cac loai bt 12

b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 3.. Định m để hàm số : a Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.. a Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó...

Trang 1

Ôn Tập Giải Tích 12

I ĐẠO HÀM

1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = x|x1| tại x0 = 0

2) Cho hàm số y = f(x) = x33x2+1, có đồ thị (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x)  0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 3) Cho (C) : y = f(x) = x4x2

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng 2

2 Tại điểm có tung độ bằng 3

3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10

8) Tìm đạo hàm các hàm số

g) y = cotg ( 5x2 + x – 2 ) h) y = cotg2 x + cotg2x

11) Tính đạo hàm của hàm số

f(x) = 





 0 x nếu x

0 x nếu x

2 3

Trang 2

a) Với y= 3 +

x

5

( x  0), ta có xy’ + y = 3

b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0

c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex

d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0

e) Với y = ln 11x ta có xy’ + 1 = ey

14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

a) Cho hàm số y =sin1 3sinx x.coscos3xx



 Chứng minh rằng: y’' = yb) Cho y = ln(sinx) Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg 2x = 0

c) Cho y = e4x+2ex Chứng minh rằng : y’’’13y’12y = 0

d) Cho y = xx 43 Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y1)y’’

e) Cho y = cot g x cot gx x 3 7

15) Cho f(x) = 1cossinx2x

2

4 ( ' f 3 ) 4

16) Cho f(x) = 2

2

e

x  Chứng minh rằng : )

2

1(f3 ) 2

1(f

2 '

17) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x +sin x + x

b) f(x) = (x2+2x3)ex

c) f(x) = sinx.ex

d) f(x) = 3 sin x  cos x  x

18) Giải bất phương trình f(x) < 0 với f(x) = 31 x3x2+ 

19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos 4 x

4 1

Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), xR

20) Tìm vi phân của mỗi hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:

a) f(x) = ln (sinx) tại x0 = 4 b) f(x) = x cosx tại x0 = 3

21) Tìm vi phân của mỗi hàm số:

a) f(x) = x 2 1

 b) f(x) = x.lnx c) f(x) = sinxx 22) Biết rằng ln 781 = 6,6606 , hãy tính gần đúng ln 782

II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5

x

3

 24) Xét tính đơn điệu của hàm số

g) y = f(x) = 3 x 2 ( x 5 )

 h) y= f(x) = x33x2

Trang 3

k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2]

25) Cho hàm số y = f(x) = x33(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :

a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Kq:1  m  0

b) Nghịch biến trên khoảng (1;0) Kq: m   34

c) Đồng biến trên khoảng (2;+ ) Kq: m  31

26) Định mZ để hàm số y = f(x) = mxx m1 đồng biến trên các khoảng xác định của nó

a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó

b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+)

31) Tìm m để hàm số :y x2 2xmxmm 2

II CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

a) y = x3 b) y = 3x + x3 + 5 c) y = x.ex d) y = lnxx

36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:

a) y = sin2x với x[0;  ] b) y = x2lnx.c) y = exx

37) Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2+(m21)x+2 đạt cực đại tại x=2

( Đề thi TNTHPT 20042005) Kết quả : m=11

38) Định m để hàm số y = f(x) = x33x2+3mx+3m+4

Trang 4

b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1

c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

a ( f

0 )

a ( ' ' f

0 )

a ( ' f

a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4

c.Đạt cực tiểu khi x = 1 Kết quả : m = 7

40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =x2 m(mx2 1m)x m4 1

42) Cho hàm số y = f(x) =31x3mx2+(m+2)x1 Xác định m để hàm số:

b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m > 2

c) Có cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m <2 V m > 2

43) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x4+2mx22m+1

Hd và kq : y’=4x(x2m)

 m  0: 1 cực đại x = 0

 m > 0: 2 cực đại x= m và 1 cực tiểu x = 044) Định m để đồ thị (C) của hàm số y = f(x) =x2 xx1m có hai điểm cực trị nằm khác phía

45) Định m để hàm số y = f(x) = x36x2+3(m+2)xm6 có 2 cực trị và hai giá trị cực trị cùng

46) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x33(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với x2x1 là một hằng số

47) Tìm cực trị của các hàm số :

Trang 5

50) Cho hàm số : f(x)= 31 x3mx2+(m2) x1 Định m để hàm số đạt cực đại tại x2, cực tiểu tại x1 mà x1 < 1 < x2 < 1 Kết quả: m>1

51) Chứng minh rằng : ex  x+1 với x|R

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x22x+3 Kq:Min R f(x) = f(1) = 2

53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x22x+3 trên [0;3]

Kq: Min [ 0 ; 3 ] f(x)=f(1)=2 và Max [ 0 ; 3 ] f(x)=f(3)=6

54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) = x2 x x1 4

59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx

60) Tìm GTLN: y=x2+2x+3 Kết quả: Max R y=f(1)= 4

61) Tìm GTNN y = x – 5 + 1x với x > 0 Kết quả: Min ( 0 ; )

 y=f(1)= 3 62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4  x 2

] 2

; 2

63) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x21 trên đoạn  ; 1 

2 1

Kết quả: Max; 1 ] y (1) 4

2 1

 ; Min; 1 ] y (0) 1

2 1

64) Tìm GTLN, GTNN của:

a) y = x4-2x2+3 Kết quả: MinR y=f(1)=2; Không có Max R y

b) y = x4+4x2+5 Kết quả: MinR y=f(0)=5; Không có Max R y

Trang 6

65) Cho hàm số y x2 xx12

cos x cos x

Hướng dẫn:y’=0  2sin2 x22sin2 =0  x=1 V x=1 Tiệm cận ngang: y=1

Dựa vào bảng biến thiên kết luận 1 y  1

67) Định x để hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất :

IV TÍNH LỒI, LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

69) Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số :

a) y = f(x) = x46x2+1 b) y = f(x) = x2 xx4

70) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33(m1)x2+m2x3 nhận I(1;1) làm điểm uốn

Kết quả: m = 2

71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x46mx2+ 3

a) Có hai điểm uốn Kết quả: m > 0

b) Không có điểm uốn Kết quả: m  0

72) Chứng minh rằng đồ thị (C): y x2 xx11

Hướng dẫn và kết quả:

(C) có 3 điểm uốn A(2;1), B( 21 ;0), C(1;1)    

 AC 2

1

AB  A, B, C thẳng hàng

Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc k xy xy 32

A C

73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x23x+2

Kết quả: Lõm trên các khoảng (;1) và (2; +) Lồi trên khoảng (1;2)

Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0)

74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a0) cắt Ox tại 3 điểm cách đềunhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox

b) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m cắt trục hoành tại 3 điểm cách đềunhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng)

Trang 7

a) Cho y = 0 ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng  2x2=

x1+x3  3x2 = x1+x2+x3 = ab  x2 =  3ba Vậy điểm uốn I(x2;0)Ox

b) Tìm I(m;m2m)

Điều kiện cần : IOx  m2m = 0  m = 0 V m = 1

Điều kiện đủ : Chọn m = 1

75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :

77) Tìm tham số để:

a) (Cm) : y=x33x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn

b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;2) làm điểm uốn

c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m2

78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x33x29x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng Kết quả : m = 11.

79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x33x29x+1 tại

ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC

Hướng dẫn và kết quả :

 Lập phương trình hoành độ giao điểm :

ax+b = x33x29x+1 f(x) = x33x2(a+9)x+1b = 0.(1)

 Điều kiện cần: Điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là

I(1;ab10)Ox  ab10 = 0  a+b = 10

 Điều kiện đủ : a+b = 10  f(x) = (x1).g(x) = 0 với

0 b 2

g

 b<2 Kết luận : 

10 b

a

80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=xx2 11



4

1



81) Tìm m để (Cm):y = x33mx2+2m(m4)x+9m2m có điểm uốn :

a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x.Kết quả : m = 0 V m = 2

b) Đối xứng với M(3;6) qua gốc tọa độ O Kết quả : m= 3

c) Đối xứng với N(5;20) qua Ox Kết quả : m= 5

d) Đối xứng với P(7;42) qua Oy Kết quả : m= 7

V TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :

Trang 8

b) y = x2xx21 Kết qua û: x = 2 và y = x

83) Tìm các đường tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số :

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm)

b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2)

87)Tìm trên đồ thị (C):y = xx12 điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận lànhỏ nhất

88) Lấy một điểm bất kỳ M(C):y = f(x) = x2x x2 1





Chứng minh rằng tích các khoảng

cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi Kq: d1.d2= 92

VI KHẢO SÁT HÀM SỐ

89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

VII.CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

90) Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị:

3 m 2

91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x22

B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2(m2) = 0

92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y= 41 x+3 và tiếp xúcvới đồ thị (C) hàm số y= x3+3x24x+2

Trang 9

93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi qua gốc toạđộ O

94) Dùng đồ thị (C): y = x33x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình x33x2 9x+1m = 0

95) Cho parabol (P): y=x22x+2 và đường thẳng d: y=2x+m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)

b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P)

c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB.96) Cho hàm số y xx 11





 , có đồ thi (H)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

b) Cho đường thẳng d: y= 2x+m Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N Tìm tập hợp trung điểm I của MN

97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x33x2+1 nhận điểm uốn của nó làm tâm đối xứng

98) Cho hàm số y = x44x32x2+12x1

a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng

b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox

a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0 Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C)

b) Cho Y= 0, tìm được X= 4  10  y=0 và x =1 4  10

99) Chứng minh rằng (C): y = xx13 có hai trục đối xứng

Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(1;1) Suy luận có hai đường phân giác y=x và

y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C) Chứng minh hai đườngthẳng này là hai trục đối xứng của (C)

