Đáp Án Toán HSG Tỉnh NA bảng B

Thử lại thấy hàm số fx = cosx thỏa mãn 0.25 Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 04 trang)

Môn: TOÁN 12 THPT - BẢNG B

Điều kiện 5

3

Phương trình tương đương x32x 5 3 x3 2 5 3 x 0,75

Do hàm số f(t) = t3 + 2t đồng biến trên R, 0,75

f x( )f  5 3 xnên x = 5 3x 0,75

0,75

Vây phương trình có nghiệm 3 29

2

Từ y = m - x thay vào phương trình còn lại ta được : x3 mx2m0 (1) 0,5

Xét hàm số f x( )x3 mx2 m trên  0.5

Để hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

 Đồ thị hàm số y = f(x) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với Ox (*) 0,5

Ta có f x  ( ) 3  x2  2 mx ;

0

3

x

x







 



1

3 3 0

2 (27 4 ) 0

2

3

2

m

m









1

Vậy 3 3

2

m  hoặc 3 3

2

m  là giá trị cần tìm 0,5

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

(xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz 0.5

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

xy + yz + zx ≥ 33 x y z (1)2 2 2 0.5

Và 9+ x2y2 + z2y2 +x2z2 ≥ 1212x y z hay 9 + x4 4 4 2y2 + z2y2 +x2z2 ≥ 123 xyz (2) 0.5

(xy + yz + zx)(9 + x2y2 + z2y2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1

2 1

I



 

0.25

=

2

0

1 1 cos lim

t

t





0.5

Do

2

2 0

1

t

t

e t





2

2sin

t t



2

2 0

2 lim

2 4

2

t

t t

 

 

 

0,25

Suy Vậy I = 1+ 1 3

Trong mặt phẳng (ABC) : AM cắt BC tại A1

BM cắt AC tại B1 , CM cắt AB tại C1

Trong (DAA1) : Kẻ đường thẳng qua M song song với AD cắt DA1 tại A’

1

Xét tam giác DAA1 có MA’ // AD nên 1

1

ABC

S MA MA





Tương tự ta có 1

1

ABC

S MB MB





1

ABC

MC S MC





Suy ra MA' MB' MC' 1 do S MBC S MAC S MAB S ABC

không phụ thuộc vào vị trí điểm M

0.5

D

C

A1

B

A

A’

M

1 1 1

2 3 6

AMNP

AMCB

1

VAMCB =1

ABCD là tứ diện đều có độ dài cạnh bằng 1 nên VABCD = 2

Suy ra VAMCB = 1 2 2

.

Vậy VAMNP = 1

6 V AMCB =

2

f(x) Ta có : f(x).f(y) – sinx.siny = f(x+y) với mọi số thực x,y (1)

Với x = y =0 ta có f2(0) – f(0) =0  (0) 0

(0) 1

f f







0,5

Với f(0) = 0, từ (1) chọn y = 0 ta có f(x) = 0  x, điều này không xảy ra với

2

x y    Suy ra f(0) = 0 (loại)

0.25 Với f(0) = 1, từ (1) chọn y = -x ta có f(x).f(-x) + sin2x = 1    x 0,25

Chọn x =

2



f      f       

0 2

0 2

f f















0.25

Nếu

2

f     

 = 0 từ (1) chọn y =

2



.Ta có

0.25

C

D B

A

M N

P

sinx = cos (*)

f x          x       x R

Nếu

2

f      

 = 0 từ (1) chọn y =

-2



Ta có

f x          x       x R

0,25

Từ (*) và (**) suy ra f(x) = cosx   x R Thử lại thấy hàm số f(x) = cosx thỏa mãn 0.25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.