Bài tập môn Toán học kỳ 2 lớp 10

Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu.. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.. Tính số trung bình và độ lệch chuẩn nhận được từ bảng trên.. Tính số trung v

Bất phương trình bậc 1 :

1 Xét dấu biểu thức

1/ A = 2x + 3 2/ B = 7 – 4x

3/ C = 2x – x2 4/ D = (2x - 1)(5 -x)(x - 7) 5/ E = -3x2 + 2x – 7 6/ F = x2 - 8x + 15

x

=

9/

-12

- + £ +

7/ 3x – 2 6³ 8/ 2x-5 £ +x 1

9/ 5+ + - £ x x 3 8 10/ x- +1 2x+ < 1 111/ 4 1

12

e/ x + 2m < 1 + 2mx f/ (1+m )x2 > -1 2mxg/ 5(m+1)x+ <2 3m+4x h/ ax b+ 3 > bx a+ 3

5 Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm :

ì

- > +ïï

í

-ï - <

ïî

5/

15 8

23

4

xx

í+

-ïî7/

01

ì

- > +ïï

í

-ï - <

ïî2/ Tìm số nguyên lớn nhất thỏa mãn hệ bất phương trình:

2 2

01

3 1 2

01

+ - >

+ +21/

- + >

- +27/

01

x(x )

- - + >

+28/

ïî3/

2 2

ïî5/

î7/

222

-î9/

2 2

7 (NC) Xác định m để biểu thức sau có nghĩa với mọi x :

2/ Tìm m để bất phương trình trên vô nghiệm

(NC) Phương trình và bất phương trình chứa dấu trị tuyệt đối 1/ Giải các phương trình sau :

x (x )

- + +

=-

2/ Giải các bất phương trình sau :

(NC) Phương trình và bất phương trình chứa căn thức :

1/ Giải các phương trình sau :

1/ 2x- = - 3 x 3 2/ 5x+10 = - 8 x

3/ x2+3x + =1 3x 4/ 2x2- + = 1 2 x

5/ x- 2x- = 5 4 6/ x2-4x+ = + 6 x 47/ x+ -5 x- = 3 2 8/ x- +3 2x+2 = 19/ 15- +x 3-x = 6 10/ x2- +1 x2-2x+ = 1 011/ 5x- -1 3x- =2 x- 1

c Tìm số trung bình cộng, số trung vị, mốt của mẫu số liệu

d Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu

2 Đo chiều cao của 36 học sinh của một trường THPT, ta có mẫu

số liệu sau (đơn vị: cm)

c Vẽ biểu đồ tần suất hình cột, hình quạt

d Tính số trung bình và độ lệch chuẩn nhận được từ bảng trên So sánh với kết quả nhận được ở câu b

3 Thành tích chạy 50m của học sinh lớp 10A ở trường C (đơn vị:

giây)

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2

7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8

a Tính số trung vị và mốt của mẫu số liệu

b Lập bảng phân bố tần suất với các lớp ghép: [6,0 ; 6,5) , [6,5 ; 7,0) , [7,0 ; 7,5) ,

c Trong lớp học sinh được khảo sát, số học sinh chạy 50m hết

từ 7 giây đến dưới 8,5 giây chiếm bao nhiêu phần trăm

d Nêu nhận xét về xu hướng tập trung của các số liệu thống

kê đã cho

4 Trong một cuộc thi bắn có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 30 viên đạn

Kết quả cho trong 2 bảng dưới đây:

Điểm số của xạ thủ A

6 10 10 10 8 10 9 5 8 8 10 5 10 10 9

8 10 6 8 9 10 9 9 9 9 9 7 8 6 8 Điểm số của xạ thủ B

6 9 9 9 8 8 5 9 10 10 9 6 7 8 10

9 9 10 10 10 7 7 8 8 8 8 7 10 9 9

a Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho trong hai bảng trên

b Xét xem xạ thủ nào bắn giỏi hơn?

5 Cho các số liệu ghi trong bảng sau

Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị:phút)

a/ Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất

b/ Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?

