật vậy, giả

=⇒ (f−1◦ f )(x) = (f−1◦ f )(x0)

=⇒ IdX(x) = IdX(x0)

=⇒ x = x0.Bây giờ, giả sử y là một phần tử bất kỳ cuả Y Khi đó tồn tại x = f−1(y) saocho f (x) = f (f−1(y)) = y Vậy f là toàn ánh Suy ra f là song ánh

Ng-ợc lại, nếu f : X −→ Y là một song ánh thì với mỗi y ∈ Y có duy nhất x ∈ Xsao cho y = f (x) Điều này cho phép ta xác định một ánh xạ g : Y → X bởi

x = g(y) ⇔ y = f (x) Ta dễ dàng kiểm tra rằng (g ◦ f ) = IdX và (f ◦ g) = IdY

Ví dụ a) ánh xạ f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1], f (x) = sin x, là song ánh ánh xạ

ng-ợc của f đ-ợc ký hiệu là f−1(x) = arcsinx, tức là ta có

y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y

b) Ký hiệu R>0 là tập các số thực d-ơng Khi đó ánh xạ f : R −→ R>0,

f (x) = ex, có ánh xạ ng-ợc là f−1(x) = ln x Vì ta có

y = ln x ⇐⇒ x = ey

Mệnh đề 5 Cho f : X → Y , g : Y → Z, là các song ánh Khi đó f−1 và g ◦ f cũng là song ánh và ta có

3.1 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa 7 Quan hệ (hai ngôi) trên tập X đ-ợc định nghĩa là một tập con

R của tích trực tiếp X ì X Nếu cặp phần tử (x, y) ∈ R thì ta nói x có quan hệ

R với y và ký hiệu là xRy.

Ví dụ a) Trên tập X bất kỳ ta có quan hệ bằng nhau

2) Đối xứng: Nếu xRy thì yRx.

3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.

Với mỗi x ∈ X tập con [x]R:= {y ∈ X | yRx} gọi là lớp t-ơng đ-ơng của x (theo quan hệ t-ơng đ-ơng R) Tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng gọi là tập th-ơng

của X đối với quan hệ t-ơng đ-ơng R, ký hiệu là

X/R := {[x] | x ∈ X}

ánh xạ X −→ X/R cho bởi x 7−→ [x]R là một toàn ánh đ-ợc gọi là toàn cấu

x ≡ y mod n ⇐⇒ x − y chia hết cho n

Dễ kiểm tra rằng đây là một quan hệ t-ơng đ-ơng Lớp t-ơng đ-ơng của m làtập con

2) Phản đối xứ ng: Nếu xRy và yRx thì x = y

3) Bắc cầu: Nếu xRy và yRz thì xRz.

Một tập hợp X mà trên đó có trang bị một quan hệ thứ tự R gọi là tập sắp thứ

tự hay tập đ-ợc sắp Tập đ-ợc sắp th-ờng đ-ợc viết là (X, R).

Ng-ời ta th-ờng sử dụng dấu ≤ để ký hiệu một quan hệ thứ tự trên X Khi đó

x ≤ y đ-ợc đọc là x bé hơn hoặc bằng y Nếu x ≤ y và x 6= y thì ta viết x < y

c) Quan hệ chia hết x | y là một quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên N

Trong ví dụ a) hai phần tử x, y bất kỳ ta luôn luôn so sánh đ-ợc, tức là luôn luôn

có x ≤ y hoặc y ≤ x Một quan hệ thứ tự trên tập X 6= ∅ mà mọi cặp phần tử

của X đều so sánh đ-ợc gọi là quan hệ thứ tự toàn phần Trong ví dụ c) không

phải hai phần tử nào cũng so sánh đ-ợc, chẳng hạn 2 và 3, nếu X có nhiều hơnmột phần tử thì điều này cũng xảy ra trong ví dụ b) Một quan hệ thứ tự không

toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

4 Các cấu trúc đại số

4.1 Phép toán hai ngôi

4.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 10 Cho X và Y là hai tập khác rỗng Một ánh xạ f : X ì X → X

đ-ợc gọi là một phép toán (hai ngôi) trên X Phần tử f (x, y) gọi là cái hợp thành của x và y.

Nếu f : X ì X → X là một phép toán trên X thì ta th-ờng ký hiệu cái hợp thành

f (x, y) bởi xf y Ng-ời ta hay sử dụng các ký tự đặc biệt nh- : ∗ , +, ã, >, ⊥, ., để chỉ phép toán Nếu dùng các ký tự + và ã, thì ta gọi các phép toán t-ơng

ứng là phép cộng và phép nhân Cái hợp thành x + y, x ã y (th-ờng đ-ợc viết không có dấu chấm xy) lúc này sẽ đ-ợc gọi là tổng và tích của x và y.

Ví dụ a) Trên tập số nguyên Z các ánh xạ (x, y) 7→ x + y, (x, y) 7→ xy

(phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng) là các phép toán ánh xạ(x, y) 7→ 2x + 6xy + 5y cũng là phép toán trên Z Tuy nhiên ánh xạ (x, y) 7→ xy

không phải là một phép toán trên Z vì nói chung xy không thuộc Z.

b) Các t-ơng ứng (A, B) 7→ A ∪ B, (A, B) 7→ A ∩ B là phép toán trên tập cáctập con 2X

c) T-ơng ứng (f, g) 7→ g ◦ f là phép toán trên Map(X) = {ánh xạ f : X → X}

4.1.2 Các tính chất của phép toán hai ngôi

Tính giao hoán Phép toán ∗ : X ì X → X gọi là giao hoán nếu

a ∗ b = b ∗ a với mọi a, b ∈ X

Tính kết hợp Phép toán ∗ : X ì X → X gọi là kết hợp nếu

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) với mọi a, b, c ∈ X

Tính phân phối Giả sử ∗, > : X ì X → X là hai phép toán trên X Phép toán

∗ gọi là phân phối bên trái đối với phép toán > nếu với mọi a, b, c ∈ X đều có

a ∗ (b>c) = (a ∗ b)>(a ∗ c)

T-ơng tự, phép toán ∗ gọi là phân phối bên phải đối với phép toán > nếu với

mọi a, b, c ∈ X đều có

(b>c) ∗ a = (b ∗ a)>(c ∗ a)

Nếu ∗ vừa phân phối trái vừa phân phối phải đối với > thì ta nói phép toán ∗ có

tính chất phân phối đối với >.

Ví dụ Trên tập số tự nhiên N, phép cộng và phép nhân thông th-ờng có tính giao

hoán, kết hợp, phép nhân phân phối đối với phép cộng Phép toán (m, n) 7→ mnkhông giao hoán cũng không kết hợp

4.1.3 Các phần tử đặc biệt đối với phép toán hai ngôi

Phần tử đơn vị Cho ∗ : X ì X → X là một phép toán trên X Phần tử e của X

gọi là phần tử đơn vị đối với phép toán ∗ nếu với mọi x ∈ X đều có

e ∗ x = x ∗ e = x

Phần tử khả nghịch Cho ∗ : X ì X → X là một phép toán trên X và e là phần

tử đơn vị của X đối với phép toán ∗ Ta nói phần tử a ∈ X là khả nghịch nếu

tồn tại một phần tử a0∈ X sao cho

a0∗ a = a ∗ a0= e

Khi đó phần tử a0 gọi là phần tử nghịch đảo của a.

Ng-ời ta hay gọi phần tử đơn vị đối với phép toán cộng là phần tử không, kí hiệu 0, và gọi phần tử nghịch đảo của x là phần tử đối của x, kí hiệu −x Nếu

phép toán đ-ợc viết theo lối nhân, thì phần tử đơn vị th-ờng đ-ợc kí hiệu là 1, vàphần tử nghịch đảo của x sẽ đ-ợc kí hiệu là x−1

Ví dụ a) Trên tập 2X, phần tử đơn vị đối phép toán hợp ∪ là e = ∅, mọi tập

A 6= ∅ đều không khả nghịch Phần tử đơn vị đối với phép ∩ là e = X, mọi tập

A 6= X đều không khả nghịch

b) Phần tử đơn vị đối với phép toán hợp trên tập Map(X) = {ánh xạ f : X → X}

là ánh xạ đồng nhất IdX Mọi song ánh f trong Map(X) đều khả nghịch, vànghịch đảo của nó là ánh xạ ng-ợc f−1

Ví dụ 1) (Z, +), (Q, +), (R, +)với phép cộng các số thông th-ờng là các nhóm

giao hoán, gọi là nhóm cộng các số nguyên, số hữu tỉ, số thực

2) (Q \ {0}, ã), (R \ {0}, ã) với phép nhân thông th-ờng là các nhóm giao hoán,gọi là nhóm nhân các số hữu tỉ và số thực khác không

3) Cho tập hợp X 6= ∅ đặt S(X) = {f : X → X | f song ánh} Khi đó

(S(X), ◦), với phép hợp các ánh xạ là một nhóm, gọi là nhóm các hoán vị của X hay nhóm đối xứng của X Trong tr-ờng hợp đặc biệt X = {1, 2, , n} ta viết

Sn = S({1, 2, , n}) Mỗi phần tử của Sn gọi là một hoán vị của {1, 2, , n}.

4.2.2 Vành

Định nghĩa 12 Một vành là một bộ ba (R, +, ã), trong đó R là một tập hợp

không rỗng, còn + và ã là các phép toán trên R sao cho: (R, +) là một nhóm giao hoán, phép ã có tính kết hợp và phân phối đối với phép cộng.

Một vành đ-ợc gọi là vành giao hoán nếu phép toán ã có tính giao hoán Một

vành đ-ợc gọi là vành có đơn vị nếu phép toán ã có đơn vị.

Ví dụ 1) (Z, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số nguyên thông th-ờng là

một vành giao hoán gọi là vành số nguyên.

2) Với số nguyên d-ơng p cho tr-ớc đặt

p Chẳng hạn với m = 4 ta có bảng cộng và nhân trong Z4 nh- sau, trong đó[m]4 đ-ợc viết là ¯m

Ví dụ 1) (Q, +, ã) với phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ thông th-ờng là

một tr-ờng, gọi là tr-ờng số hữu tỉ.

2) (Zp, +, ã), với p nguyên tố, là một tr-ờng

5 Tr-ờng số phức

5.1 Định nghĩa số phức

Đặt C = R ì R = {(x, y) | x, y ∈ R} Trên C xác định hai phép toán cộng vànhân nh- sau

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2)(x , y ) ã (x , y ) = (x x − y y , x y + x y )

Khi đó (C, +, ã) là một tr-ờng gọi là tr-ờng số phức.

Nhận xét Với kí hiệu i = (0, 1) ∈ C, ta có i2 = i ã i = (−1, 0) Nếu đồng nhất

R với tập con {(x, 0) | x ∈ R} của C, tức là xem x ∈ R nh- là phần tử (x, 0) của

Dạng z = x + iy gọi là dạng đại số của số phức z Các số thực x, y lần l-ợt gọi

là phần thực, phần ảo của z và đ-ợc ký hiệu là Rez, Imz Số phức z = x − iy

gọi số phức liên hợp với z Dễ dàng kiểm tra các tính chất sau

Nhận xét Cộng, trừ (tức cộng với số đối), nhân , chia (tức là nhân với số nghịch

đảo) các số phức d-ới dạng đại số nh- số thực với chú ý là i2 = 1

5.2.2 Dạng l-ợng giác của số phức

Có một sự t-ơng ứng một-một giữa tập tất cả các số phức z = (a, b) với tập các

điểm M (a, b) hay vector

−→

OM = (a, b) trong mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy còn

gọi là mặt phẳng phức, với −→e1 = (1, 0), −→e2 = (0, 1) là hai vector cơ sở, trục

hoành gọi là trục thực, trục tung gọi là trục ảo (H.1) Trong cách biểu diễn này

phép cộng các số phức đ-ợc biểu thị bởi phép cộng các vector hình học

6

-e1 6

Biểu thức z = r(cos ϕ + i sin ϕ) gọi là dạng l-ợng giác của số phức z Số thực

r gọi là modul của số phức z, ký hiệu là | z |, còn ϕ gọi là argument của z, ký

hiệu là Argz Tất nhiên có vô số argument sai khác nhau k2π, k ∈ Z Argument

của ϕ nằm trong khoảng (−π, π] gọi là giá trị chính của Argz, kí hiệu là argz.

4 − i sin

3π

4 ).Các tính chất sau đây cho thấy sự thuận tiện của cách biểu diễn số phức d-ớidạng l-ợng giác

Mệnh đề 7 .

a) | z1z2 |=| z1 || z2 |; Arg(z1z2) = Argz1+ Argz2

b) r(cos ϕ + i sin ϕ)
n

= rn(cos nϕ + i sin nϕ) (Công thức Moivre).

Chứng minh a) Giả sử z1 = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2) Khi

đó

z1, z2 = r1r2(cos ϕ1cos ϕ2 − sin ϕ1sin ϕ2+ i(sin ϕ1cos ϕ2+ cos ϕ1sin ϕ2))

= r r (cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )),

Từ đó ta có khẳng định a) Khẳng định b) suy ra từ khẳng định a) 2

Nhận xét Mệnh đề trên cho thấy về mặt hình học phép nhân số phức z với số

phức w là hợp của phép co dãn vector w theo tỉ số | z | và phép quay góc argz(H.2)

6

Chứng minh Giả sử w = %(cos θ + i sin θ) là căn bậc n của z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Khi đó theo Công thức Moivre ph-ơng trình wn = z đ-ợc viết d-ới dạng

%n(cos nθ + i sin nθ) = r(cos ϕ + i sin ϕ)

2 + i sin

π + k2π

2 , k = 0, 1} ={i, −i}

Hai đa thức gọi là bằng nhau nếu các hệ tử cùng bậc của chúng bằng nhau Nếu

an6= 0 thì n gọi là bậc của P (x), ký hiệu là degP (x), khi đó an gọi làhệ tử dẫn

đầu và ký hiệu là lcP (x) Nếu ai = 0 với mọi i thì P (x) gọi là đa thức không,

Vành (k[x], +, ã) gọi là vành đa thức một biến trên tr-ờng k.

6.2 Phép chia Euclid

Định lý 1 Cho hai đa thức F (x), G(x) ∈ k[x] với G(x) 6= 0 Khi đó tồn tại duy

nhất một cặp đa thức Q(x), R(x) ∈ k[x] sao cho

F (x) = G(x)Q(x) + R(x) với R(x) = 0 hoặc degR(x) < degG(x)

Chứng minh Sự tồn tại (Thuật toán chia Euclide)

Nếu F = 0, thì chọn Q = 0 và R = 0 Nếu F 6= 0 và degF < degG, thì chọn

Q = 0, R = F Ta chỉ còn chứng minh cho tr-ờng hợp : F 6= 0 và degF ≥ degG

B-ớc 1: Đặt R1 = F −lcF

lcGx

degF −degGG ( degR1 < degF )

Nếu degR1 < degG, thì đã đã chứng minh xong

degR 1 −degGG ( degR2 < degR1)

Nếu degR2 < degG thì đã chứng minh xong

Nếu degR2 ≥ degG thì đi đến b-ớc 3.

Cứ tiếp tục và qúa trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn b-ớc vì nó gắn liền với

một dãy giảm các số tự nhiên

< degR3 < degR2 < degR1 < degF

Tính duy nhất Giả sử có một cặp đa thức Q0(x), R0(x) khác thoả tính chất đã

nêu trong Định lý Khi đó

G(x)Q(x)+R(x) = G(x)Q0(x)+R0(x) hay G(x)(Q(x)−Q0(x)) = R0(x)−R(x)

Giả sử R0(x) − R(x) 6= 0 Khi đó ta có

deg(R0(x)−R(x)) = degG(x)(Q(x)−Q0(x)) = degG(x)+deg(Q(x)−Q0(x)) ≥ degG(x)

Điều này mâu thuẩn với giả thiết degR(x) < degG(x), degR0(x) < degG(x)

Vậy R0(x) − R(x) = 0 và từ đó Q0(x) − Q(x) = 0 2

Định nghĩa 16 Đa thức Q(x) và R(x) trong Định lý trên lần l-ợt đ-ợc gọi là

th-ơng và phần d- của phép chia đa thức F (x) cho G(x) Nếu R(x) = 0 thì đa

thức F (x) gọi là chia hết cho G(x), khi đó G(x) gọi là một -ớc của F (x) và

ký hiệu là G(x) | F (x).

Đa thức C(x) đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất của hai đa thức F1(x)và F2(x),

ký hiệu C(x) = gcd(F1(x), F2(x)), nếu và chỉ nếu

a) C(x) | F1(x) và C(x) | F2(x),

b) nếu D(x) | F1(x) và D(x) | F2(x)thì D(x) | C(x).

Ví dụ Tìm th-ơng và phần d- của phép chia 2x4 − 3x3 + 4x2 − 5x + 6 cho

x2− 3x + 1 Thuật toán chia đ-ợc thực hiện theo sơ đồ sau

2x4− 3x3+ 4x2− 5x + 6 |x2− 3x + 12x4− 6x3+ 2x2 2x2+ 3x + 11

Nhận xét a) Nếu C(x) | D(x) và D(x) | C(x) thì C(x) = aD(x), với a ∈ k.

Nh- vậy các -ớc chung lớn nhất của hai đa thức sai khác nhau một đa thức bậc0

b) Nếu F = Q ã G + R thì gcd(F, G) = gcd(G, R) Nhận xét này cho ta cách tìm-ớc chung lớn nhất của hai đa thức bằng cách thực hiện liên tiếp các phép chia

Định lý 2 Cho hai đa thức P0(x), P1(x) bất kỳ trong k[x] Khi đó

a) Ước chung lớn nhất của P0(x)và P1(x)tồn tại.

b) Tồn tại U (x), V (x) ∈ k[x] sao cho

Nếu P3 6= 0 (khi đó degP3 < degP2) thì đi đến b-ớc 3

Cứ tiếp tục và qúa trình sẽ dừng lại sau một số hữu hạn b-ớc vì nó gắn liền vớimột dãy giảm các số tự nhiên

< degP3 < degP2 < degP1

Giả sử quá trình dừng ở b-ớc thứ n, tức là Pn−1 = QnPn Khi đó

VÝ dô T×m -íc chung lín nhÊt cña P0(x) = x5+ 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 vµ

P1(x) = x3+ x2− x − 1 ThuËt to¸n t×m -íc chung lín nhÊt ®-îc thùc hiÖn trongb¶ng d-íi ®©y

5

4x +

54

4x +

54

6.3 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 17 Cho đa thức f (x) = a0+ a1x + a2x2 + ã ã ã + anxn ∈ k[x] và

c ∈ k Ta gọi phần tử

f (c) := a0+ a1c + a2c2+ ã ã ã + ancn∈ k

là giá trị của đa thức f (x) tại x = c.

Nếu f (c) = 0, thì c gọi là nghiệm của đa thức f (x) hay là nghiệm của ph-ơng

trình đại số f (x) = 0.

Định lý 3 (Bézout) Phần tử c ∈ k là nghiệm của đa thức f (x) ∈ k[x] khi và chỉ

khi tồn tại đa thức q(x) ∈ k[x], sao cho f (x) = (x − c)q(x).

Chứng minh Chia f (x) cho x − c ta đ-ợc f (x) = (x − c)q(x) + r, với r ∈ k Suy

ra f (c) = r Từ đó f (c) = 0 khi và chỉ khi r = 0 hay f (x) = (x − c)q(x) 2

Định nghĩa 18 Phần tử c ∈ k gọi là nghiệm bội m của đa thức f (x) ∈ k[x]

nếu f (x) = (x − c)mq(x) và q(c) 6= 0 Nếu m = 1 ta gọi c là nghiệm đơn Nếu

Từ đó để tìm f (c) và th-ơng của phép chia f (x) cho x − c ta th-ờng sử dụng sơ

đồ Horner sau đây, trong đó mỗi phần tử ở dòng thứ hai bằng phần tử ở trên nócộng với c lần phần tử đứng tr-ớc nó

bn−1= an bn−2= an−1+ cbn−1 bk−1= ak+ cbk b0= a1+ cb1 r = a0+ cb0

6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức

Định lý sau đây là nền tảng trong lý thuyết các đa thức trên tr-ờng số gọi là Định

lý cơ bản của đại số Có rất nhiều cách chứng minh khác nhau của Định lý cơbản, nh-ng ta sẽ không trình bày chúng ở đây

Định lý 4 (Định lý cơ bản của đại số) Mọi đa thức f (x) bậc n ≥ 1 trên tr-ờng

số phức đều có nghiệm phức.

Mệnh đề 10 Mọi đa thức f (x) bậc n ≥ 1 trong C[x] đều có đúng n nghiệm phức

kể cả bội (tức là mỗi nghiệm đ-ợc tính một số lần bằng bội của nó) Nói cách khác, đa thức f (x) đ-ợc phân tích thành các thừa số bậc 1 nh- sau

f (x) = an(x − c1)m1(x − c2)m2ã ã ã (x − cs)ms,

trong đó an = lcf (x), m1+ m2+ ã ã ã + cs = n.

Chứng minh Theo Định lý cơ bản, f (x) có nghiệm c1 ∈ C Định lý Bézoutsuy ra f (x) = (x − c1)f1(x) Lập luận t-ơng tự nh- trên cho đa thức f1(x) nếudegf1(x) = n − 1 ≥ 1 Cứ tiếp tục cho đến bậc 0, ta đ-ợc f (x) = (x − c1)(x −

c2) ã ã ã (x − cn)A, với A ∈ C Nhóm các thừa số giống nhau và viết chúng d-ới

6.6 Đa thức trên tr-ờng số thực

Mệnh đề 11 Cho đa thức f (x) ∈ R[x] Khi đó

1) Nếu số phức c là nghiệm của f (x), thì số phức liên hợp c cũng là nghiệm của

3) Nếu degf (x) = n là lẻ, thì f (x) có nghiệm thực.

Chứng minh 1) Giả sử f (x) = a0+ a1x + a2x2+ ã ã ã + anxn∈R[x] Khi đó vớimọi c ∈ C ta có

f (c) = a0+ a1c + a2c2+ ã ã ã + ancn= a0+ a1¯c + a2c¯2+ ã ã ã + an¯cn = f (¯c)

Từ đó f (c) = 0 khi và chỉ khi f (¯c) = 0

2) Theo định lý phân tích đa thức trên tr-ờng số phức

f (x) = an(x − c1)m1(x − c2)m2ã ã ã (x − cs)ms

Nếu ck = a + bi ∈ C, thì nhân tử (x − ck) cùng với (x − ck) (để ý đến kết quả 1)

sẽ lập thành tam thức

(x − ck)(x − ck) = x2− 2ax + a2+ b2 = (x − a)2+ b2

Vì b 6= 0 nên tam thức này không có nghiệm thực

3) Theo 1) và 2) nếu degf (x) là lẻ thì trong phân tích f (x) phải chứa thừa số(x − c) với c ∈ R, tức là f (x) có nghiệm thực 2

6.7 Đa thức trên tr-ờng số hữu tỷ

Ta đặt vấn đề đi tìm nghiệm hữu tỷ của một đa thức trên tr-ờng số hữu tỷ Bằngphép qui đồng mẫu số, việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỷ đ-ợc

đ-a về việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số nguyên

gọi là giải đuợc bằng căn thức nếu các nghiệm của nó có thể biểu diễn qua các

hệ số của ph-ơng trình bằng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khaicăn

∆2a .

VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh −2x3 + 18x2− 42x + 10.

Chia cho −2: x3− 9x2+ 21x − 5 = 0

§Æt x = X + 3, ta cã ph-¬ng tr×nh X3− 6X + 4 = 0 (1)

§Æt X = u + v, ta cã ph-¬ng tr×nh u3+ v3+ (3uv − 6)(u + v) + 4 = 0.T×m u vµ v tho¶ hÖ ph-¬ng tr×nh

2 i

(1 + i) +



−1

2−

√3

2 i

(1 − i) = −1 −

√3

2 i

(1 + i) +



−1

2+

√3

2 i

(1 − i) = −1 +√3

Từ đó ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm : x1 = 5, x2 = 2 +

√

3, x3 = 2 −

√3

α2(p + α2)2− 4rα2− q2 = 0

Giải ra α, β, γ, thay vào phân tích ở trên , ta có hai ph-ơng trình bậc 2

Vậy phép giải một ph-ơng trình bậc 4 đ-ợc đ-a về giải một ph-ơng trình bậc 3

vµ hai ph-¬ng tr×nh bËc 2 Suy ra r»ng ph-¬ng tr×nh bËc 4 gi¶i ®-¬c b»ng c¨n thøc.

11 − 2

√2

VËy viÖc gi¶i (1) qui vÒ gi¶i hai ph-¬ng tr×nh bËc 2:

X2+

√2X + 11 − 2

√2

2−

√2X + 11 + 2

√2

6.8.5 Ph-ơng trình bậc n ≥ 5

Niels Henrik ABEL(1802-1829), một nhà Toán học ng-ời Na Uy, đã chỉ ra trong

"Nghiên cứu về ph-ơng trình đại số (1824)" rằng một ph-ơng trình bậc ≥ 5 tổng

quát không giải đ-ợc bằng căn thức Sau đó, Evariste GALOIS (1811-1832), nhàToán học ng-ời Pháp, đã sử dụng lý thuyết nhóm để tìm điều kiện cần và đủ dểcho một ph-ơng trình đại số giải đ-ợc bằng căn thức

P (x)Q(x) =

R(x)S(x), nếu và

chỉ nếu P (x)S(x) = Q(x)R(x).

Mọi đa thức P (x) ∈ k[x] cũng đ-ợc xem nh- là một phân thức bằng cách đồngnhất P (x) với phân thức P (x)

1 Ta ký hiệu k(x) là tập hợp các phân thức trêntr-ờng k

k(x) := {P (x)

Q(x) | P (x), Q(x) ∈ k[x], Q(x) 6= 0}.

Trên k(x) ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân nh- sau:

P (x)Q(x)+

R(x)S(x) =

P (x)S(x) + R(x)Q(x)Q(x)S(x)

P (x)Q(x)ã

R(x)S(x) =

P (x)R(x)Q(x)S(x)

Định nghĩa trên là đúng đắn vì nếu

P (x)Q(x) =

P0(x)Q(x) và

R(x)S(x) =

R0(x)

S0(x)

P (x)

Q(x)+

R(x)S(x) =

R(x)S(x) =

trong đó gcd(Qi(x), Qj(x)) = 1 với mọi i 6= j.

Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức A(x), Pij ∈ k[x], i = 1, , s; j = 1, , ki, sao cho deg(Pij) < deg(Qi) và

P (x)Q(x) = A(x) +

Chứng minh Ta cần bổ đề sau

Bổ đề 1 Cho D1(x), D2(x) ∈ k[x] với gcd(D1(x), D2(x)) = 1 và F (x) là một

đa thức bất kỳ với deg F (x) < deg D1(x) + deg D2(x) Khi đó tồn tại hai đa thức

V1(x), V2(x) sao cho Chia

Chia đa thức F (x)U1(x) cho D2(x):

deg V1+ deg D2 = deg V1D2 = deg(F − V2D1) < deg D1+ deg D2

Từ đó, deg V1(x) < deg D1(x) Bổ đề đ-ợc chứng minh

Chứng minh Định lý: Tồn tại phân tích Chia P cho Q

trong đó deg Pij < deg Qi, ∀j = 1, , ki Suy ra phân tích Pi

Qji

, degPij0 < degQi

Ta có A = A0 do tính duy nhất của phép chia Euclide Trừ hai biểu thức ta có

s

X

i=1

Xkij=1

Điều này mâu thuẩn với deg(P1k1 − P0

1k1) ≤ max{(P1k1, P0

1k1} < deg Q1 Vậyphải có P1k1 − P1k0 1 = 0 Lập luận t-ơng tự, ta có Pij − Pij0, với mọi i, j 2

Ví dụ Phân tích đa thức P = 1

x4 − 1 thành tổng các phân thức đơn giản trêntr-ờng số thực

12(x + 1)−

1

x2+ 1.

Ma trËn vu«ng cÊp n lµ ma trËn cÊp n × n Ta sÏ ký hiÖu tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma

trËn vu«ng cÊp n trªn k lµ MatK(n) Ma trËn vu«ng A = (aij)n×n cã c¸c phÇn tö

a11, a22, , ann ë trªn mét ®-êng chÐo gäi lµ ®-êng chÐo chÝnh cña A, ®-êng chÐo cßn l¹i gäi lµ ®-êng chÐo phô.

1.2.3 Ma trận chéo

Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử ở ngoài đ-ờng

chéo chính đều bằng 0 Ma trận chéo cấp n đ-ợc ký hiệu là

Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo cấp n mà mọi phần tử ở trên đ-ờng chéo

chính đều bằng 1 Ma trận đơn vị cấp n đ-ợc ký hiệu là

Ma trận đối xứng cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử đối xứng

qua đ-ờng chéo chính đều bằng nhau

1.2.6 Ma trận tam giác

Ma trận tam giác trên (t.- d-ới) cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các

phần tử ở d-ới (t.- trên) đ-ờng chéo chính đều bằng 0 Nh- vậy, ma trận tamgiác trên có dạng

1.2.7 Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang cấp m ì n là ma trận có tính chất sau: Nếu mọi phần tử ở

trên dòng i và đứng bên trái phần tử aij đều bằng 0, thì mọi phần tử ở cột j và

Nhận xét Một ma trận vuông dạng bậc thang là ma trận tam giác trên.

1.3 Các phép toán trên ma trận

1.3.1 Cộng ma trận

Định nghĩa 2 Cho hai ma trận A = (aij)mìn và B = (bij)mìn ∈ Matk(m, n).

Tổng của A và B, ký hiệu A + B, đ-ợc xác định bởi

A + B = (aij + bij)mìn

Từ định nghĩa phép cộng ma trận ta dễ dàng kiểm chứng các tính chất sau

Mệnh đề 1 Cho A, B, C ∈ Matk(m, n) Khi đó

1) A + B = B + A.

2) (A + B) + C = A + (B + C).

3) A + O = O + A = O, trong đó O là ma trận không.

1.3.2 Nhân ma trận với một số

Định nghĩa 3 Cho ma trận A = (aij)mìn ∈ Matk(m, n)và α ∈ k Tích của α

với A, ký hiệu αA, đ-ợc xác định bởi

αA = (αaij)mìn

Từ định nghĩa phép nhân một số với ma trận suy ra