Gọi M là trung điểm của SA.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần 1.. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của E.. Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.. Tìm m b
Trang 1Së GD & §T hµ néi
líp 12V 1
M«n thi: To¸n
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số 2 2
1
x y x
−
= + (C)
1 Khảo sát hàm số
2. Tìm m để đường d: y = 2x + m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5
Câu II (2,0 điểm)
3 sin sin 2 tan
2
x + x = x
16 6 2
x x
+ + − ≤ + − −
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
1 2
1 ( 1 ) x x
x
+
Câu VI (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a 2 Đáy là tam giác ABC cân · 0
120
BAC = , cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC Gọi M là trung điểm của SA Tính khoảng cách từ M đến
mặt phẳng (SBC)
Câu V (1,0 điểm)
Cho a b c , , là những số dương thỏa mãn: a2+ + = b2 c2 3
Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 24 24 24
a b b c c a + + ≥ a + b + c
I. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho Elíp (E) có tiêu điểm thứ nhất là ( − 3;0) và đi qua điểm 4 33
1;
5
Hãy xác
định tọa độ các đỉnh của (E)
2 Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) : S x + y + − z 4 x + 2 y − 6 z + = 5 0, ( ) : 2 P x + 2 y z − + = 16 0 Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác định vị trí của M, N tương ứng
Câu VIIa (1,0 điểm)
Giải phương trình (ẩn z) trên tập số phức: 1
3
=
−
+
z i
i z
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12
2. Cho đường thẳng ∆ : 1 3
x − = y − = z
và điểm M(0; -2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M song song với đường thẳng ∆ đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) bằng 4
Câu VIIb (1,0 điểm)
2 3
log log log 10
Lưu hành nội bộ
Trang 2Câu Đáp án Điểm
I
(2,0
điểm)
1 (1,25 điểm)
Với m = 0, ta có hàm số y = – x3 – 3x2 + 4
Tập xác định: D = ¡
Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y’ = – 3x2 – 6x, y’ = 0 ⇔ =xx 0= −2
y’ < 0 ⇔ >xx 0< −2 y’ > 0 ⇔ – 2 < x < 0
Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ ; − 2) và (0 ; + ∞)
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0)
0,50
• Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = y(–2) = 0;
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 4
• Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
Đổ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 4),
cắt trục hoành tại điểm (1 ; 0) và tiếp
xúc với trục hoành tại điểm (− 2 ; 0)
0,25
2. (0,75 điểm)
0,25 0,50
II
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Phương trình đã cho tương đương với phương trình :
3 sin x cos x 0
=
0,50
n
x ( 1) n , n
3
6
π
= − + π ∈
= − + π ∈
¢
¢
0,50
2. (1,0 điểm)
Điều kiện: x > – 2 và x ≠ 5 (*)
Với điều kiện đó, ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:
log (x 2) x 5 + − =log 8 ⇔ (x 2) x 5 8+ − = ⇔ (x −3x 18)(x− −3x 2) 0− = 0,50
2 2
x 3; x 6; x
2
− − =
0,50
x y' y
−∞
−∞
+∞
+∞
2
−
0
0 0
0
4
−
4
3
y
x
Trang 3H
P
C
A
B
N
ϕ
Đối chiếu với điều kiện (*), ta được nghiệm của phương trình đã cho là: x 6= và x 3 17
2
±
=
III
(1,0
điểm)
Kí hiệu S là diện tích cần tính
Vì
ln8
ln 3
e + > ∀ ∈1 0 x [ln 3 ; ln8] nên S= ∫ e +1dx 0,25 Đặt ex+1 = t, ta cĩ dx 2tdt2
=
−
Khi x = ln3 thì t = 2, và khi x = ln8 thì t = 3
0,25
Vì vậy:
IV
(1,0
điểm)
Dựng SH AB ⊥
° Ta có:
SH (ABC)
⇒ ⊥ và SH là đường cao của hình chóp
° Dựng HN BC, HP AC ⊥ ⊥
° ∆SHN = ∆SHP ⇒ HN = HP
° ∆AHP vuông có: HP HA.sin60o a 3 .
4
0,50
∆SHP vuông có: SH HP.tg a 3 tg
4
Thể tích hình chóp S.ABC : V 1 .SH.SABC 1 a 3 . .tg a 3 a2 3 tg
V
(1,0
điểm)
Ta cĩ :
P
Nhận thấy : x2 + y2 – xy ≥ xy ∀x, y ∈ ¡
Do đĩ : x3 + y3≥ xy(x + y) ∀x, y > 0 hay
2 2
x y
y + x ≥ + ∀x, y > 0
0,50
Tương tự, ta cĩ :
2 2
y z
z + y ≥ + ∀y, z > 0
2 2
z x
x + z ≥ + ∀x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P ≥ 2(x + y + z) = 2 ∀x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại cĩ P = 2 khi x = y = z = 1
3 Vì vậy, minP = 2
0,50
VI.a
(2,0
điểm)
1 (1,0 điểm)
Viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (x – 3)2 + y2 = 4
Suy ra trục tung khơng cĩ điểm chung với đường trịn (C) Vì vậy, qua một điểm bất kì trên tục tung
Xét điểm M(0 ; m) tùy ý thuộc trục tung
Qua M, kẻ các tiếp tuyến MA và MB của (C) (A, B là các tiếp điểm) Ta cĩ:
Gĩc giữa 2 đường thẳng MA và MB bằng 600 ·
·
0 0
⇔
0,25
Vì MI là phân giác của ·AMB nên :
0
IA
sin 30
0,25
Trang 4(2) · 0 2
0
Dễ thấy, không có m thỏa mãn (*) Vậy có tất cả hai điểm cần tìm là: (0 ; − 7 ) và (0 ; 7 )
2 (1,0 điểm)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d, ta có MH là đthẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d 0,25
Vì H ∈ d nên tọa độ của H có dạng : (1 + 2t ; − 1 + t ; − t)
Suy ra : MHuuuur= (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
Vì MH ⊥ d và d có một vectơ chỉ phương là ur
= (2 ; 1 ; −1), nên : 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = 2
3 Vì thế, MHuuuur = 1; 4; 2
− −
0,50
Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng MH là:
x 2 t
y 1 4t
z 2t
= +
= −
= −
0,25
VII.a
(1,0
điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
C (x 1)− +C x (x 1)− + +K C x (x 1)− − + +K C x (x 1) C x− + 0,25
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x2 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 6
6
C (x 1)− và 1 2 5
6
Hệ số của x2 trong khai triển 0 6
6
C (x 1)− là : 0 2
6 6
C C
Hệ số của x2 trong khai triển 1 2 5
6
C x (x 1)− là : 1 0
6 5
C C
Vì vậy, hệ số của x2 trong khai triển P thành đa thức là : 0 2
6 6
6 5
C C
VI.b
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm) Xem phần 1 Câu VI.a.
2 (1,0 điểm)
Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, suy ra G =
; 3 3
8
; 3 7
2 2
MA
2 2 2 2 2
2 2
MG
=
0,25
⇔
3 3
19 1
1 1
3 3 3 / 8 3 / 7 )) P ( , G ( d
+ +
−
−
−
=
3
64 9
104 9
32 9
56 GC GB
GA2 + 2 + 2 = + + =
VËy F nhá nhÊt b»ng
9
553 3
64 3
3
19 3
2
= +
VII.b
(1,0
điểm)
Theo công thức nhị thức Niu-tơn, ta có:
C (x 1)− +C x (x 1)− + +K C x (x 1)− − + +K C x (x 1) C x− + 0,25
Suy ra, khi khai triển P thành đa thức, x3 chỉ xuất hiện khi khai triển 0 5
5
C (x 1)− và 1 2 4
5
Hệ số của x3 trong khai triển 0 5
5
C (x 1)− là : 0 3
5 5
C C
Hệ số của x3 trong khai triển 1 2 4
5
C x (x 1)− là : 1 1
5 4
C C
Vì vậy, hệ số của x3 trong khai triển P thành đa thức là : 0 3
5 5
C C 1 1
5 4
C C