Tài liệu luyện thi đại học môn toán

PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi.. Những bài phương t

M Ụ C L Ụ C

Trang

Các công th ứ c l ượ ng giác 2

Ph ươ ng trình l ượ ng giác c ơ b ả n 10

Ph ươ ng trình b ậ c hai theo m ộ t hàm s ố l ượ ng giác 17

Ph ươ ng trình b ậ c nh ấ t theo sin và cos 20

Ph ươ ng trình ñẳ ng c ấ p ñố i v ớ i sin và cos 23

Ph ươ ng trình ñố i x ứ ng 25

H ướ ng d ẫ n gi ả i … 30

CÂC CÔNG TH Ứ C L ƯỢ NG GIÂC

A TÓM T Ắ T LÝ THUY Ế T:

I Các cung liên quan:

1 Cung đối nhau: 2 Cung phụ nhau 3 Cung bù nhau

sin(– α ) = – sin α sin

  = tan α cot( π − α ) = – cot α

II Các hằng đẳng thức lượng giác:

1 Các hằng đẳíng thức 2 Các tính chất

sin2α + cos2α = 1 sin( x + k 2 π ) = sin x

tan α cot α = 1 cos( x + k 2 π ) = cos x

b a

b

a ) cos cos sin sin

b a

b a

b

a ) cos cos sin sin

a b

b a

b

a ) sin cos sin cos

a b

b a

b

a ) sin cos sin cos

b a

b a

b

a

tan tan 1

tan tan

a cos2 sin22

cos = − = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a

a a

a 2 sin cos 2

sin =

a

tan 1

tan 2 2

a 4 cos 3 cos 3

a a

a 3 sin 4 sin33

4 Công thức hạ bậc:

2

2 cos 1

cos2 a = + a

2

2 cos 1

sin2 a = − a

5 Công thức biến đổi tổng thành tích

2

cos 2

cos 2 cos

cos a + b = a + b a − b

2

sin 2

sin 2 cos

2

cos 2

sin 2 sin

sin a + b = a + b a − b

2

sin 2 cos 2 sin

2

1 sin

2

1 cos

cos (sin

) cos sin 1 )(

cos (sin

cos

cos 2 sin 2

2 cos 2 sin

cos 1

sin

cos sin

1 cot

sin

1

2

a a

a

a

a

a a

a a

0 cos ) 2

1 (

2

cos

3

4 cos ) 2 cos(

2 cos 2

) 3

8 ( 3

4 cos

2

3

8 3

4 cos

2

cos

) 3

8 cos(

) 3

4 cos(

cos

=

− +

=

+ +

=

+

− +

+ +

+ +

=

+ +

+ +

=

a a

a a

a a

a a

a

a a

a

A

π π

π π

π π

π π

2 sin cos

) 2

3 4

cos(

) 2 4

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn và thỏa mãn hệ thức:

tanA + tanB tanC = 3 3

Chứng minh rằng tam giác ABC ñều

Giải

tan A tan B tan C(1 tan A tan B)

tan A tan B tan C tan A tan B tan C

tan tan

27 )

tan tan

(tan

tan tan

tan 3

tan tan

tan

tan tan

tan 3

tan tan

tan

233

≥ +

+

⇒

≥ +

+

⇒

+ +

≥ +

+

⇒

≥ +

+

C B

A

C B

A

C B

A C

B A

C B

A C

B A

ðẳng thức xảy ra ⇔ tanA = tanB = tanC ⇔ A = B = C

Vậy tam giác ABC ñều

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có ba góc A, B và C thỏa mãn hệ thức:

3

(1) Chứng minh rằng tam giác ABC cân Tìm số ño các góc A, B và C

cos 2

sin 2

2

3 cos

sin sin

⇔

=

− +

⇔

A C

B C

B

A B

C

0 2

sin 2

cos 2

cos 2

0

1 2

cos 2

cos 2

cos 2

sin

4 2

cos 4

0 1 2

cos 2 sin 4 2 cos 4

0

1 2

cos 2

sin

4 2

cos 4

22

22

222

=

− +

−

−

− +

−

−

⇔

= +

−

−

⇔

= +

− +

−

⇔

C B C

B A

C B C

B C

B A

A

C B A

A

C B C

B A

1 2 cos

C B

⇒ Tam giác ABC cân tại A và A = 1200

sin sin

C B

1

3 2

3 2

A C cos

90

30 60

120 2

C

A C

A

B C

tan x sin x cos x

−

) cos sin

2 1 ( 2 cos

cos sin

22

88

x x

x

x x

cos x( sin x cos x )

b) tanx = cotx – 2cot2x

sin x cos x sin x

sin x − cos x = − sin x

Bài 3 Biến ñổi thành tích:

A = sinx + sin2x + sin3x

B = sin3x + cos4x – sin5x

C = 1 + cosx + cos2x + cos3x

D = 1 + cos2x + sin3x + sin5x

E = cos2x + cos4x + cos6x + cos8x

F = cosx - cos4x + cos6x - cos8x

G = cos2x + cos22x + cos23x + cos24x – 2

Bài 4 Biến ñổi thành tích:

A = cos3x – sin3x – cosxsin2x + sinx

B = 3cos4x + 4sin2xcos2x + sin4x

C = sin x + cos x + sin 4x 1 −

Bài 5: Biến ñổi thành tích:

a) sin4x + 2sin2x + 2cos2x

b) cos2x + sin2x + 1

c) cos4x + sin5x + sinx + 1

d) cos3x – cosx + sin4x

e) cos3x + sin2x + 3cosx

f) sin3x + cos2x + 4sin3x – 1

Bài 6 Biến ñổi thành tích

PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC

Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi Những bài phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp Sau ñây là một vài kinh nghiệm nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến

ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần:

1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp:

+Phương trình bậc nhất theo sin và cos

+ Phương trình bậc hai theo một hàm số LG

+ Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos

+ Phương trình ñối xứng

3) Thuộc các công thức lượng giác

4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên:

+ Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp

+ Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung

+ Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin2a + cos2a = 1 khi trong

ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin2nx và cos2nx

+ Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích.

Sau ñây là các ví dụ minh họa:

PH ƯƠ NG TRÌNH L ƯỢ NG GIÁC C Ă N B Ả N

π

2

2 sin

sin

k a x

k a x a

2 cos

cos

k a x

k a x a

x

π

k a x a

x = tan ⇔ = =

π

k a x a

1

π

k x

x = 0 ⇔ =

2

0 cos

π

π

2 2

1 sin x = − ⇔ x = − + k cos x = − 1 ⇔ x = π + k 2 π

Chú ý: Nếu m không phải là giá trị lượng giác của cung ñặc biệt thì ta

có thể sử dụng công thức sau ñể biểu biễn nghiệm của phương trình lượng giác

B BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 3: Giại phöông trình: sinx + sin2x + sin3x = 0

2 2

cos

2 3

Ví dụ 4: ðề thi tuyển sinh ñại học khối D – năm 2004

Giải phương trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx

Giải:

(2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx

⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx – sinx

⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = (2cosx – 1)sinx

⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – (2cosx – 1)sinx = 0

⇔ (2cosx – 1)[(2sinx + cosx) – sinx] = 0

⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0

4

π

− + k π (k ∈ Z)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) sin2x + cosx = 0 2) sin6x – sin3x = 0

3) 3 sin2x + 2cos2x = 2 4) 3 sin2x + 2sin2x = 2

5) sin2x + sin4x = cos2x 6) cos2x + sin2x = sin2x

7) sin2x – sin22x = 4 4

2

sin x + cos x

8) sinx(sinx – cosx) = cosx(cosx – 3 sinx)

9) sinx(sinx + cosx) + cosx(cosx + sinx) = sin4x + 1

10) sin3x + cos3x =(sinx + cosx)2 – 3sinxcosx

12) sinx – sin2x + sin3x = 0

13) sin2x + cos3x – sin4x = 0

14) sin x + cosx − cos x 3 = 0

15) sin x + sin x 3 + sin x 5 + sin x 7 = 0

16) 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0

17) cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0

Baìi 2 Giaíi cạc phỉång trçnh:

1) sin 3 x sin 5 x − cos 4 x cos 6 x = 0

sin x + sin x + sin x + sin x =

3) sin x + sin 2 x + sin 3 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x

−

=

5) cos4 x − sin2 x = cos 2 x

6) 2cos x t anx(cot x sin 2x)

7) 1 sin x cos x tan x 0 + + + =

8) 2 tan x cot 2x 2sin 2x 1

cos x cos x cos x cos x =

Bài 4 Xác ñịnh m ñể phương trình sau có nghiệm:

1) sin4 x + cos4 x + cos 2 x + 3 − m = 0

2 2

1

m sin x sin x

Bài 6 Giải phương trình:

a) cot sin (1 tan tan ) 4

2

b) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KHỐI D – 2006)

c) (1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1+ sin2x (KHỐI B – 2007) d) 2sin22x + sin7x = sinx (KHỐI D – 2007)

Bài 7 Giải phương trình:

x

π π

PH ƯƠ NG TRÌNH B Ậ C HAI THEO M Ộ T

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Dạng: asin2x + bsinx + c = 0 Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1)

0 c bcosx

x

Khi đó phương trình trở thành: at2 + bt +c = 0

B BÀI TẬP MINH HỌA:

Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2 sin2 2x – (2 + 3 )sin2x + 3 = 0

Nhận xĩt: ðđy lă phương trình bậc hai theo hăm số sin2x

+ Với t = 1, ta có: sin2x = 1 ⇔ 2x =

2

π + k2 π ⇔ x =

4

π + k π

+ Với t =

2

3 , ta có sin2x =

Ví dụ 2: Giải phương trình: 4cosx + cos2x – 5 = 0

Nhận xĩt: Phương trình năy chưa có dạng phương trình bậc hai theo

một hăm số lượng giâc Tuy nhiín, nếu thay cos2x bởi 2cos2x – 1 thì phương trình ñê cho trở thănh phương trình bậc hai theo hăm số cosx

Giải:

Ta có:

cos 3x cos 2x − cos x = 0

Nhận xĩt: Trong phương trình có chứa cos23x vă cos2x Ta hạ bậc hai biểu thức năy sau ñó dùng công thức biến ñổi tích thănh tổng

Giải

) (

2 2

4 )

( 2

3 4

cos

1 4

cos

0 3 4 cos 4

cos 2 0

2 4

cos 8

cos

1 ) 4 cos 8

(cos 2

1 0

1 2 cos 6

cos

0 2

2 cos 1

2

2 cos ) 6 cos 1

( 0

cos 2

Z k

k x k

x VN

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

⇔

=

− +

⇔

− +

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 2 sin2 x + sin x − 1 = 0

2) 2sin5xcosx + 1 = 2sin22x + sin6x

3) 3 sin2 x + sin x + cos 2 x − 3 = 0

4) cos2 3 x + cos 3 x + cos 6 x − 3 = 0

5) sin3x + 2sin3xcos2x = sin5x

2 cos x − 5 cos x 3 + = 1 10 sin x s inx 2 − 2 cos x

8) cos2x + 4sin2x = sin3x + 4sin3x

9) sin4x + cos4x + sin3xcosx =

2

1 sin4x

Baìi 2: Giaíi các phæång trçnh:

1) 3 − 4 cos2 x = sin x ( 2 sin x + 1 )

2) cos3x + 1 = cos2x + cosx

3) sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos 2 x

Bài 3: Xác ñịnh m ñể phương trình sau:

1) sin2x – sinx + cos2x + 2 – 3m = 0 có nghiệm trên    −   

2

; 6

Bài 4 Giải các phương trình:

a) 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3

cos 3 cos 2 x x − cos x = 0 (KHỐI A – 2005)

Bài 5 Giải các phương trình:

PH ƯƠ NG TRÌNH B Ậ C NH Ấ T

THEO SIN VĂ COS

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

Dạng: Asinx + Bcosx + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) (*)

B

A + Đưa phương trình về dạng:

B A

C x

B A

B x

B A

A

+

−

= +

α =

B sin

+ Điều kiện(*) có nghiệm là : A2 + B2 ≥ C2

= +

⇔

−

= +

⇔

π

π π π

π π

π π

π π

2 4

3 2

2 4

3

2 )

4 sin(

) 3 2

sin(

2

2 )

3 2

sin(

k x

k x

x x

) (

π π

Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3 sin 2 x − cos 2 x = − 2 cos x (1)

Giải:

Phương trình (1)

6 sin 2 cos 6

cos 2 sin cos

2 cos 2

1 2

sin

2

) (

3 2

2 6

2 2

6

) 2 sin(

) 6 sin(

) 2 sin(

) 6 sin(

cos )

6 sin(

Z k k x

k x

x

k x

x

x x

x x

x x

∈ +

π π

π

π π

π

π π

π π

sin x − x = −

sin x + cos x = − sin x

4) sin x + 3 cos x 3 = sin x 3 − 3 cos x

5)

2

3 2

1) tan x sin x 2 cos x 2 2 2 ( cos x 1 ) 0

cos x

1 sin

cos

2

cos sin

2 cos

− +

−

x x

x x

x

2

cos x cot x

8) 2sin 3 cos cos 4 1 2sin 2

x Asin2 + + 2 = ( A2 + B2 + C2 ≠ 0 ) (1)

x

Phương trình này đã biết cách giải

2 Phương trình ñẳng cấp bậc ba:

A.sin3x + Bsin2x.cosx + C.sinx.cos2x + D cos3x + E sinx + Fcosx = 0

Câch giải phương trình năy tương tự như câch giải phương trình ñẳng cấp bậc hai

B BÀI TẬP MINH HỌA:

) (

6 4

6 tan tan

) 4 tan(

tan 3

1 tan

1 tan

0 1 tan

) 3 1

( tan

Z k k

x

k x

x

x x

x x

π π

π π

4

π + k π (k ∈ Z)

1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx.

x

2

cos

1 = 0

⇔ 1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx( 1 + tan2x) = 0

⇔

π ) ∨ tanx = tan

3 π

3

π + k π (k ∈ Z)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1 Giải các phương trình:

1) 3 sin23 x + ( 1 − 3 ) sin 3 x cos 3 x − cos2 3 x = 0

2) 3 sin2 3 x + sin 3 x cos 3 x − 3 = 0

3) cos3x – 4 sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0

+

Băi 2 Giải câc phương trình

1) 3cos4x – sin22x + sin3x(2sin3xcos2x – sin5x) = 0

2) cos 3 x − 3 sin2 x cos x + 3 cos x − 3 cos3 x + sin x = 0

3) cos3 x + sin x − 3 sin2 x cos x = 0

Băi 3 Giải câc phương trình

Thế vào pt (5) và đưa về dạng: at2 + bt + c = 0

Dạng 2: A(sinx cos x) Bsinxcosx C 0 − + + = ( A2 + B2 ≠ 0 ) (6)

2

−

Thế vào pt (6) và đưa về dạng: at2 + bt + c = 0

Ví dụ 1 : Giải phương trình : (sinx + cosx) – sin2x – 1 = 0 (1)

Giải

Pt (1) ⇔ sinx + cosx + 2sinxcosx – 1 = 0

Đặt: t = sinx + cosx = 2 cos(x –

4

π ) ( | t | ≤ 2 )

2

1 t sin x cos x

Với t = 1 ta có :

2 cos(x –

4

π ) = 1 ⇔ cos(x –

4

π ) = 2

2

⇔ cos(x –

4

π ) = cos

4

π

4

π = –

4

π + k2 π

2

1 t sin x cos x

2 cos(x +

4

π ) = – 1 ⇔ cos(x +

4

π ) = –

2 2

⇔ cos(x –

4

π ) = cos 3

4 π

4

π = – 3

4

π + k2 π

⇔ x = ππππ + k2 π ∨ x = –

2

π + k2 π (k ∈ Z)

Ví dụ 3: Giải phương trình:

sinx + cos3x + sin2x = 1 + 2cos2xcosx

Giải

(1) ⇔ sinx + cos3x + sin2x = 1 + cosx + cos3x

⇔ sinx – cosx + 2sinxcosx – 1 = 0

Đặt: t = sinx – cosx = 2 sin(x –

4

π ) ( | t | ≤ 2 )

2

1 t sin x cos x

4

π + k π + Với t = 1, ta có:

π

π π

2

2 2

2

1 )

4

sin(

k x

k x

⇔ cos3x + 3cosx + 1 = 3cosx – sin3x + 2sin3xcos3x

⇔ sin3x + cos3x – 2sin3xcos3x + 1 = 0 Đặt: t = sin3x + cos3x = 2 sin(3x +

4

π ) ( | t | ≤ 2 )

2

t 1 2

−

Ta ñược phương trình:

t – (t2 – 1) + 1 = 0

⇔

⇔ t = –1 ∨ t = 2 (loại)

+ Với t = – 1, ta cĩ :

x k2 1

Baìi 1 Giaíi cạc phỉång trçnh:

1) 7 (sin x + cos x ) + 4 sin x cos x + 13 = 0

2) 2 (sin x + cos x ) + sin x cos x − 2 = 0

3) sin x − cos x + 2 sin 2 x + 1 = 0

4) 6 (sin x − cos x ) + sin x cos x + 6 = 0

Baìi 2 Giaíi cạc phỉång trçnh:

1)

x

x x

) 4 2

( cos 4 2

cos

1 2

3) ( 1 + cos x )( 1 + sin x ) = 2

4) sin + cos + 2 + 1 + sin sin cos + cos = 0

x x

x x

x x

Bài 3: Giải các phương trình:

os os

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1 HS tự giải

Bài 2 Giải các phương trình:

1) sin 3 x sin 5 x − cos 4 x cos 6 x = 0

π π

(3) ⇔ (sin3x + sinx) – (cos3x + cosx) + sin2x – cos2x = 0

⇔ 2sin2xcosx – 2cos2xcosx + (sin2x – cos2x) = 0

⇔ (2cosx + 1)(sin2x – cos2x) = 0

π π

k x

k x

x

x

4

4 3

0 cos

0 ) 4 cos(

sin x cos x cos x sin x (cos x sin x )(cos x sin x ) sin x sin x cos x

cos x

cos x sin x (cos x sin x )[(cos x sin x ) ]

⇔

= +

⇔

π π

π

k x

k x x

x

x

x x

x

3 3

tan

0 tan

tan 1

1 tan

3 cos

1 1

x x

≠

2

4

0 cos

0 2

sin

0 sin

0 2

cot tan

1 cot

π

π π

k x

k x

x x x

x x

x

1 2 1

2

1 2

(cos x sin x ) ( )

sin x cos x cos x

cos x sin x sin x

2 1

0 cos

2 1

x x

π

π

k

x VN

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

( 2

5 cos

sin

1 tan

0 ) cos (sin

2

5

cos sin

0 ) cos 2 sin

2 5 )(

cos (sin

) cos 2 1 )(

2 (cos

) sin 2 1 )(

2 (sin

sin 2 1

2 cos

⇔

= +

⇔

= +

+

⇔

=

− +

− +

−

⇔

π π

π π

2 3

2

4 8

2

1 cos

0 4

cos

0 ) 1 cos

2 ( 4 cos 0

4 cos cos

4

cos

2

0 6

cos 4

cos 2

cos 2

3 2

6 cos 1

2

4 cos 1

2

2 cos 1

)

1

(

k x

k x

x

x

x x

x x

x

x x

x x

x x

5) cos4 x − sin2 x = cos 2 x

⇔ cos4x – sin2x = cos2x – sin2x ⇔ cos4x – cos2x = 0

⇔ cos2x(1 – cos2x) = 0 ⇔ cos2xsin2x = 0

⇔ sin2x = 0 ⇔ x =

2

π

k 6) HS tự giải

7) 1 + sin x + cos x + tan x = 0

+

⇔

= +

+ +

⇔

π π

π π

2

4 1

cos

1 tan

0 ) cos 1

( cos )

tan 1

k x

x x

x x

x x

k

x x

cos 4

cos 4

cos 1

2 cos

1

2 sin 2 sin

2

1 2

sin 2 ) sin 2 1 ( sin

4

1 2

sin 2 2

cos sin

22

2

22

⇔

+

= +

⇔

x x

x x

x x

x x

x

x x

sin x sin x

π π

sin x cos x cos x cos x

cos x cos x cos x cos x cos x cos x

cos x(cos x cos x ) cos x cos x cos x

10) cos2 x + cos2 2 x + cos23 x + cos2 4 x = 2 3

0 4

cos 2 2

cos 4

cos 2 4

cos

0 ) 8 cos 1

( ) 2 cos 6

(cos 4

cos

0 1 8 cos 6

cos 4

cos 2

cos

2

3 4

cos 3

cos 2

cos

cos

2

22

22

= +

+

⇔

= +

+ +

+

⇔

= + +

+ +

⇔

= +

+ +

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

=

⇔

= +

+

⇔

0 1 2 cos 2 2

cos

4

0 4

cos

0 ) 4 cos 2 2

cos 2 1 ( 4

cos

2

x x

x

x x

1

4 8

4

5 1 2

cos

0 4

cos

x

k x

cos 4 cos 2 cos

Dễ thấy x = k π không thỏa phương trình Do ñó nhân hai vế phương trình với sinx ta ñược:

x x

x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

sin 16

1 8

cos 4

cos 4

sin

4

1

sin 16

1 8

cos 4

cos 2

cos 2

sin

2

1

sin 16

1 8

cos 4

cos 2

cos cos

sin

16

1 8

cos 4

cos 2

x x

x

sin 16

1 16

sin

16

1

sin 16

1 8

cos 8

15 2

2 16

2 16

π π

π

π π

π

k x

k

x

k x x

k x x

Bài 4 Xác ñịnh m ñể phương trình sau có nghiệm:

1) sin4 x + cos4 x + cos 2 x + 3 − m = 0 (1)

HD:

2

1 2

cos 2

1 2

sin 2

1 1

cos sin

2 )

cos (sin

cos sin

22

22

222

44

= +

x x

x x

x x

x x

Do ñó:

6 2

) 1 2

(cos

2 7 2

cos 2 2

cos

0 3

2

cos 2

1 2

cos 2

2

−

= +

⇔

= + +

⇔

=

− + +

+

⇔

m x

m x

x

m x

4

2 sin(

2

1

2 2

cos 2

sin

1

1 2

2 cos 1

2 sin

⇔

m

m x

m

m x x

m

m x

⇒ HS giải tiếp