6 Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn

vị cm):

c) Phương sai và độ lệch chuẩn

7 Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy

ước rằng điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau:

2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10

a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập phân sau khi đã làm tròn)

b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên

8 Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C ( đơn vị : giây )

c) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố

9 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng

được thống kê như ở bảng sau:

b) Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn

11

e sin x cos x 1–2sin x.cos x4 + 4 = 2 2

f sin x – cos x 1–2cos x4 4 = 2

g sin x cos x 1–3sin x.cos x6 + 6 = 2 2

h tanx.tany cotx+ coty( )=tanx tany+

4 Chứng minh biểu thức độc lập đối với x

A = 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x)

B = cos2x.cot2x + 3cos2x – cot2x + 2sin2x

-5 Đơn giản các biểu thức:

A = cos2a + cos2a.cot2a B = sin2x + sin2x.tan2x

-2 – (tanx – cotx)2

E = cos4x + sin2xcos2x + sin2x

6 Tính các giá trị lượng giác của góc a, biết:

a - a a + a biết cota = –3

E = sin2a + 2cos2a biết tana = 2

8 Tính biểu thức:

a Cho t = cosx + sinx, tính sinx.cosx theo t

b Cho t = cosx – sinx, tính sinx.cosx theo t

c Cho t = tanx + cotx, tính sinx.cosx theo t

d Cho t = tanx – cotx, tính sin2x.cos2x theo t

A =

0 0

406316

126

0

0 0

sin( 4 ) cos t an36

108

0

0 0

tan( 162 )sin

D = tan100tan200tan300….tan700tan800

E = cos200 + cos400 + cos600 + … + cos1600 + cos1800

F = cos23o + cos215o + cos275o + cos287o

æp < < pö

13 A, B, C là 3 góc của tam giác, chứng minh :

a sin(A + B) = sinC b cos(B + C) = –cosA

A = sin320cos620 – cos320sin620

B = cos440cos460 – sin460sin440

C = cos360sin240 + cos240sin360

D = sin220sin380 – cos220sin380

-G = 1

1

0 0

c sin(a + b)sin(a – b) = sin2a – sin2b

d cos(a + b)cos(a – b) = cos2a – sin2b

e sin2(a + b) – sin2a – sin2b = 2sinasinbcos(a + b)

f tan(a b) tan b cos(a b)

tan(a b) tan b cos(a b)

sin cos c sin3xcos3x

d sin150cos750 e cos2150 – sin2150 f 2sin22x – 1

3 Tính:

a tan150 , sin150 b cos67030’ , sin67030’

c cos100sin500cos700

-+ +

e cosx sin x cosx sinx 2t an2x

cosx sin x cosx sinx

Công thức biến đổi:

1 Biến đổi thành tổng:

a sin360cos240 b sin360sin540

c cos360cos240 d cos240sin660

2 Biến đổi tổng thành tích:

a cos360 + cos240 b cos540 – cos360

c sin720 – sin180 d sin700 + sin200

++

a Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina

b Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana

c Nếu tanatanb = 1 thì sin2a = sin2b ; cos2a = –cos2b

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH

Hệ thức lượng trong tam giác thường:

Một số quy ước trong tam giác ABC

Cạnh: AB = c ; AC = b ; BC = a

Độ dài đường cao : AA’ = h a ; BB’ = h b ; CC’ = h c

Độ dài đường trung tuyến: AM = m a ; BN = m b ; CP = m c

Độ dài các đường phân giác trong của góc A; B; C

Là: l a ; l b ; l c

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác : R

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác : r

Nửa chu vi tam giác:

5/ Cho tam giác ABC có A =600 , hc = 3 , R = 5 Tính các cạnh của tam giác

6/ Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM = 6 , CN = 9 hợp

nhau một góc 1200 Tính các cạnh của tam giác

7/ Cho tam giác ABC có AB = 3 , AC = 5 , A = 1200

a) Tính BC , đường cao AH và trung tuyến AM

b) Gọi E , F là hình chiếu của H trên AB và AC Tính EF c) Tính độ dài đường phân giác trong AD của DABC

Cho tam giác ABC có AB = 6 , AC =10 , BC = 14

a) Tính góc A , R , r

b) Phân giác trong góc A cắt BC tại E Tính BE , CE

8/ Cho tam giác ABC có AB = 3 , BC = 5 , AC = 6 Trên cạnh

AB và BC lấy điểm M và K sao cho BM = 2 AM , 3KB = 2KC Tính MK

9/ Cho tam giác ABC có B = 600 , C = 450 , a = 3 Tính b , c

Chứng minh hệ thức :

1 Cho tam giác ABC Chứng minh :

a) a = b.cosC + c.cosB b) sinA = sinB cosC + sinC cosB c) ha = 2RsinBsinC d) ma2 + mb2 + mc2 = 3

4(a

2 + b2 + c2) e) b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB)

2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng :

(b -c )(b +c - a )

b) AB.CE = AC.BD Û b2 + c2 = 2a2

4 Gọi S là diện tích DABC Chứng minh rằng :

a) S = 2R2sinA.sinB.sinC b) S = Rr(sinA + sinB + sinC)

5 Cho tứ giác lồi ABCD , gọi a là góc hợp bởi hai đường chéo

AC và BD Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức : S = 1

2AC.BD.sina Nêu kết quả trong trường hợp tứ giác có hai đường chéo vuông góc

ĐƯỜNG THẲNG:

1/ Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) và tổng quát của

đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

1) Qua A(-1; -3) và có VTCP a ( ; )r= -3 2

2) Qua A(3; -4) và có VTCP a ( ;r= 0 -2)

3) Qua M(- 4; 0) và có VTPT n ( ; )r= 1 5

4) Qua B(-2; 6) và có VTPT n ( ; )r= 0 3

-5) Qua hai điểm A(-2; 3) và B(4; - -5)

6) Qua hai điểm M(4; 2) và N(-5; 2)

7) Qua A(2; 3) và song song với trục Ox

8) Qua M(2; -5) và song song trục Oy

9) Qua B(6; -3) và vuông góc với phân giác góc xOy

10) Qua C(-1; 2) và song song với phân giác phần tư thứ II cùa

mp Oxy

11) Qua D(-3; -2) và song song (d): 3x -2y + 4 = 0

12) Qua E(0; 2) và vuông góc (d): 2x +3y - 4 = 0

13) Là đường trung trực của đoạn AB với A(-2; 2) ; B(3; -4)

2/ 1 Chứng minh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

5 Viết phương trình đường thẳng qua M(5; -3) và cắt Ox; Oy

lần lượt tại A và B sao cho M là trung điểm của đoạn AB

3/ Viết phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam

giác ABC biết trung điểm các cạnh AB; AC; BC lần lượt là

M(-1; 2) ; N(2; -2); P(4; -1)

4/ Cho tam giác ABC cĩ A(0; -1); B(-3; 2); C(2; 0)

1 Viết phương trình ba cạnh của tam giác

2 Viết phương trình ba đường trung tuyến của tam giác suy ra

trọng tâm của tam giác ABC

3 Viết phương trình ba đường cao của tam giác suy ra trực

tâm của tam giác ABC

4 Tìm điểm đối xứng B1 của B qua AC suy ra phương trình

đường thẳng đối xứng của AB qua AC

5/ Cho đường thẳng (d): 5x + 2y -18 = 0 và điểm M(7; 6)

1 Tìm hình chiếu H của M trên (d)

2 Tìm điểm M’ là đối xứng của M qua (d)

6/ Viết phương trình các cạnh của tam giac ABC trong các trường

Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

1/ Tìm tọa độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

(d ) : x y và (d ) :

ì =ï

= +ïỵ

a) Tìm điểm M thuộc (d) và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5

b) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và đường thẳng :x + y + 1 =

b) Khi (d ) và (d ) cắt nhau tại M tìm tập hợp điểm M 1 2

c) Định m để (d ) và (d ) cắt nhau tại một điểm nằm trên 1 2trục tung Tìm điểm đĩ

= +ỵ

c) Cách đều hai đường thẳng : 4x - 3y + 2 = 0 và y – 3 = 0

4 Cho đt (d): 3x - 4y + 6 = 0 và hai điểm A(4; 1); B(-2; 3)

a) Chứng minh (d) cắt đoạn AB

b) Tìm tập hợp điểm M luơn cách (d) một đoạn bằng 5

5 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ phương trình hai cạnh:

3x + 2y – 7 = 0; 2x – 3y + 5 = 0 và một đỉnh A(2; -3) Tính diẹn tích của hình chữ nhật ABCD

6 Cho hình vuơng cĩ các đỉnh nằm trên hai đường song song:

a) Chứng minh A và B nằm về cùng phía đối với (d)

b) Tìm trên (d) điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất

c) Tìm trên (d) điểm N sao cho MA MB- lớn nhất

10 Cho hai điểm A(2; 2) ; B(5; 1) Tìm điểm C trên đường thẳng

(d): x – 2y + 8 = 0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17

BÀI TOÁN TỔNG HỢP:

1 Viết pt đường thẳng qua A(3; 0) và cắt hai đường thẳng

2x – y – 2 = 0 và x + y + 3 = 0 tại hai điểm B; C sao cho A

là trung điểm của BC

2 Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3

2 và hai đỉnh A(2; -3) ; B(3; -2) Biết trọng tâm G nằm trên (d): 3x – y – 8 = 0 tìm tọa

độ đỉnh C

3 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết:

a) Đỉnh A(1; 3) và pt hai trung tuyến: x – 2y + 1 = 0; y – 1 =

c) Đỉnh A(2; -7) Phương trình một đường cao và một trung

tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau lần lượt là :

1 7 15 0 2 7 5 0

(d ) : x- y+ = và (d ) : x y+ + =

f) Đỉnh A(3 ; -1) phương trình một phân giác và một trung

tuyến vẽ từ hai đỉnh khác nhau là:

3 Viết phương trình đường trịn biết :

a) Đường kính AB A(-2; 1) ; B(4; -5)

e) Qua A(6; 3) ; B(3; 2) và tiếp xúc với đt: (d) : x + 2y - 2 = 0

f) Qua M(-1; -2); N(2; 1)và tiếp xúc với đt: (d) :2x – y + 2 = 0

g) Qua A(-2; 1) và tiếp xúc với đường thẳng (d):3x - 2y – 6 = 0

tại điểm B(4; 3)

h) Qua M(0; 2) và tiếp xúc với đường thẳng (d):3x + 4y -16 =

0 tại điểm N(-8 26

5; 5 ) i) Qua E(9; 9) và tiếp xúc với trục Ox tại điểm F(6;0)

j) Qua A(1; 3) tiếp xúc với hai đt (d1): x + 2y + 2 = 0; (d2) : 2x – y + 9 = 0

k) Qua O tiếp xúc với hai đường thẳng

(d1): x + y - 4 = 0; (d2):x + y + 4 = 0

l) Qua M(3; -6) tiếp xúc với hai trục toạ độ

m) Tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): x + y + 4 = 0 ;

(d2):7x-y+4 = 0 và có tâm trên đt (d3):4x+3y-2 = 0

n) Tiếp xúc với hai đường thẳng (d1): 4x + y - 2 = 0 ;

(d2):x + 4y +17 = 0 và có tâm trên (d3):x -y+5 = 0

o) Ngoại tiếp tam giác ABC A(- 2; 1) B(6; - 3); C(8; 4)

p) Ngoại tiếp tam giác ABC A(6; 2) ; B(3;7); C(8; -2)

q) Ngoại tiếp tam giac ABC Biết pt 3 cạnh của tam giác là:

x – 5y – 2 = 0; x – y + 2 = 0 ; x + y – 8 = 0

r) Có tâm I(-3; 2) và tiếp xúc với trục Ox

s) Có tâm I(-3; -5) và tiếp xúc với trục Oy

t) Có bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng

5 Viết pt tiếp tuyến với đường tròn (C ) thoả điều kiện :

a) (C):x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0 biết song song với đường thẳng (d): 2x - y + 19 = 0

b) (C) : x2 + y2 - 4x - 2y + 13 = 0 biết đi qua A(3; -2)

c) (C) : x2 + y2 = 25 biết qua A(1; 7) Tìm toạ độ tiếp điểm

và tính góc hợp bởi hai tiếp tuyến

6 Cho đường tròn (C) : (x - 2)2 + y2 = 9

a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại A(-1; 0)

b) Viết pt tiếp tuyến (C) biết song song (d):x + y - 2 = 0

c) Viết pt tiếp tuyến (C) biết vuông góc với (d): 12x+5y-50 =

0

d) Viết pt tiếp tuyến(C)biết rằng hợp với(d):2x + y - 2 = 0 một góc 600

2 Viết pt chính tắc của các (E) trong các trường hợp sau:

a) Hai tiêu điểm F1(-8; 0) ; F2(8; 0) và có tâm sai bằng 3/4 b) Độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự c) Tiêu cự bằng 8 và qua điểm M( 15; -1)

d) Độ dài trục lớn bằng 16; tâm sai bằng 3/4,

e) Đi qua hai điểm M(4; - 3 ) ; N(2 2 ; 3)

f) Qua điểm M(3 2 3; )và bán kính qua tiêu điểm trái của M

là 4 3

g) Một cạnh hình chữ nhật cơ sở :y –2 = 0 và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng 8

h) Tâm sai bằng 4/5 và nội tiếp đường tròn x2 + y2 –25 = 0

3 Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 đường thẳng (D) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm F2 cắt (E) tại M và N.Tìm toạ độ M;N và độ dài MF1 ; MF2 ; MN

4 Tìm điểm M trên (E)

a) (E): 5x2 + 9y2 - 45 = 0 sao cho 2MF1 =MF2

b) (E): 9x2 + 25y2 - 225 = 0 Sao cho 4MF2 = MF1

c) (E): 9x2 + 25y2 -225 = 0 sao cho điểm M nhìn F1F2 dưới một góc 900

d) (E): x2+ 5y2 = 20 sao cho điểm M nhìn F1F2 dưới một góc vuông

e) (E):16x2 +25y2– 400 = 0 sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc 600

f) (E):4x2 + 25y2–144 = 0 sao cho M nhìn F1F2 dưới một góc

1200

5 Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau: