on tap TN( CT Chuan)

Phương pháp giải toán: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của HS Quy tắc:  B1: Tìm tập xác định.. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN: 1 Ph ương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ADạng 1: Biết t

Vấn đề 1 : ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I. Lý thuyết:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

♦ ∀ ∈ x K f x : ( ) 0/ ≥ ⇒ f x ( ) đồng biến trên K ( dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn )

♦ ∀ ∈ x K f x : ( ) 0/ ≤ ⇒ f x ( ) nghịch biến trên K ( dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn)

II. Phương pháp giải toán: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của HS

Quy tắc:

 B1: Tìm tập xác định.

 B2: Tính f/(x).Tìm các điểm xi(i = 1,2, ,n) mà f’(x) = 0 hoặc không xác

định

 B3: Lập bảng biến thiên

 B4: Căn cứ vào B3 suy ra chiều biến thiên của HS trong các khoảng xácđịnh

Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của HS 2 2 1

x

x x

Bảng biến thiên:

Vậy HS đồng biến trên các khoảng: ( −∞; 1) và ( 1; +∞), nghịch biến trên cáckhoảng: (1; 2) và (2; 3)

Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 là điểm cực tiểu của f(x)

 Chú ý: Nếu x0 là điểm cực trị ( hay còn gọi là điểm cực trị của HS) thì

y = f x là cực trị (hay còn gọi là cực trị của HS), và M(x0 ; f(x0)) là điểm cực trịcủa đồ thị HS

II. Phương pháp giải toán:

1. Dạng 1: Tìm điểm cực trị của HS

Cách giải: Aùp dụng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 để giải

* Quy tắc I:

1 Tìm tập xác định

2 Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc không xác định

3 Lập bảng biến thiên

4 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Ví dụ 1: Xác định cực trị của HS 2 2 1

x

x x

=



Bảng biến thiên:

Vậy HS đạt cực tiểu tại xCT = 3, và đạt cực đại tại xCĐ = 1

* Quy tắc II:

1 Tìm tập xác định

2 Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu x ii( 1,2, ) = là các

nghiệm của nó

0CĐ

Vậy HS đạt cực tiểu tại xCT = -1, và đạt cực đại tại xCĐ = -3.

2 Dạng 2: Tìm tham số để HS đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước

Cách giải:

 B1: Tính f/(x; m), với m là tham số

 B1: Căn cứ vào điều kiện BT rồi áp dụng điều kiện cần để tìm m.

 B3: Thử lại điều kiện đủ.

 Chú ý (ĐK cần): x 0 là điểm cực trị của f(x) ⇒ f x/( ) 00 = điều ngược lại nói chung không đúng.

Tìm Max, Min của y =f(x)trên (a;b) Tìm Max, Min của y =f(x)trên [a;b]

B1 Giải PT f/(x) = 0 Giải f/(x) = 0, Gs xi∈[a;b] là nghiệm

B2 Lập bảng xét dấu f/(x) Tính f(a), f(b), f(xi)

B3 Dựa vào bảng xét dấu để xác định

giá trị Max, Min của f(x)

Dựa vào các giá trị trên để tìm Mix, Min

II. Ví dụ:

1) Dạng 1: Tìm Max, Min của y =f(x) trên (a; b)

Bài toán: Cho HS y f x = ( ) = x4 − 2 x2

a) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên ( −2; 2 )

b) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên ( −∞; 0 )

c) Tìm GTLN, GTNN của HS đã cho trên (−∞; +∞)

Giải

Bảng biến thiên:

a) Qua bảng biến thiên ta thấy min ( )( 2;2) f x 1

−∞ không tồn tại

c) Qua bảng biến thiên ta thấy (min ( ); ) f x

−∞ +∞ và (max ( ); ) f x

−∞ +∞ không tồn tại

2) Dạng 2: Tìm Max, Min của y =f(x) trên [a; b]

I. KHẢO SÁT HÀM SỐ:

1 Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 )

• Tập xác định: D = R

• Sự biến thiên

 Tính đạo hàm y’

 Giải phương trình y’ = 0

 Xác định chiều biến thiên của hàm số

 Xác định thêm một số điểm đặc biệt

Điểm cực đại: A(1;1), điểm cực tiểu B(2;0)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: 3 1 ;

 Tính đạo hàm y’

 Giải phương trình y’ = 0

 Xác định chiều biến thiên của hàm số

 Nhận xét: đồ thị hàm số luôn có trục đối xứng là Oy

Dạng của đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0 )

x x x

Hàm số nghịch biến trong các khoảng: (−∞;–1) và (0;1)

Điểm cực đại: A(0;–1) Điểm cực tiểu: B(–1;–2),

d x c

d x c

y y

Cẩn thận khi tính lim

d x c

x → +∞

Khi vẽ đồ thị nên tìm giao điểm với hai trục:

 Cho x = 0 , tính y

 Cho y = 0 ,tính x Sau đó lấy đối xứng hai điểm này qua giao điểm I của hai đường tiệm cận

b y

cx d

= + có đồ thị cũng thuộc dạng này , chỉ đặc biệt ở chổ tiệm cận

−

= +

 Ví dụ 2 : Khảo sát hàm số 3

2 1

x y x

− +

= +

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN:

1) Ph ương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

A)Dạng 1: (Biết trước tiếp điểm)

a) Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)

tại điểm Mo(xo; yo)

b) Cách giải : Ta có k = f/( xo) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = k(x - xo) + yo

Chú ý: + k = f/( xo) là hệ số góc của tiếp tuyến

+ yo = f( xo) là tung độ của tiếp điểm

•Ví dụ: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếptuyến của (C) tại A(1;0)

Bài giải

Ta có y/ = 3x2 – 6x ⇒ k = y/(1) = −3 Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tạiA(1;0) là: y – 0 = −3(x – 1) ⇔ y = −3x +3

B)Dạng 2: (Chưa biết trước tiếp điểm)

a)Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp

tuyến (d)của (C) biết (d) thoả mãn 1 trong các điều kiện sau:

(d) đi qua điểm M0 (x 0 ; y 0) Chú ý: đi qua ≡ xuất phát ≡ kẻ từ (1)

(d) // (∆): y = k x + b, hoặc (d) có hệ số góc bằng k (2)

 suy ra tiếp tuyến cần tìm.

 Ví dụ 1: Cho hàm số y x = 3 − 3 x + 1 có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyếncủa (C) biết tiếp tuyến đi qua A(2; 3)

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: (d1): y = 9x – 15 và (d2): y = 3

 Ví dụ 2 : Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của

(C) biết tiếp tuyến cần tìm song song với (a): y = −2x + 8

Bài giải

Giả sử (d) là đường thẳng bất kì song song với (a), ta có :

(d): y = -2x + b

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: (d1): y = -2x – 1 và (d2): y = −2x + 7

 Ví dụ 3 : Cho hàm số y x = 3 − 3 x2 + 1 có đồ thị (C) viết phương trình tiếptuyến của (C) biết tiếp tuyến cần tìm vuông góc với (b): x + 9y – 9

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: (d1): y = 9x + 6 và (d2): y = 9x – 26

2) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:

a) Bài toán: Cho (C) là đồ thị của HS y = f(x), dựa vào (C) biện theo tham số m

số nghiệm của phương trình g(x, m) = 0

b) Cách giải:

 B1: Viết phương trình g(x, m) = 0 dưới dạng f(x) = h(m)

 B2: Số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = h(m) là số nghiệm củaphương trình đã cho

Ví dụ : Cho hàm số: f(x)= x3– 3x+ m (Cm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 2

b) Dùng đồ thị đã vẽ ở câu a) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) = 0

Giải:

a) Áp dụng kiến thức trên để giải câu a

b) Ta cĩ: x3–3x+m=0 ⇔x3– 3x+ 2 = 2– m (1)

m m

m m

3) Các bài tốn liên quan đến hàm phân thức hữu tỉ

a/ Tìm những điểm cĩ toạ độ nguyên trên đồ thị của hàm số y ax b

¢ x +c là ước số nguyên của m

- Cho x +c lần lượt bằng các ước số nguyên của m , từ đĩ suy ra x

- Với mỗi x vừa tìm được , thế vào hàm số để suy ra y , ta được các điểm cần tìm

b/ Biện luận số giao điểm của đồ thị ( C) của hàm số phân thức với

đường thẳng d:

Phương pháp :

- Lập pt hồnh độ giao điểm của ( C) và d

- Biện luận số nghiệm của pt trên theo tham số Số nghiệm của phương trình chính là sốgiao điểm của 2 đồ thị

3) Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay : (Phần này sẽ được

trình bày ở vấn đề 3 )

ấn đề 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

V

Bài 1: LŨY THỪA

1 Lũy thừa với số mũ nguyên

•Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Cho a ∈ R , n ∈ n Khi đó

n thừa số

.

n

a = a a a 123

•Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0

Cho a ≠ 0 Khi đó n 1 ; 10

n

a

2 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a > 0 và số hữa tỉ r m

n

= , trong đó m ∈R, n∈N, n≥2

Khi đó: ar = am n = n am

3 Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương , α là một số vô tỉ và ( ) rn là một dãy số hữa tỉ sao

Nếu 1 thì khi và chỉ khi

Nếu 0 1 thì khi và chỉ khi

m n m n

m

m n n

m m m

m m

Với a, b là các số dương, ta có :

3 Các quy tắc tính logarít

a)Logarít của một tích, thương

Với các số dương a, b b1, 2 và a ≠ 1, ta có:

b)Logarit của lũy thừa

Với các số dương a, b và a ≠ 1, α ∈ R, n ∈ n* , ta có:

c) Đổi cơ số

Với các số dương a, b, c và a ≠ 1, c ≠ 1, ta có

a)92log 2 3 b)log log 83 2 c)

1 3

a) 92log 2 3 = 9log 4 3 = 9log 16 9 = 16

b) log log 8 log 3 13 2 = 3 =

1 3

1 3

1 3

2 log 6 log 400 log 45

log 36 log 20 log 45

1 Phương trình mũ cơ bản: Là phương trình có dạng ax = b a ( > 0, a ≠ 1)

Nếu b ≤ 0, phương trình vô nghiệm

Nếu b > 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = logab.

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a)Đưa về cùng cớ số

Biến đổi phương trình về một trong các dạng sau:

Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình.

Ví duï 3 : Giải các phương trình sau

3 2

2 3

2 Cách giải một số phương trình logarit đơn giản

Chú ý:Không nên vội vàng giải phương trình mà quên đặt điều kiện của phương trình Điều kiện để log ( )a f x có nghĩa là: 0 < ≠ a 1 ; ( ) 0 f x >

a) Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về một trong các dạng sau

Dạng 1: log ( )a f x = g x ( )

Cách giải: log ( ) ( ) ( ) g x( )

a f x = g x ⇔ f x = a

Dạng 2: log ( ) log ( )a f x = ag x

Cách giải: log ( ) log ( )a f x = ag x ⇔ f x ( ) = g x ( )

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a./ log2x + log (2 x + = 3) 2 b./ 2

2 2

1 (1) log ( 3) log ( 7) 2 log 3 log ( 7) 2

Vậy phương trình cĩ nghiệm là x = 1

d./ log16x + log4 x + log2x = log 1082 (1)

Vậy phương trình cĩ nghiệm là : x =16

b) Đặt ẩn phụ: Nếu phương trình được biến đổi về dạng sau

log ( )a .log ( )a 0

Cách giải: Đặt t = log ( )a f x

Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm

Chú ý: Cĩ thể đặt t = ϕ ( ) x , trong đĩϕ ( ) x là một biểu thức chứa logarit

Ví dụ 5: Giải các phương trình

a./ log22 x + 2log2 x − = 2 0 b./ 1 log ( + 2 x − = 1) log 4x−1

2 2

2

2 log 1

1

4

x x

16 0

x x

Bài 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b( hoặc

a ≥ b a < b a ≤ b) với a > 0, a ≠ 1

2 Phương pháp giải một số bất phương trình mũ đơn giản

Bước 1 Đặt điều kiện

Bước 2 Biến đổi bất phương trình về một trong các dạng sau:

Cách giải: Đặt t = af(x) > 0 Ta cĩ bất phương trình bậc hai theo t

Giải tìm t , suy ra x, kết hợp ĐK ta cĩ nghiệm

x x

6 3

x x

II – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x b > ( hoặc

logax b ≥ ,loga x b < ,logax b ≤ ) với a > 0 , a ≠ 1

2 Phương pháp giải một số bất phương trình logarit đơn giản

Bước 1: Đặt điều kiện , chú ý ĐK của log ( )a f x là 0 1

( ) ; a>1 (1)

Giải bất phương trình tìm t, suy ra x, kết hợp ĐK ta được nghiệm

Ví duï 2: Giải các bất phương trình sau:

a./ log20,5x + log0,5x ≤ 2 b./ 2

2

2 log

4

0,5

0,5 0,5

x

x

x x

4 log 2

1

2

x x

10

x x

 < <

 >



ấn đề 3 : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

V

Bài 1: ĐẠO HÀM

I CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM:

Giả sử u, v là các HS có đạo hàm tại x là u/, v/ Khi đó ta có:

II BẢNG CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM:

Đạo hàm của hàm sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp

( )

2

u u

(ln ) u u

u

=

/ /

1 1 2 1 1 1 1 /

Bài 2: NGUYÊN HÀM

I – NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm

 Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàmcủa hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x K ∈

 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C ,

C R ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên K Kí hiệu:

f x dx F x= +C

∫ với f x dx ( ) là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x).

2 Tính chất của nguyên hàm

'( ) ( ) ( ) ( )

3 Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của hàm sơ

α α

II – PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số :

I – ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ] Giải sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [ a ; b ]

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác định

trên đoạn [ a ; b ] của hàm số f(x), kí hiệu là b ( )

II – TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K

1 Phương pháp đổi biến số

a Phương pháp đổi biến số dạng 1

1 9

x

= +

2

0 0

3(1 tan ) 1 9(1 tan ) 3 12

2 2

1

sin 3 3 2 2 sin (sin )

 Chú ý: Dấu hiệu nhận dạng đặt ẩn phụ

Hàm có dạng f x ( ,nϕ ( ) ) x t = nϕ ( ) x hoặc t = ( ) ϕ x

Hàm có dạng f x ( , ( ), ( ) ) ϕ x ϕ/ x t = ( ) ϕ x

Ví dụ

1/ I =

1 3 0

2

2 1 1

2 2 1

x dx x

dx du

(3 2 )cos 2 cos

π π

5

2 ln( x x − 1) dx

∫

2 2

1 ( 1)ln( 1) ( 1).

2 2

 Nếu m và n đều dương thì ta dùng công thức hạ bậc

Ví dụ: Tính

2 3 6 6

sin cos

π π

2) Tích phân hàm phân thức dạng ( )

q x = + q x Trong đĩ h(x) (thương của phép chia)

là một đa thức cịn r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức cĩ bậc nhỏ hơn bậc của q(x)

 Ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đĩ cho các giá trị của

x vào biểu thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng cácnghiệm của q(x) để tìm các hệ số được dễ dàng)

 Sau đĩ thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính

Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải q(x) phân tích về thành

*Chú ý: Nếu cĩ nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy

theo trường hợp nghiệm như thế nào (cách làm này cĩ lợi vì ta khơng cần xét dấuf(x))

Ví dụ :

1) Tính tích phân :

2 2 0

4 3

I = ∫ x − x + dx

2

Giải pt x − 4 x + = 3 0 ta được : x = ∨ = 1 x 3

Cho (C); (C1); (C2) là những đường cong liên tục trên đoạn [a; b]

1 Diện tích hình phẳng (hình thang cong) S giới hạn bởi :

2t dt

2 3

Ví dụ:Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các

đường sau quay quanh trục Ox : y = 1 3 2



Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là :

• Trong ứng dụng nếu các hàm số giới hạn bởi hình phẳng chưa

thể hiện điểm chung ( có tung độ y bằng nhau ) thì cần tìm điểm đó

bằng cách giải phương trình f(x) = g(x)

• Nếu các đường giới hạn có đồ thị dễ vẽ thì nên vẽ phác thảo đồ thị để dể làm bài hơn

• Cần chú ý tính đối xứng của hình ( nếu có ) để đơn giản hóa

cách giải

 i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần

ảo của số phức z = a + bi.

 Số thực a được coi là một số phức có phần ảo bằng 0 : z = a + 0i = a ∈R

 Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo : z = 0 + bi, b ∈ R

 Ta có i = 0 + 1i = 1i

 Số 0 là số phức duy nhất vừa là số thực, vừa là số ảo.

II BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bởi một điểm M(a, b) trên mặt phẳng tọa

độ Oxy Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng

phức Trục Ox được gọi là trục thực, trục Oy được gọi là trục ảo.

III CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :

Cho hai số phức z = a + bi (a, b ∈ R); z’ = a’ + b’i (a’, b’ ∈ R)

 Số nghịch đảo của z≠ 0 là 1

z =

1 2

z z

IV CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w

Tính chất: Cho số phức w, căn bậc hai của w có các tính chất:

 w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0

 w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau khác không thỏa z2 = w

 Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là a và - a

Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là − ai và - -ai

Chú ý : Cách tìm căn bậc hai của một số phức

Cho số phức w = a + bi và z = x + iy là căn bậc hai của số phức w Ta có (x ; y)

là nghiệm của hệ phương trình :

Vấn đề 5 : KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: ƠN TẬP

1 Định nghĩa:

Đường thẳng và mặt

phẳng gọi là song song với

nhau nếu chúng khơng cĩ

điểm nào chung

(P)

ĐL3: Nếu hai mặt phẳng

cắt nhau cùng song song

với một đường thẳng thì

giao tuyến của chúng song

song với đường thẳng đĩ

1 Định nghĩa:

Hai mặt phẳng được gọi là

song song với nhau nếu

chúng khơng cĩ điểm nào

chung

( )//( ) P Q ⇔ ( ) ( ) P ∩ Q = ∅

Q P

2 Các định lý: