Đồ hoạ máy tính- các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều doc

Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 7/22Các loại biến đổi 2D  Biến đổi tuyến tính  Đường thẳng giữ nguyên thẳng  Thí dụ: Toàn bộ các biến đổi trên đây là biến đổi tuyến tính  Biến

Các phép biến đổi hình học

Chương 3

Các phép toán cơ sở với ma trận

 Cộng, trừ ma trận

 Chỉ thực hiện cho hai ma trận cùng bậc

 Nhân hai ma trận

 Ma trận bậc n1xm1 và ma trận bậc n2xm2 nhân được với nhau nếu m1=n2

[A(m, n)] + [B(m, n)] = [C(m, n)]

      c ij  a ij  b ij

[A(m, n)] [B(n, p)]= [C(m, p)]





 n

i ji ik

c

1

j=1, ,m và k=1, ,p

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 3/22

Các phép toán cơ sở với ma trận (tt)

 Đảo ma trận vuông

 Không có phép chia ma trận

 nếu [A][X]=[Y] thì [X]=[A]-1[Y], trong đó [A]-1là ma trận đảo của ma trận vuông [A]

 [A][A]-1= [I] trong đó [I] là ma trận đơn vị

 Tính ||A||: Thay các phần tử của [A] bằng các phần phụ đại số của nó

 Phần phụ đại số của phần tử (aij) là:

 [Mij] được tạo ra nhờ xóa hàng i, cột j của [A].

A A

A

det

1

1



   1ij  Mij

Ứng dụng biến đổi 2D

 Mô hình hóa (modeling)

 Định vị và thay đổi kích thước các phần của đối tượng phức tạp

 Quan sát (viewing)

 Định vị và quan sát camera ảo

 Animation

 Xác định đối tượng chuyển động và thay đổi theo thời gian như thế nào.

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 5/22

Các thí dụ biến đổi 2D

Các thí dụ biến đổi 2D (tt)

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 7/22

Các loại biến đổi 2D

 Biến đổi tuyến tính

 Đường thẳng giữ nguyên thẳng

 Thí dụ: Toàn bộ các biến đổi trên đây là biến đổi tuyến tính

 Biến đổi affine

 Các đường thẳng song song giữ nguyên song song

 Thí dụ: Toàn bộ các biến đổi trên đây là biến đổi tuyến tính

 Biến đổi tuyến tính và non-affine

 Thí dụ: Phép chiếu viễn cảnh.

 Biến đổi trực giao

 Bảo toàn khoảng cách, dịch chuyển đối tượng.

 Xoay, dịch chuyển và phản chiếu là biến đổi affine.

Các phép biến đổi cơ sở

 Tịnh tiến (Translation)

Định nghĩa: P= [x y], P'=[x' y'] và T= [Tx Ty]

 Co dãn (Scaling)

50 150 50

100

x' = x + Tx

y' = y + Ty

x' = x.Sx

y‘ = y.Sy

Sx là thừa số co dãn chiều x

Sy là thừa số co sãn chiều y.

(Tx, Ty) là véc tơ tịnh tiến













y

x

S

S y x y

x ' ' 0 0

 x ' y '    x y    Tx Ty

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 9/22

Các phép biến đổi cơ sở (tt)

 Xoay hình (Rotation)

 Góc xoay

(x, y)

(x', y') r r





























sin cos cos

sin ) sin(

'

sin sin cos cos ) cos(

'

r r

r

y

r r

r

x



















 , sin

cos y r

r









cos sin

'

sin cos

'

y x

y

y x

x





























 cos sin

sin cos '

x

Tọa độ thuần nhất

 Các biến đổi cơ sở có cách xử lý khác nhau

 Thực tế: Nhu cầu tổ hợp các chuyển đổi cơ sở

 Cần cách xử lý nhất quán để dễ dàng tổ hợp

 Giải pháp: Sử dụng hệ thống tọa độ thuần nhất ( Homogeneous Coordinates )

 Bổ sung thêm một trục W vào điểm 2D: P(x, y, W).

 Thí dụ: 2 tập (2,5,3) và (4,10,6) sẽ biểu diễn cùng một điểm.

 Nếu W  0, hãy chia cho W để có điểm trong tọa độ Đề các (x/W, y/W, 1).

 Nếu W=0 ta có điểm vô cực.

P' = P + T (tịnh tiến); P' = P S (co dãn); P' = P.R (xoay)

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 11/22

Tọa độ thuần nhất (tt)

 Thay thế các điểm 2D bằng các điểm 3D

với tọa độ cuối có giá trị 1.

 Với điểm 3D (x, y, w) thì điểm 2D tương

ứng sẽ là (x/w, y/w) và w khác không.

 Mỗi điểm 2D (x,y) tương ứng với đường

thẳng 3D, mọi điểm trên đường thẳng này

có thể viết thành (kx, ky, k) trong đó k là

tham số.

 (x, y, 0) không tương ứng với điểm 2D mà

tương ứng với hướng.

 Về hình học: Các điểm 3D ánh xạ thành

điểm 2D bằng cách chiếu chúng từ gốc lên

mặt phẳng z=1.

[x, y]

x

y z

z=1

Đường thẳng tương ứng với [x,y]

Ma trận biến đổi 2D

 Biểu diễn tọa độ 2D (x,y) trong

hệ tọa độ thuần nhất là bộ ba

(x, y, 1)

 Các điểm là véctơ hàng 3 phần tử

 Các ma trận biến đổi 2D sẽ có kích

thước 3x3

 Dịch chuyển

Từ hình trên, dịch chuyển:

x’=x+Tx=x+Tx.1 y’=y+Ty=y+Ty.1 w’=1























1

0 1 0

0 0 1 1 1

'

'

Ty Tx

y x y

x























1

0 1 0

0 0 1 ) ,

(

Ty Tx

Ty Tx

T

(x, y,1) (x+Tx, y+Ty,,1)

x

y z

z=1

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 13/22

Ma trận biến đổi 2D (tt)

 Co dãn

 Xoay

 Biến đổi affine tổng quát























1 0 0

0 0

0 0 1 1

'

Sx y x

y

x























1 0 0 0 0 0 0 )

,

Sx Sy Sx S

























1 0 0

0 cos sin

0 sin cos 1 1

'





y x y

x

























1 0 0

0 cos sin

0 sin cos )







R























1 0

0

1 1

'

'

f c

e b

d a y x y

c by ax x













' '

Các tính chất của biến đổi hình học

) , ( ) , ( T

4.

) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 3.

) ,

( ) , ( ) , ( 2.

) 0 , 0 ( 1.

1

-y x y

x

y x y

x y

x y

x

y y x x y

x y

x

s s T s

s

s s T t t T t

t T s s T

t s t s T t

t T s s T

I T























18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 15/22

Chuyển đổi gộp

 Giải pháp:

 Tính ma trận kết quả của các chuyển đổi thành phần trong chuyển đổi gộp

 Dịch chuyển 2 lần

 Co dãn hai lần

 Xoay hai lần



































































1 2 1 2 1

0 1 0

0 0 1

1 2 2

0 1 0

0 0 1 1 1 1

0 1 0

0 0 1

Ty Ty Tx Tx Ty

Tx Ty Tx

S(Sx1, Sy1).S(Sx2, Sy2)=S(Sx1.Sx2, Sy1.Sy2) R( 1).R( 2)=R( 1+ 2)

Co dãn đối tượng theo điểm cố định

 Vấn đề

 Cho trước tứ giác ABCD, tọa độ chốt (xF, yF) và tỷ lệ co dãn Sx, Sy(a)

 Thực hiện biến đổi để có kết quả (d)

 Các bước thực hiện

 Dịch đối tượng (tứ giác) sao cho điểm chốt trùng gốc tọa độ

 Thực hiện co dãn theo tỷ lệ cho trước

 Dịch ngược đối tượng sao cho điểm chốt về vị trí ban đầu.

xF, yF

d)

xF, yF

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 17/22

Co dãn đối tượng theo điểm cố định (tt)

 Ma trận chuyển đổi được tính:





















































































0 0

0 0 1

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 0

0 0 1

0 1

0

0 0

1

F F

F F y x

F

Sy Sx

y x S

S y

x

xF, yF

d)

xF, yF

Xoay đối tượng quanh điểm cố định (tt)

 Vấn đề

 Cho trước tam giác ABC, tọa độ chốt (xF, yF) và góc xoay  (a)

 Thực hiện biến đổi để có kết quả (d)

 Các bước thực hiện

 Dịch đối tượng sao cho điểm chốt trùng gốc tọa độ

 Thực hiện xoay theo góc cho trước

 Dịch ngược đối tượng sao cho điểm chốt về vị trí ban đầu

d)

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 19/22

Xoay đối tượng quanh điểm cố định

 Ma trận chuyển đổi được tính:

d)































































































1 sin cos

1 sin cos

1

0 cos

sin

0 sin

cos

1

0 1 0

0 0 1 1 0 0

0 cos sin

0 sin cos 1

0 1 0

0 0 1

























F F F

F

F F F

F

x y y

x

y x y

x

Co dãn theo hướng tùy ý

 Ma trận biến đổi co dãn cơ bản

 Tỷ lệ Sx và Sy áp dụng cho co dãn theo chiều trục x và y

 Co dãn theo hướng tùy ý

 Thực hiện chuyển đổi gộp: xoay và co dãn

 Vấn đề

 Cho trước hình vuông ABCD, hãy co dãn nó theo hướng như biểu diễn trên hình a) và theo tỷ lệ S1, S2.

x

y

S2

S1



(0,1)

(0, 0) (1, 0)

(1, 1) (1/2,3/2)

(0,0)

(2, 2) (3/2,1/2)

a)

18/05/2010 Chương 4 Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 21/22

Co dãn theo hướng tùy ý (tt)

 Giải pháp

 Xoay hướng S1, S2 sao cho trùng với trục x và trục y (góc xoay  )

 Áp dụng biến đổi co dãn theo tỷ lệ S1, S2

 Xoay trả lại hướng ban đầu

 Ma trận tổ hợp

































1 0

0

0 cos 2 sin

1 cos sin 2 1

0 cos sin 2 1 sin

2 cos

.

1

2 2

2 2

















S S

S S

S S S

S

Một số biến đổi cơ sở khác

 Phép đối xứng (reflection )























1 0

0

0 1

0

0 0

1





















1 0 0

0 1 0

0 0 1

























1 0 0

0 1 0

0 0 1

Đối xứng qua

trục x

Đối xứng qua trục y

Đối xứng qua gốc tọa độ

1

2

2’

3

3’

1 1’

2

3’

1

1’

2 2’

3

3’