II Định nghĩa chuẩn : cho K là một trờng số.. IV Định lý Ma son : K là một trờng đóng đại số đặc số không.. a,b,c là các đa thức khác hằng số trên K và nguyên tố cùng nhau sao cho b + c
Trang 1Lớp CH pp toán
Các bài toán chọn lọc về số học
I) sơ đồ giải BT pec ma ;
BT1: tìm nghiệm nguyên dơng của PT :
Xy =z 2
BT2 : Tìm nghiệm nguyên dơng PT :
X 2 + y 2 = z 2 .
BT 3 : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dơng :
X 4 +y 4 = z 2
BT4 : : CMR : PT sau không có nghiệm nguyên dơng:
X 4 +y 4 = z 4
BT 5 : cho pt : x n + y n =z n (1)
CMR : pt(1) vô nghiệm với mọi n≥ 3 ⇔ pt( 1 ) vô nghiệm với mọi n là số nguyên tố ≥ 3
II) Định nghĩa chuẩn : cho K là một trờng số khi đó ϕ là một hàm
số trên K ĐGL một chuẩn trên K nếu tm các ĐK sau :
1) ϕ (0) =0; ϕ (a) >0 ∀ a ≠ 0.
2) ϕ (a.b) =ϕ (a) ϕ (b).
3) ϕ (a+b) ≤ϕ (a) + ϕ (b) ( bđt tam giác )
III) chuẩn phi csi mét : Cho trên trờng K một chuẩn ϕ .
ϕ đgl chuẩn phi acsi mét nếu : ϕ (a+b) ≤ Ma x (ϕ (a) ; ϕ (b) ).
IV ) Định lý Ma son :
K là một trờng đóng đại số đặc số không a,b,c là các đa thức khác hằng số trên K và nguyên tố cùng nhau sao cho b + c =a khi đó :
Ma x ( deg a ; deg b ; deg c ) ≤ n0(abc ) 1.–
Trong đó n0(a) : số nghiệm của đa thức a
V) Hệ quả : khong tồn tại các đa thức trong trờng đóng đại số đặc số không K ,khác hằng số , đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mạn PT :
a N +b n = c n ∀ ≥ 3
VI ) Định lý Dven port:
f và g là các đa thức trên trờng K , nguyên tố cùng nhau , sao cho :
f 3 ≠g 2 khi đó ta có :
deg ( f 3 - g 2 ) ≥ deg 1
2
1
+
f vII) giả thuyết abc :‘’ ’’
Gs a,b,c là các số nguyên ,nguyên tố cùng nhau và a+ b =c khi đó ,
o
ε
∀ , tồn tại số C sao cho :
Max( |a|;|b|;|c|) < C.N1 + ε Trong đó :
Trang 2Lớp CH pp toán
N =
abc
p
p
/ .
VI ) Số giả nguyên tố :
B là một số nguyên dơng cho trớc Nếu n là hợp số nguyên dơng Và b n
≡b ( mod n), thì n đgl số giả nguyên tố cơ sở b
VD : 561 là số giả nguyên tố cơ sở 2 vì:
2 561 ≡ 1( mod 561)
VII) : Chẩn p- adic :
KH : ϕ p :
Trong trờng số hữu tỷ Q : ta biểu diễn :
Q
a∈
∀ , a = pm
r
s
.
ϕ p = p−m khi đó ϕ p là một chuẩn phi ac si mét trên Q đgl chuẩn p adic.–
VIII ) Mở rộng hữu hạn :
I X) số đại số :
Cho mở rộng E/K ; u ∈E đgl phân tử đai số trên K nếu tồn tại 0
]
[
)
(x K x
≠ : f(u) = 0
Phân tử u ∈E đgl siêu việt trên K nếu u không là phân tử đại số trên
K ,tức là Nếu f(u) = 0 thì f(x) =0 , ∀f(x) ∈K[x].
Bổ đề : các số e , Π là các số siêu việt
B T : u 2 là số đại số trên trờng K ⇔ u là số đại số trên trờng K
X) Đa thức cực tiêu , đa thức đơn hệ :