Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìmMọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 2 Môn: Toán 10 Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Giải các bất phương trình sau:
a)−x2+5x−6≤0
3 2
3
1 >
−
−
x
x
c) x2−3x+2≤x−1
Câu 2:Cho
3
1 cos sinα − α = Tính sin2α và cos2α Với ∈0;2
π α
Câu 3: Cho x+y=1 Chứng minh rằng (1+x3)(1+y3)≤4 Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình
0 1 4 2
2
2 +y − x+ y+ =
x
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng d:
0 1 3
4x+ y− =
Trang 2ĐÁP ÁN
1a Xét f(x)=−x2 +5x−6 có hai nghiệm x=2 và x=3
Dựa vào trục số ta có
0 6 5
2 + − ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(−∞;2] [∪ 3;+∞)
0,5đ
1b
ĐK: 2x−3≠0 ⇔
2
3
≠
x
3 2
3
1 >
−
−
x
3 2
3
1 − >
−
−
x
3 2
) 3 2 ( 3
−
−
−
−
x
x
3 2
5
4 >
−
−
x x
⇔ (4−5x)(2x−3)>0
0.5đ
Xét f(x)=(4−5x)(2x−3) có hai nghiệm
2
3
=
x và
5
4
=
x
0 3 2
5
4 >
−
−
x
2
3 5
4 <x<
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
= 2
3
; 5
4
S
0.5đ
1c
1 2
3
2 − x + ≤x −
−
≤ +
−
≥ +
−
2 2
2
1 2
3
0 2 3
x x
x
x x
0.5đ
⇔
≤ +
−
≤
≥ 0 1 1 2
x x
x
⇔
≥
≤
≥ 1 1 2
x x
x
⇔ x x≥=12 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =[2;+∞) { }∪ 1 0.5đ
2
*) Cho
3
1 cos sinα− α =
0.5đ
Trang 3Từ
3
1 cos
9
1 cos
sinα − α 2 = ⇒
9
1 2 sin
9
8 2 sin α =
Ta có (cosα +sinα) (2 = sinα −cosα)2 +4sinα.cosα
9
17 9
8 2 9
=
Suy ra:
3
17 sin
cosα+ α =± Do ∈0;2
π
3
17 sin
cosα + α = Vậy cos2α =cos2α −sin2α
9
17 3
1 3
17 sin
cos sin cos
2
0.5đ
3 (1+x3)(1+y3)≤4 ⇔ x3+y3+x3y3≤3(*)
Ta có x3 +y3 =(x+y)3 −3xy(x+y) =1−3xy
(*)⇔1−3xy+x3y3≤3⇔ −2−3xy+x3y3 ≤0⇔ (xy+1)2(xy−2)≤0 (**)
4
1 4
2
≤
+
≤ x y
Vây (1+x3)(1+ y3)≤4
0.5đ
Đẳng thức xảy ra khi
= +
−
= 1
1
y x
xy
hay x, y là nghiệm phương trình t2 −t−1=0
⇔
+
=
−
= 2
5 1 2
5 1
t
t
vậy (x;y) =
2
5 1
; 2
5
2
5 1
; 2
5
4a Xác định tâm và bán kính
=
−
=
4 2
2 2
B
A
⇔
=
−
= 2
1
B
A Vậy tâm I(1; -2)
Bán kính R= 12 +(−2)2−1=2
1đ
1đ
4b Do tiếp tuyến vuông góc d: nên tiếp tuyến có dạng∆: -3x + 4y + C = 0
5
) 2 (
4 1 3
= +
− +
− C ⇔ C−11=10 ⇔ C C==121 1đ
Trang 4Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm
(Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa)