Điểm và đồ thị LTDH 2010

Tìm điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường C không đi qua, với mọi m.. Biện luận vị trí tương đối của một điểm cho trước với họ đường C m 5... Tìm trên đồ thị C các điểm có tọa độ ng

LTDH 2010

Chủ đề: điểm và đồ thị - các bài toán liên quan

Cho họ đường ( )C m :y= f x m( , ), với m là tham số thực và điểm M x y cho trước.( 0; 0)

+ M x y( 0; 0) ( )Î C m Û y0= f x m( 0, ) (1)

+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)

+ Số nghiệm m của (2) bằng số đường của họ ( )C đi qua M m

Cụ thể:

i) phương trình (2) vô nghiệm (theo m) thì không có đường nào của họ ( )C đi qua M m

ii) phương trình (2) có k nghiệm m thì có k đường của họ ( )C đi qua M m

iii) phương trình (2) nghiệm đúng với mọi m thì tất cả các đường của họ ( )C đi qua M Khi đó điểm m

M được gọi là điểm cố định của họ ( )C m

+ Các loại toán:

1 Tìm điểm cố định của họ đường ( )C m

Sơ đồ giải

b1 Gọi điểm M x y là điểm cố định của họ đường ( 0; 0) ( )C , ta có: m y0 = f x m( 0, ) (1)

+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)

b2 Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình

(2) nghiệm đúng với mọi m 0

0

A B

ì = ïï

Û íï =

ïî (3) b3 Kết luận: tọa độ điểm cố định (nếu có) là nghiệm của hệ (3)

2 chứng minh họ đường ( )C có ba điểm cố định thẳng hàng. m

Sơ đồ giải

b1 Gọi điểm M x y là điểm cố định của họ đường ( 0; 0) ( )C , ta có: m y0 = f x m( 0, ) (1)

+ Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ẩn số m Chẳng hạn: mA+B = 0 (2)

b2 Sử dụng tính chất vô số nghiệm của phương trình

(2) nghiệm đúng với mọi m 0

0

A B

ì = ïï

Û íï =

ïî (3) b3 Một trong hai khả năng xảy ra:

Khả năng 1:

+ Tìm được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3) Khi đó họ đường ( )C đi qua 3 điểm cố định là m

1, 2, 3

M M M

+ chứng minh ba điểm M M M thẳng hàng.1, 2, 3

1, 2, 3

M M M thẳng hàng Û M Muuuuur1 2=k M M.uuuuur1 3

Khả năng 2:

Không chỉ ra được 3 nghiệm phân biệt của hệ (3) hoặc hệ (3) có nghiệm “ không đẹp ”

+ chứng minh hệ (3) có 3 nghiệm phân biệt và kết luận ( )C đi qua 3 điểm cố định m M M M 1, 2, 3

+ Từ hệ (3) suy ra phương trình hệ quả dạng ax + by + c = 0 (4) Từ đó kết luận 3 điểm cố định

, ,

M M M nằm trên đường thẳng (4) và chúng thẳng hàng

3 Tìm điểm trên mặt phẳng tọa độ mà họ đường ( )C không đi qua, với mọi m m

Sơ đồ giải

b1 Gọi điểm M x y là điểm mà họ đường ( 0; 0) ( )C không thể đi qua với mọi m, ta có: m

0 0,

y = f x m vô nghiệm (theo m)

b2 Dùng tính chất vô nghiệm suy ra (x y thỏa0; 0)

b3 Kết luận

4 Tìm điểm mà họ đường ( )C có đúng k đường đi qua m

Sơ đồ giải

b1 Gọi điểm M x y là điểm mà họ đường ( 0; 0) ( )C có đúng k đường đi qua, ta có: m

0 0,

y = f x m có đúng k nghiệm (theo m) b2 Dùng tính chất có k nghiệm suy ra (x y0; 0)

b3 Kết luận

5 Biện luận vị trí tương đối của một điểm cho trước với họ đường ( )C m

5 điểm trên đồ thị ( )C y: = f x( ) có tọa độ nguyên

B1 Tìm trên đồ thị ( ) 1 2( )

6

C y= x x+ những điểm mà tọa độ của chúng là các số nguyên

+ TXĐ: R

+ Ta có: ( ) ( ) 1 2( )

6

M x y Î C Û y= x x+

+ Giả sử x là số nguyên (xÎ ¢ và thử một số giá trị của x, ta có:)

x= Þ y= ; x= Þ1 y= ; 1 2 14

3

x= Þ y= ; x= Þ3 y=12 ; x= Þ4 y=24 ; 125

5

3

x= Þ y=

+ Qua đó ta thấy:

i) x=0,x= , ( có dạng 3 x=3 , k kÎ ¢ ) Þ yÎ ¢

ii) x=1,x= , ( có dạng 4 x=3k+1 , kÎ ¢ ) Þ yÎ ¢

iii) x=2,x= , ( có dạng 5 x=3k+2 , kÎ ¢ ) Þ yÏ ¢

+ chứng minh

i) Nếu x=3 , k kÎ ¢ thì ta có: 3 2( )

2

y= k k+

● Nếu k là số nguyên chẵn ( k=2 ,m mÎ ¢ ) thì y=6m2(6m+ Î ¢5)

● Nếu k là số nguyên lẻ ( k=2m+1,mÎ ¢ ) thì ( ) (2 )

ii) Nếu x=3k+1 , kÎ ¢ thì ta có: 1( ) (2 )

2

y= k+ k+

● Nếu k là số nguyên chẵn ( k=2 ,m mÎ ¢ ) thì ( ) (2 )

● Nếu k là số nguyên lẻ ( k=2m+1,mÎ ¢ ) thì ( ) (2 )

iii) Nếu x=3k+2 , kÎ ¢ thì ta có 1( ) (2 )

6

y= k+ k+

● Nếu k là số nguyên chẵn ( k=2 ,m mÎ ¢ ) thì 2( ) (2 )

3

vì: 3m+1và 6m+7không chia hết cho 3 ( (3m+ M3 và 1) (6m+ M3 ) 7)

nên 2( ) (2 )

3

y= m+ m+ Ï ¢

● Nếu k là số nguyên lẻ ( k=2m+1,mÎ ¢ ) thì 1( ) (2 )

3

vì: 6m+5và 3m+5không chia hết cho 3 ( (6m+ M3 và 5) (3m+ M3 ) nên5)

1

3

+ Vậy: Các điểm trên ( )C có tọa độ nguyên là những điểm có dạng

3

x= k Þ 3 2( )

2

y= k k+ , kÎ ¢ và x=3k+ 1 Þ 1( ) (2 )

2

y= k+ k+ , kÎ ¢

B2 Tìm các điểm thuộc đồ thị ( ): 2 5 15

3

C y

x

=

+ sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên

+ TXĐ: D = ¡ \{ }- 3 và 2 9

3

y x

x

= + +

+ + Ta có: ( ; ) ( ) 2 9

3

M x y C y x

x

+ + Giả sử x là số nguyên (xÎ ¢ thì )

y là số nguyên Û x + 3 là ước số của 9 Û x + 3 Î ± ±{ 1, 3, 9± }

+ Vậy: có 6 điểm mà tọa độ là các số ngyên là

(x y; )= -{ ( 4; 11 ,- ) (- 2;9 ,) (- 6; 7 , 0;5 ,- ) ( ) (- 12; 11 , 6;9- ) ( ) }

B3 Tìm trên đồ thị ( ) 2

:

1

x

C y

x

-= + những điểm sao cho tọa độ của chúng là các số nguyên + TXĐ: D = ¡

+ Ta có: ( ) ( ) 2

;

1

x

M x y C y

x

+ (1) + Từ (1) suy ra phương trình yx2- 4x+ + = (2) có nghiệm nguyên.y 3 0

● Nếu y = 0 thì (2) trở thành: - 4x+ =3 0 3

4

x

Û = ( Ï ¢ )

● Nếu y¹ 0 thì (2) là phương trình bậc hai.

(2) có nghiệm Û D = -/ 4 y y( + ³3) 0 Û - y2- 3y+ ³4 0 Û - £ £ 4 y 1

Khi đó:

0

4, 3, 2, 1,1 4;1

y

y

ìï ¹

-íï

ïï Î

-ïî

+Vậy có hai điểm cần tìm là (x y; )={ (0; 3 , 2;1- ) ( ) }

B5 Tìm điểm thuộc ( )C y: = +x y2+2(x+1) y+4x có tọa độ là các số nguyên

+ Ta có: M x y( ; ) ( )Î C Û y= +x y2+2(x+1) y+4x (1)

y= +x y + x+ y+ x Û y x- = y + x+ y+ x

2

0

y x

ì - ³

ïï

Û íï

-ïî

2 4

y x

y x

ì ³ ïï ïï

-ï =

ïî

x y

x

ì ³ ïï ïï

+ ïïî

9

y x

y x

x

ì ³

ïï

ï

Û íï

î

Khi đó: x, y là các số nguyên Û 2x + 1 là ước số của 9 Û 2x+ Î ± ± ±1 { 1, 3, 9}

Từ đó ta có hai cần tìm là (x y; )= -{ ( 2; 2 , 0;0- ) ( ) }

BÀI TẬP LÀM THÊM

b1 Các đề thi TS Tìm trên đồ thị ( )C các điểm có tọa độ nguyên.

1

2

y

x

+

-=

+ 2

4 1

1

y x

x

= + +

- 3

1

x x y

x

+

-=

- 4

2 3 6 2

y

x

=

+ 5

2

x y x

-= + B2 Tìm điểm thuộc đồ thị ( )C có tọa độ là các số nguyên

x

y

x

+

=

10 4

x y x

-=

1

x y x

-=

12 3

1

x y

x x

-=

- + B3 Tìm điểm thuộc đồ thị ( )C có tọa độ là các số nguyên

y= x- y - x+ y- x

6

y= x + x - x+ d 1 ( 3 2 )

12

y= x + x + x

6 Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn tính chất K cho trước

Bài toán Tìm điểm thuộc đồ thị ( )C y: = f x( ) thỏa mãn tính chất K cho trước

Sơ đồ giải

b1 Lấy điểm M x y tùy ý thộc ( 1; 1) ( )C , ta có: y1= f x( )1

b2 Vận dụng từ tính chất K cho trước

b3 Kết luận

BÀI TẬP

B1 Cho hàm số ( ) 2 2 2

1

y f x

x

- có đồ thị là ( )C Tìm tham số thực k sao cho trên ( )C có

hai điểm P, Q phân biệt thỏa mãn điều kiện P P

ïï

íï + =

ïî Từ đó chứng minh P, Q cùng thuộc một nhánh của ( )C

đáp số: k< -1 2 2,k> +1 2 2

B2 Cho hàm số ( ) 2 1

1

x x

y f x

x

+

- có đồ thị là ( )C Tìm tham số thực m sao cho trên ( )C có hai

điểm P, Q phân biệt thỏa mãn điều kiện P P

ïï

íï + =

đáp số: m< -4 2 2,m> +4 2 2

B3 Tìm các điểm trên đồ thị hàm số

2

y x

+

-= + sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên.

đáp số: M1(- 3; 5 ,- ) M2(- -1; 1)

B4 Tìm trên đồ thị hàm số 3 2

1

x y x

+

=

- tất cả những điểm có các tọa độ là số nguyên

đáp số: M1(6;4 ,) M2(- 4; 2 ,) M3(2;8 ,) M4(0; 2- )

7 Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số và đối xứng với nhau qua một điểm cho trước

Bài toán Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( )C y: = f x( ) sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm

( ; )

I a b cho trước.

Sơ đồ giải

b1 Lấy hai điểm A x y , ( A; A) B x y thuộc đồ thị ( B; B) ( )C y: = f x( ), ta có: y A= f x( )A , y B = f x( )B

b2 Dùng tính chất đối xứng qua một điểm (đối xứng qua tâm) tìm tọa độ ,A B

,

A B đối xứng với nhau qua I a b ( ; ) Û 2

2

ïï

íï + =

b3 Kết luận

BÀI TẬP

B1 Cho ( )C m :y= -x3 3mx2+3(m2- 1) x+ -1 m2 , với m là tham số thực.

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị ( )C có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ m

đáp số: m<- 1,0< <m 1

B2 Xác định tham số thực m để đồ thị hàm số

2 1

y

x

=

+ có hai điểm đối xứng với nhau

qua gốc tọa độ

m æç ö æ÷ ç ö÷

Î - ¥ -çç ÷÷Èçç +¥ ÷÷ ±

8 Tìm hai điểm thuộc đồ thị hàm số và đối xứng với nhau qua một đường thẳng cho trước

Bài toán Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( )C y: = f x( ) sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y=ax b+ (a¹ 0) cho trước.

Sơ đồ giải

b1 Gọi D là đường thẳng vuông góc với d, ta có : y 1x m

a

D =- + và giả sử D cắt đồ thị ( )C tại hai

điểm phân biệt ,A B Khi đó hoành độ , A B là nghiệm của phương trình: f x( ) 1x m

a

=- + (1)

b2 Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x và sử dụng hệ thức “Vi- A, B

et” để tính x A+x B =? , .x x A B = (theo m )?

b3 Tính tọa độ trung điểm I của AB và lý luận I thuộc d ta sẽ tìm được m Từ đó suy ra tọa độ , A B

BÀI TẬP

B1 Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ): 2

1

x

C y

x

= + sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng

d y= +x

đáp số: 2;1 2 , 2;1 2

Aæç ö æ÷Bç ö÷

B2 Chứng minh rằng đồ thị ( ): 1

1

x

C y

x

-= + nhận đường thẳng :d y=- làm trục đối xứng x B3 Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( ): 2

1

x

C y

x

=

- sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng

d y= -x

đáp số: 2; 1 2 , 2; 1 2

Aæç ö æ÷Bç ö÷

B4 Tìm hai điểm ,A B thuộc đồ thị ( )

2 3 4 :

C y

x

=

- sao cho chúng đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y= x

đáp số: 1,2 15 57

6

9 Quỹ tích điểm (dạng xác định)

10 đồ thị đối xứng qua một điểm cho trước

B1 Cho họ đường ( ) ( 2)( )

1 :

1

m

x m mx

x

=

+ , với m là tham số thực Chứng minh rằng ( )C và m

(C-m) đối xứng với nhau qua gốc tọa độ O.

HD

+ Từ ( )C suy ra m (C-m)

+ Ta có: ( ; ) ( ) ( 2) ( 1)

1

m

x m mx

x

+ Gọi M x y là điểm đối xứng với M qua O, ta có: ' '; '( ) ' 0 '

+ Thay (2) vào (1) và chứng minh M'Î (C-m)

+ Kết luận

B2 Cho ( ): 2 2 2 2

1

m

x

=

+ , với m là tham số thực Xác định m sao cho ( )C có hai điểm đối m

xứng với nhau qua gốc tọa độ O

m æç ö æ÷ ç ö÷

Î - ¥ -çç ÷÷Èçç +¥ ÷÷ ±

B3 Tìm các điểm thuộc đồ thị ( ): 2 1

1

x x

C y

x

=

- sao cho chúng đối xứng với nhau qua điểm I( )2;1 B4 Cho ( )C m :y=x3+mx2+9x+ , với m là tham số thực Xác định m sao cho 4 ( )C có hai điểm m

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

đáp số: m<0

B9 Cho ( )C m :y=x3+mx2+7x+ , với m là tham số thực Xác định m sao cho 3 ( )C có hai điểm m

đối xứng với nhau qua gốc tọa độ

B10 Cho ( )C m :y= -x3 3mx2+3(m2- 1) x+ -1 m2, với m là tham số thực Xác định m sao cho

( )C có hai điểm đối xứng với nhau qua gốc tọa độ m

B5 Tìm trên đồ thị ( ): 3 4

x

C y

x

+

=

- các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm I( )1;1 đáp số: A(1- 3;1- 3 ,) (B 1+ 3;1+ 3)

B6 Tìm trên đồ thị ( ): 2 2

1

x x

C y

x

+ +

=

- các cặp điểm đối xứng với nhau qua điểm

5 0;

2

Iæ öç ÷

÷

çè ø

đáp số: A(- 3; 2 ,- ) (B 3;7)

B7 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ) ( )

2 1 :

2

x

C y

x

-=

- qua điểm I( )1;1 . đáp số: ( )C' :y x2 1

x

+

= B8 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( )C y: =2x3+3x2+5x+ qua điểm 1 I( )1;2 . đáp số: ( )C' :y=2x3- 15x2+41x- 35

B9 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ): 2 1

1

x x

C y

x

=

- qua điểm I( )2;1 .

11 đồ thị đối xứng qua một đường thẳng cho trước

Bài toán 1 Chứng minh rằng ( )C y: = f x( ) nhận đường thẳng x= làm trục đối xứng a

phương pháp

+ Đặt x a X

y Y

ì = +

ïï

íï =

ïî và thay vào phương trình y= f x( ) ,ta được Y=F X( )

+chứng minh Y=F X( ) là hàm số chẵn

Bài toán 2 Tìm trục đối xứng dạng x= của a ( )C y: = f x( )

HD

+ Đặt x a X

y Y

ì = +

ïï

íï =

ïî và thay vào phương trình y= f x( ) ,ta được Y=F X( )

+ lý luận x= là trục đối xứng của a ( )C Û Y =F X( ) là hàm số chẵn

Û các hệ số bậc lẻ của F(X) bằng 0 Từ đó suy ra giá trị của a

B1 Cho họ đường ( )C m :y mx 1

x m

+

= + , với m là tham số thực và m¹ ±1 Chứng minh rằng ( )C và m

(C-m)đối xứng với nhau qua đường thẳng :d y= x

B2 Chứng minh rằng đường thẳng x = 1 là trục đối xứng của đồ thị ( )C y: =x4- 4x3- 2x2+12x- 1

Từ đó giải phương trình x4- 4x3- 2x2+12x- =1 0

B3 Chứng minh rằng trục hoành là trục đối xứng của đồ thị

a ( ) 2

C y= x - x- b ( )C : y =x2- 2x- 3

B4 Chứng minh rằng đồ thị ( ): 2 1

1

x

C y

x

-=

- có hai trục đối xứng lần lượt là d y1: = + vàx 1

d y=- +x

B5 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ): 2 2

2

x x

C y

x

+

-=

- qua đường thẳng :d y=2 HD

2

x x

M x y C y

x

+

- (1) + Gọi M x y là điểm đối xứng với M qua đường thẳng :' '; '( ) d y= , ta có:2

'

'

2

2

x x

x x

ì =

+ Thay (2) vào (1) ta được phương trình của ( )' : ( ) 2 3 6

2

C y g x

x

B6 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ): 2 2 3 7

1

C y

x

=

- qua đường thẳng :d x=2 HD

+ Ta có ( ; ) ( ) 2 2 3 7

1

M x y C y

x

- (1) + Gọi M x y là điểm đối xứng với M qua đường thẳng :' '; '( ) d x= , ta có:2

4 ' 2

2

' '

x x

y y

y y

ì +

ï =

ïî

(2)

+ Thay (2) vào (1) ta được phương trình của ( )' : ( ) 2 2 13 17

3

C y g x

x

B7 Chứng minh rằng ( ): 3 5

x

C y

x

=

- có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận của ( )C

B8 Chứng minh rằng ( ): 2 2 3 1

2

C y

x

=

+ có hai trục đối xứng là hai đường phân giác của các góc

tạo bởi hai đường tiệm cận của ( )C

B9 Chứng minh rằng ( ): 2 1

1

x x

C y

x

- +

=

- có hai trục đối xứng lần lượt là d y1: = -(1 2)x+ 2 và

-B10 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ): 2 2 5 3

1

C y

x

-=

- qua đường thẳng

d y=-

B11 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( ): 4 2 7 1

C y

x

-=

- qua đường thẳng

d x=

B12 Tìm đồ thị ( )C' :y=g x( ) đối xứng với đồ thị ( )C y: =3x3- 5x2+10x- 2 qua đường thẳng

d x

=-Bài tập làm thêm

1 Chứng minh rằng đồ thị ( ): 1

1

x

C y

x

-= + nhận đường thẳng :d y= + làm trục đối xứng x 2

2 Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ): 1

1

x

C y

x

-= + sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa độ

là nhỏ nhất

đáp số: M(- +1 2;1- 2)

3 Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ): 1

2

x

C y

x

+

=

- sao cho tổng các khoảng cách từ M đến các trục tọa

độ là nhỏ nhất

đáp số: 0; 1

2

ç - ÷

4 Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ): 2 1

3

x

C y

x

+

=

- sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

đáp số: M1(3+ 7; 2+ 7 ,) M2(3- 7;2- 7)

5 Tìm các điểm M thuộc đồ thị ( ): 2 1

1

x

C y

x

+

= + sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

đáp số: M1( )0;1 ,M2(- 2;3)

6 Chứng minh rằng với mọi m¹ 0, họ đường ( )C m :y (m 1)x m

x m

=

+ luôn luôn tiếp xúc với một

đường thẳng cố định

7 M là một điểm bất kỳ trên đồ thị ( ): 2 1

1

x

C y

x

-=

- có hoành độ x M = , tiếp tuyến của m ( )C tại M cắt

các đường tiệm cận tại A và B Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB và tam giác IAB có diện tích không đổi khi m thay đổi Biết I là tâm đối xứng của ( )C

8 Tìm hai điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của ( ): 1

1

x

C y

x

+

=

- sao cho đoạn AB ngắn nhất Viết phương trình của đường thẳng AB

đáp số: A(1- 2;1- 2 ,) (B 1+ 2;1+ 2) và đường thẳng AB: y = x

9 Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh của ( ): 2 4

1

x

C y

x

-=

- sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất.

đáp số: M(1- 2; 2+ 2 ,) (N 1+ 2; 2- 2)

10 Cho đồ thị ( ): 2 4

1

x

C y

x

+

= + a) Gọi M x y là một điểm bất kỳ trên ( 0; 0) ( )C Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai

đường tiệm cận của ( )C bằng một hằng số (không phụ thuộc x y ).0, 0

b) Gọi I là tâm đối xứng của ( )C Tìm điểm H thuộc ( )C sao cho đoạn IH ngắn nhất Chứng minh

rằng khi đó tiếp tuyến của ( )C tại H vuông góc với IH.

đáp số: a) 2 b) H1(- +1 2; 2+ 2 ,) (H2 - -1 2; 2= 2)

11 Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( ): 3

1

x

C y

x

+

= + cắt hai đường tiệm cận của ( )C lần lượt tại

A, B Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

12 Cho đồ thị ( ): 2 1

2

x

C y

x

+

= + và đường thẳng :d y=- + , m là tham số thực.x m Chứng minh rằng đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m Tìm

tọa độ A, B sao cho đoạn AB ngắn nhất

đáp số: A(- -2 3; 2+ 3 ,) (B - +2 3;2- 3)

13 M là một điểm thuộc đồ thị ( ): 2 1

1

x

C y

x

+

= + có hoành độ x=a a( ¹ - 1) Chứng minh rằng diện

tích của tam giác được tạo bởi tiếp tuyến của ( )C tại M và hai đường tiệm cận của ( )C bằng một hằng