tài liệu ôn thi toán cao cấp - hệ phương trình tuyến tính

Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau.. Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.. Các PBĐSC trên hàng... PP KHỬ GAUSSAB các PBĐSC trên hàng MT bậc thang rank AB = rank

HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1

m

1 2 m n n



















  1, , ,2  n  thỏa m phương trình trên

21 22 2n 2

1

m















1

A









1 2

n

X

x x x





m

1 2

b b B

b





A X B 

HỆ PHUƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1

x x x







A X B 







11 12 1n 1

1

n

1 2 n n n



















HỆ CRAMER

j

1

j

j

A



j

j j

n

A



1 2

n

b b b



với: Nghiệm của hệ Cramer là 1 bộ gồm n số  x x1, , ,2  x n 

j j

det A det A

x 

3 7 4 3







1 2 2



3



3 5

2 2

10 3 3

x



10 3 3

y



2 3

1 2

10 3 3

y



det Ax 3

det Ay  2

det Az 2

0

det A

3 det A

x

det A

2 det A

y

det A

2 det A

z

Vậy, nghiệm của hệ là bộ:

 x y z , ,   3, 2,2 

HỆ CRAMER

Khối lượng tính toán

Số lượng (x,) cho 1 đt cấp n

!

n

n





1 !

n





3

1 !

n (+,) (x,)

10 39916789 59875200

30  2,7x1032  123,3x1032

109 phép tính/s

32

17

9

126 10

4 10

10 365 24 3600





  

3 bất lợi

PP KHỬ GAUSS

1

m



















21 22

2n







2

m

1

b b b















B

(ma trận các hệ số mở rộng)

21 22 2n 2

1

m















Đổi chỗ hai phương trình

Nhân hai vế của 1 phương trình với 1 số ≠ 0

Cộng trừ các vế tương ứng của 2 phương trình với nhau

Ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho

Nhận xét: chỉ có các hệ số thay đổi





Đổi chỗ hai hàng

Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0

Nhân 1 hàng với 1 số ≠ 0 đồng thời cộng vào hàng khác

Các PBĐSC trên hàng

PP KHỬ GAUSS

AB các PBĐSC trên hàng MT bậc thang

rank (AB) = rank (CD )

CẨN THẬN KHI THỰC HiỆN

3 7 4 3







2 3 5 10

2 2 1

3 3 1

3 2

 

 

h h h

h h h

1 3

2 3 5 10



h h

3 3 2

 

h h h

2

z 

y  z  

x   y  z 

Vậy hệ có duy nhất 1 nghiệm:  x y z , ,  3, 2,2 

PP KHỬ GAUSS

x y z

x y z









1 2 1 1

2 4 1 3

4 8 3 5

2 2 1

3 3 1

2 4

 

 

h h h

h h h 3 3 2

 

h h h

1

z  x 2y z 1

x  y  Đặt y    R

2 2

x   

Tập nghiệm của hệ là:   2 2 ,   , 1  R 

Vậy hệ có vô số nghiệm

2 4 3

x y z







1 2 1 1

2 4 1 3

4 8 3 6

2 2 1

3 3 1

2 4

 

 

h h h

h h h 3 3 2

 

h h h

Vậy hệ vô nghiệm

0x 0y 0z 1 !!!

PP KHỬ GAUSS





rank(A) = rank(AB) = n rank(A) = rank(AB) < n rank(A) < rank(AB)

Hệ

vô nghiệm

có vô số nghiệm

rank(A) = rank(AB) < n rank(A) < rank(AB)

Định lý Cronecker – Capelli

1 2 3 4

1 7 2 5 3 4 4

x x x x m

m







m

m



3 3 3 2

 

m

Hệ vô nghiệm  rank(A) < rank(AB)

2 2 1

3 3 1

 

 

h h h

m

PP KHỬ GAUSS

Khối lượng tính toán

3

n

n  n 

6

n

n  n 