toán cao cấp hệ phương trinh tuyến tính

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tínhCông thức khai triển định thức theo dòng và cột Công thức khai triển định thức theo dòng và cột... Định nghĩa ma trậnĐịnh nghĩa ma trận Một ma tr

Chương 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Nguyễn Thị Hồng Nhung

Ngày 28 tháng 2 năm 2018

Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Định nghĩa ma trận

Định nghĩa ma trận

Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, mỗidòng có n phần tử như sau

Định nghĩa ma trận

♣ Khi đó ta ký hiệu A = (aij)1≤i ≤m, hay đơn giản là A = (aij)

♣ Ta cũng dùng ký hiệu [A]ij để chỉ phần tử ở vị trí (j, j ) của ma trận A

Ma trận chỉ có một cột cũng được gọi là vectơ cột

−4



Định nghĩa ma trận

Ký hiệu

Mm×n(R))

Hai ma trận bằng nhau

Nếu A = (aij) và B = (bij) là hai ma trận cùng cấp sao choaij = bij, ∀i , j

thì ta nói A và B bằng nhau, kỳ hiệu bởiA = B

Ví dụ 2

Ma trận vuông

Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n Khi đó

♣ Đường chứa các phần tử a11, a22, a33, , ann được gọi là đường chéochínhhay đường chéocủa A

là aij = 0, ∀i 6= j , thì A được gọi là ma trận đường chéo

♣ Ma trận đường chéovới các phần tử thuộc đường chéo lần lượt là

a1, a2, , anđược ký hiệu bởi diag (a1, a2, , an)

Ma trận vuông- Ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo cấp n với mọi phần tử thuộc đường chéo đều bằng

1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởiIn

Ma trận vuông- Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

aij = 0, ∀i > j ) thì A được là ma trậntam giác trên

aij = 0, ∀i < j ) thì A được là ma trậntam giác dưới

tam giác

Ví dụ 5

Ma trận vuông

Cho A = (aij) là ma trận vuông cấp n Khi đó

♣ Đường chứa các phần tử a11, a22, a33, , ann được gọi là đường chéochínhhay đường chéocủa A

là aij = 0, ∀i 6= j , thì A được gọi là ma trận đường chéo

♣ Ma trận đường chéovới các phần tử thuộc đường chéo lần lượt là

a1, a2, , anđược ký hiệu bởi diag (a1, a2, , an)

Ma trận vuông- Ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo cấp n với mọi phần tử thuộc đường chéo đều bằng

1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởiIn

Ma trận vuông- Ma trận tam giác

Cho A là ma trận vuông cấp n Khi đó

aij = 0, ∀i > j ) thì A được là ma trậntam giác trên

aij = 0, ∀i < j ) thì A được là ma trậntam giác dưới

tam giác

Ví dụ 8

Các phép toán trên ma trận-Tích của một số thực α với

ma trận A

(αA)ij = α[A]ij, ∀i , j (nghĩa là nhân α vào từng vị trí của A)

Ví dụ 9

Các phép toán trên ma trận-Tích của một số thực α với

Các phép toán trên ma trận-Chuyển vị ma trận

ma trận cấp n × m, có được từ A bằng cách xếp các dòng của Athành cột tương ứng, nghĩa là

Các phép toán trên ma trận-Chuyển vị ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tổng của hai ma trận

A + b là ma trận được xác định bởi

(A + B)ij = Aij + Bij.Như vậy, để tính A + B thì

A và B cùng cấp;

Cộng các vị trí tương ứng

Ví dụ 11

Các phép toán trên ma trận-Tổng của hai ma trận

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận

hai ma trậnA và B ( ký hiệu AB) là ma trận thuộc Mm×p(R) đượcxác định bởi

(AB)ij = Ai 1B1j+ Ai 2B2j+ + AinBnj.Như vậy, để tính AB thì:

Số cột của A bằng số dòng của B

Phần tử thứ (i,j) của AB bằng dòng i của A nhân cột j của B.

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận

Ví dụ 12

Các phép toán trên ma trận-Tích của hai ma trận

Các phép toán trên ma trận-Lũy thừa của ma trận

thuộc Mn(R), ký hiệuAk,được xác định bởi

A0= In; A1 = A, A2 = AA, , Ak = Ak−1A

Vậy, Ak = A.A A (Nhân k lần)

Ví dụ 13

Cho A =

Các phép toán trên ma trận-Lũy thừa của ma trận

Các phép toán trên ma trận-Đa thức ma trận

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Một phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận A là một phép biếnđổi ϕ nào đó ( biến A thành một ma trận A0) thuộc một trong ba loại sau:

1 Loại 1 ϕ hoán vị 2 dòng i và j của A, ký hiệu ϕ := di ↔ dj

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

Hai ma trận tương đương

Nếu ma trận B có được từ ma trận A qua hữu hạn các phép biến đổi sơ

Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang là ma trận thỏa mãn các điều kiện:

trên nằm bên trái phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới

F Chú ý:Ma trận 0 cũng là ma trận bậc thang

Ví dụ 17

ma trận 0).

Thuật toán Gauss

như sau

3 Với aij là phần tử trụ, ta thực hiện lần lượt các phép biến đổi

Thuật toán Gauss

Ví dụ 19

Dạng chính tắc theo dòng của ma trận

Dạng chính tắc theo dòng của ma trận là ma trận bậc thang và thỏa mãnđiều kiện

Các phần tử trụ (nếu có) là số 1

Trên các cột có chứa phần tử trụ, tất các các hệ số khác đều bằng 0

Định nghĩa 1

Một ma trận chính tắc theo dòng và tương đương dòng với ma trận A

Nhận xét 5

Thuật toán Gauss-Jordan (thuật toán chính tắc)

3’) Với aij là phần tử trụ, ta nhân dòng i của ma trận cho a1

ij để đưa

aij = 1

Thực hiện biến đổi dk− akjdi , ∀k 6= i , để đưa cột j về cột chuẩn

tắc theo dòng của A

Thuật toán Gauss-Jordan (thuật toán chính tắc)

Ví dụ 21

ϕ1, ϕ2, , ϕk, ma trận đơn vị Insẽ biến thành ma trận nghịch đảo

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

ma trận bậc thang rút gọn:

(A|In)−→ (Aϕ1 1|B1)−→ (Aϕ2 2|B2) −→ −→ (Aϕk k|Bk) −→

Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp

có ít nhất một dòng hay cột bằng 0 Khi đó A không khả nghịch

dòng hay cột bằng 0 Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng(In|B) Ta có A khả nghịch và A−1 = B

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo

Ví dụ 22

Phương trình ma trận

Cho A, C là các ma trận khả nghịch và B là một ma trận Khi đó

Ví dụ 23

Phương trình ma trận

Ví dụ 24





, X =

Hệ phương trình tuyến tính

tính dạng tam giác (hayhệ tam giác)

Ví dụ 26

Nhận xét 7

Hệ tam giác luôn có nghiệm duy nhất Nghiệm này được xác định bằngphép thế ngược các phương trình từ dưới lên

Hệ phương trình tuyến tính

hệ bậc thang) nếu A là ma trận bậc thang và hệ không chứa phương trìnhdạng 0x1+ 0x2+ + 0xn= a, với a 6= 0

Định lý 4

Giả sử AX = B là hệ phương trình bậc thnag gồm m phương trình và n

ẩn Khi đó

tam giác, nên hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm này được xác địnhbằng cách thế ngược các phương trình từ dưới lên trên

nghiệm với k ẩn tự do Đồng thời, các ẩn ứng với các cột không chứa

Hệ phương trình tuyến tính

Ví dụ 27

Dùng phép khử Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính

Phép khử Gauss

Để giải hệ phương trình tuyến tính dạng AX = B, ta thực hiện như sau:

0 0 0 |a
, với a 6= 0,thì hệ vô nghiệm

thúc ta được ma trận cơ sở mở rộng của hệ bậc thang Từ đó ta xácđịnh được nghiệm của hệ

Dùng phép khử Gauss

Ví dụ 28

Định lý Kronecker-Capelli

Định lý 6

Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B gồm m phương trình, n ẩn, códạng ma trận hệ số mở rộng eA = (A|B) Khi đó, r ( eA) = r (A) hoặc

r ( eA) = r (A) + 1 Hơn nữa,

♣ Nếu r (A) < r ( eA) thì hệ vô nghiệm

♣ Nếu r (A) = r ( eA) = n (bằng số ẩn) thì hệ có nghiệm duy nhất

♣ Nếu r (A) = r ( eA) < n thì hệ có vô số nghiệm

Hệ quả 1

Cho A là ma trận vuông cấp n Hệ phương trình AX = B có nghiệm duynhất khi và chỉ khi A khả nghịch Đồng thời, nghiệm duy nhất của hệ là

Dùng phép khử Gauss-Jordan

Ví dụ 29

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định nghĩa 2

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất nếu tất cả các hệ số tự do của hệđều bằng 0, nghĩa là hệ có dạng AX = 0

Nhận xét 8

u = (0, 0, , 0), gọi là nghiệm tầm thườngcủa hệ

là nghiệm duy nhât ( là nghiệm tầm thường) hoặc vô số nghiệm

ma trận hệ số mở rộng khi giải mà ta chỉ cần lấy chính ma trện hệ số

Định nghĩa

Quy tắc Sarrus

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Công thức khai triển định thức theo dòng và cột

Ma trận phó

Tìm ma trận nghịch đảo

Giải hệ phương trình tuyến tính