Chương 2HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH $1.. Phương pháp Gauss $3.. Một hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn số là một hệ có dạng :... Viết ma trận bổ sung của hệ phương trình t
Trang 1Chương 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
$1 Các khái niệm cơ bản
$2 Phương pháp Gauss
$3 Qui tắc Cramer
Trang 2$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
1.1 Định nghĩa 1 :
1) Một hệ phương trình tuyến tính
gồm m phương trình n ẩn số là một hệ có dạng :
Trang 4$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
2) Ma trận :
được gọi là ma trận hệ số của hệ (1)
) ( aij
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2 22
21
1 12
11
Trang 5$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
Gọi là cột hệ số tự do
và là cột ẩn số
Trang 6$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau :
Trang 7m m
n n
b
b b
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
Trang 8
$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
1.2 Định nghĩa 2 :
1) Hệ (1) hoặc (2) được gọi là hệ
phương trình tuyến tính thuần nhất, nếu :
b1 = b2 = … = bm = 0 tức là B = OKhi đó hệ trên thành :
Trang 9$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
O AX
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
n mn
m m
n n
n n
=
⇔
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
0
0
0
2 2
1 1
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
Trang 10$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhấtbao giờ cũng có nghiệm tầm thường :
x1 = x2 = … = xn = 0
2) Hệ (1) hoặc (2) là hệ phương trình
tuyến tính không thuần nhất, nếu :
∃i, với 1 ≤ i ≤ m sao cho bi ≠ 0 tức là B ≠ O
Trang 11$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
1.3 Định lý Kronecker Capelli :
Cho hệ phương trình tuyến tính (2)
Khi đó :
1. Nếu r(A) < r(A|B) thì hệ (2) vô nghiệm
2. Nếu r(A) = r(A|B) = n (n là số ẩn số) thì
hệ (2) có nghiệm duy nhất
Trang 12$1 CÁC KHÁI NI M C B N : Ệ Ơ Ả
3. Nếu r(A) = r(A|B) < n thì hệ (2) có vô số
nghiệm, được gọi là nghiệm tổng quát
của hệ, với n–r(A) ẩn tự do (hay ẩn phụ).Các ẩn tự do này đóng vai trò tham số,
sẽ lấy các giá trị tùy ý
Trang 14$2 PH ƯƠ NG PHÁP GAUSS :
2.1 Các bước thực hiện :
1) Viết ma trận bổ sung của hệ phương trình tương ứng
2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trêndòng đưa A về dạng bậc thang R :
(AB) → (RB’)Khi đó : AX = B ⇔ RX = B’
Trang 15$2 PH ƯƠ NG PHÁP GAUSS :
3) Viết lại hệ phương trình tuyến tínhứng với RX = B’ và giải hệ này
Trang 16=+
+
=+
+
=+
+
182
34
132
3
62
2
73
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 17−
=
− +
=
− +
5 5
3
1 13
3
1 3
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 18=
− +
+
−
=
− +
−
8 10
7 3
5 3
2 2
2 4
3 2
4 3
1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x
x x
x x
x x
x x
Trang 19BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
Bài 2.1 : Giải các hệ phương trình sau
−
−
=+
+
=+
+
22
4
65
2
1
2)
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
−
=+
+
=
−+
24
32
12
4
3
2)
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 20
BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
+
−
= +
−
−
= +
−
−
0 2
2
4 2
4 6
3
2
2 ).
3
3 2
1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x
x x
x x
x x
−
−
=
− +
= +
−
5 4
7
3 2
4
2 ).
4
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 21
BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
Bài 2.2 : Giải các hệ phương trình sau
+
−
= +
+
= +
+
= +
+
1 2
3 4
1 2
3
3 2
2
9 3
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 22BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
+
=
− +
+
−
= +
− +
= +
− +
4 7
4 3
2
5 2
5 3
1 22
13 3
1 5
3 2
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 23BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
−
=
− +
+
−
=
− +
−
8 10
7 3
5 3
2 2
2 4
3
2 ).
3
4 3
1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x
x x
x x
x x
+ +
= +
− +
3 4
2 2
6 2
4 2
2 3
2 ).
4
4 3
2 1
4 3
2 1
4 3
2 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Trang 24
trong đó A là ma trận vuông cấp n
và B là ma trận cấp nx1
Trang 25$3 QUI T C CRAMER : Ắ
Đặt : ∆ = detA ∆j = detAj , với 1 ≤ j ≤ n
trong đó Aj là ma trận có được từ Abằng cách thay cột j bằng cột B
Trang 262) Nếu ∆ = 0 và ∆j ≠ 0 với một j nào đó
thì hệ (2) vô nghiệm
Trang 280 2
4 3
0 6
2
11
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 29−
=
− +
+
−
=
− +
−
0 )
13 (
24 12
2 10
) 19 (
10
6 12
) 7 (
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x m
x x
m x
x m
x
m x
x x
m
Trang 30BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
Bài 2.3 : Giải các hệ phương trình sau
=+
−
04
3
14
2
2
2)
1
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
+
=+
+
=+
+
23
12
2
1)
2
3 2
1
3 2
1
3 2
1
x x
x
x x
x
x x
x
Trang 31
BÀI T P : H ph Ậ ệ ươ ng trình tuy n tính ế
+
= +
+
= +
+
2 3
2 1
3 2
1
3 2
).
3
m mx
x x
m x
mx x
x x
+
+
=+
++
+
=+
+
1
1)
1(
)1(
2)
4
3 2
1
3 2
1
3 2
1
mx x
x
m x
m x
m x
m x
x mx
Trang 32
Chöông 2
HEÄ PHÖÔNG TRÌNH TUYEÁN TÍNH
Keát thuùc chöông 2