100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = xx 22 Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồthị của các hàm số:

101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x33x2+2

b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 33x2 +2 Từ đó biện luận theo m số

nghiệm của phương trình: | x| 33x2 +1  m = 0

102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m21 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Xác định phương trình đường thẳng đó

Lời giải 1:

1 Dự đoán đường thẳng cố định:

Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x1y=0, phương trình này có = (x)21.(x2+x1y)=0  x+1+y=0  y= x1 là đường thẳng cố định

Trang 10

Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=x2x+1+y (2)

Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0  m=x, thay trở lại (2):y=x1 là đường thẳng cố định

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x1 là:

x2+(2m+1)x+m21=x1  x2+2mx+m2=0

 (x+m)2=0  x=m (nghiệm kép)Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x1

Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau  phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép”

Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc

Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:

x2+(2m+1)x+m21= ax+b x2+(2m+1a) x+m2b1=0 có nghiệm kép với  m

  =(2m+1a) 24.1(m2b1)=0 với  m4(a1)m+(a1)2+4b+4=0 với  m

1 a

Vậy d:y=x1 là đường thẳng cố định mà (Cm) luôn tiếp xúc

1 Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:

m2+(y13x)m+(y1)x=0 (2), đặt t=y1 ta có phương trình: m2+(t3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có =0  (t3x)24tx=0  t210xt+9x2=0 t=9xV t=x

Thay t=y1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm)

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải)

d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

(

m 4

1 x 9 m

x

m m x ) 1 m 3

(

2 2

2

 (3x+m)2=0  x= m3Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m3 (m  0)

Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m  0)

104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx33(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định

105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2m luôn tiếp xúc với một parabol cố định

Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= x 41

2

3 x 4

2

) 1 x (

3 x x

Trang 11

) 1 x (

3 x

2 x x

dx ) 3 x 2 (

2109) Tính 

 1 x

dx x 3

3 2

110) Tìm A, B , C để sinxcosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx2sinx) +C

Kq: A= 51; B= 53 và C= 58111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

) 1 3

x ( x

+Cxsinx+C

c) y=

x cos x sin

1

2 2

d) y=

x sin x cos

x cos



tgxcotgx+Csinx+cosx+C

112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3x2+2x1 biết rằng F(0) = 4

Kết quả: F(x) =x44  x33 +x2x+4113) Tính đạo hàm của F(x) = x l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx

2 x



+C115) Tính các tích phân:

Tích phân Kết quả Tích phân Kết quả

1e)

 e2cosx3

.sinxdxf) sindxx

l n l n x+C

3 x cos 2 e 2

2 x

1

e)

Trang 12

b)3 

1

2

dx x

x 4 x

x g cot 2 3

3

dx x sin

x sin 1

g)



 2

0

2 x cos xdx sin

3

15 3

11 

2

2 2

3  

3 1

x

2 x

2ln3

ln 2

ln 45

3 2

x cos 3 1

x sin

6 2

3

dx x sin

x cos

x cos x sin

) 1 x 2 (

k)e1

2

dx x

x ln

3

2

ln2

2 1

ln( 3+1)0

3 1

18) Chứng minh rằng: a) 4 4 3 2dxsin x 2

2 1

) 1 2 2 ( 3 2



Trang 13

sin

2 1

12

8

3  

3 4

4 3

) 1 2 2 ( 3

1



3 3



) 2 1 e (

4 3

x sin

Nhân tử số và mẫu số cho

x.Kq:12 2 9

6



x=sint Kq:16

) 3 2 ln(

Trang 14

w) e

1

4

dx x

xdx ln

d) 4 2

0 cos

xdx x





1

2 ln

4



Trang 15

Tích phân Kết quả Tích phân Kết

quảe) 2

ln(

8



e2ln22+ 2

0 ln(1 )

x x dx



i) cos 0

0

dx )x (cos f dx

b

0

dx ) x b ( dx ) x

dx ) x (sin f dx ) x (sin



dx x cos 1

x sin x

Hướng dẫn: Lần 1, đặt x= t Lần 2, để tính 



 2

dx ) x (sin

x sin x

=   

0

x cos 1

x sin

, đặt t=cosx, kq: 42123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [a;a] (a>0) thì:

1

x

127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì:  

) t

Trang 16

128) Chứng minh rằng asin x f (cos x ) dx 0

2 a

a

2 ) dx 2 cos x ( x ) dx x

( x

130) Chứng minh rằng    

1

0

m n

131) Tính các tích phân sau:

x sin x

c)2

1 5

dx x

6 



64

2 ln 256

15



2

e ln e

) 1 e (

2 

2

e ln

7 6

dx e

x sin 2 1

3

2 

) 2 ln 2

( 4

1





2 ln

3

5 ln 4 1

15 2

320

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	1 MB