Bài giảng điều khiển quá trình 6 doc

Ngoài các giả thiết được đặt ra tương tự như bình chứa chất lỏng trên đây, ta coi tốc độ phản ứng tổng thể tỷ lệ trực tiếp với nồng độ của A trong bình Phản ứng bậc nhất.. Tuy nhiên tron

- Tính phi tuyến

- Sự tương tác giữa các biến quá trình

4 Ví dụ thiết bị phản ứng liên tục

Xét thiết bị phản ứng liên tục trên hình 3.7 Giả sử dung dịch vào chứa A nguyên chất, trong bình xẩy ra phản ứng một chiều A  B, tạo ra sản phẩm là tổng hợp của A và B Tốc độ phản ứng riêng được

ký hiệu là k (s-1) Nồng độ ở đây có đơn vị là mol/m3 (số mol trên một đơn vị thể tích) và được ký hiệu là

c Ngoài các giả thiết được đặt ra tương tự như bình chứa chất lỏng trên đây, ta coi tốc độ phản ứng tổng thể tỷ lệ trực tiếp với nồng độ của A trong bình (Phản ứng bậc nhất) Như vậy, số mol của A mất di do phản ứng trên một đơn vị thời gian là - VkcA

Hình 3.7 Thiết bị phản ứng liên tục

Ta có thể sử dụng phương trình cân bằng vật chất toàn phần (3.5) như trong ví dụ bình chứa:

F F dt

dV



Các phương trình cân bằng thành phần cho cấu tử A và B được viết thành:

A A A

dt

Vc d





 0 0 )

(

(3.13)

A B

dt

Vc d





 ) (

Trong ba phương trình cân bằng vật chất trên đây thì chỉ có hai phương trình là độc lập với nhau Thông thường ta sử dụng hai phương trình (3.12) và (3.13)

Khai triển đạo hàm vế trái phương trình (3.13) ta có:

A A A A

dt

dc V dt

dV

c   0 0 

Thay thế đạo hàm của thể tích từ phương trình (3.12) và và rút gọn, ta nhận được phương trình vi phân chỉ chứa đạo hàm của biến nồng độ:

0 0

A n

A

V

F c k V

F dt

dc



















Mô hình quá trình bao gồm hai phương trình vi phân (3.12) và (3.15)

Khối lượng riêng

Vì mục đích đơn giản hoá, trong bốn ví dụ trên ta đều coi khối lượng riêng là không thay đổi Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, đặc biệt là liên quan đến chất khí hoặc hơi, khối lượng riêng không thể coi

là tham số hằng, khối lượng riêng một chất lỏng hoặc một chất khí phụ thuộc vào những tính chất vật lý như nhiệt độ, áp suất và thành phần

) , , (P T x f



Khối lượng riêng của một chất lỏng có thể coi là hằng số nếu như nhiệt độ và thành phần không thay đổi lớn Trong khi đó khối lượng riêng của chất khí cần phải thể hiện qua hệ số phụ thuộc áp suất, thể tích và nhiệt độ Từ phương trình đơn giản và rất thông dụng áp dụng cho chất khí lý tưởng trong đó:

P - áp suất tuyệt đối (kPa)

V – thể tích (m3)

n – hằng số mol (kg.mol)

R – hằng số khí lý tưởng = 8.31447 kPa.m3/kg.mol.K = 8.31447J/K.mol

ta xác định được khối lượng riêng của chất khí lý tưởng với khối lượng phân tử M thông qua công thức

RT

MP V

nM

3.3.2 Phương trình cân bằng năng lượng

Định luật bảo toàn năng lượng áp dụng cho hệ nhiệt động học, hay còn gọi là định luật thứ nhất của nhiệt động học được diễn đạt như sau:

 Biến thiên năng lượng tích luỹ  =  Tổng dòng năng lượng đưa vào  -  Tổng dòng năng lượng dẫn

ra  +  Tổng công suất nhiệt hấp thụ  -  Công tiêu hao ra bên ngoài 

Năng lượng toàn phần của một hệ thống động học U bao gồm nội năng U1, thế năng UP và động năng UK

K P

U

Trong nhiều quá trình nhiệt, thế năng và động năng cũng như công sinh ra có thể coi là không đáng kể so với nội năng và nhiệt năng, vì thế có thể bỏ qua Khi đó phương trình (3.19) có thể viết thành

q h h

dt

1 j

j Ra j Ra i

Vao m

1 i

i Vao





trong đó

UI – nội năng của hệ thông (J)

ωVào – lưu lượng khối lượng dòng vào hệ thống (kg/s hoặc kg/phút)

ωRa – lưu lượng khối lượng dòng ra hệ thống (kg/s hoặc kg/phút)

hvào – enthalpy của dòng vào (tính trên đơn vị khối lượng, j/kg)

hRa – enthalpy của dòng ra (tính trên đơn vị khối lượng, j/kg)

q – tổng lưu lượng nhiệt (công suất cấp nhiệt) bổ sung cho hệ thống thông qua dẫn nhiệt, bức xạ nhiệt, hoặc phản ứng hoá học (J/s hoặc j/phut)

Enthalpy

Enthalpy trên một đơn vị khối lượng được định nghĩa là

V P u h

Δ

ˆ



 (3.21) trong đó

u – nội năng tính trên một đơn vị khối lượng (J/kg)

P - áp suất trên thành ống (N)

Vˆ- thể tích riêng (nghịch đảo của khối lượng riêng , m3/kg)

Đối với các chất lỏng, thành phần năng lượng P ˆ V không đáng kể, do vậy phương trình (3.20) trở thành:

q h h

dt

j Ra j Ra m

i

i Vao i



¹ 1



Enthalpy là một đại lượng phụ thuộc vào thành phần, nhiệt độ và áp suất nhưng chủ yếu vào nhiệt độ h = f(P, T, x) Đây là một quan hệ phi tuyến và tương đối phức tạp Tuy nhiên, đối với nhiều bài toán mô hình hoá ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hoá, nếu như độ chính xác của mô hình không đòi hỏi quá cao Với định nghĩa nhiệt dung riêng tại một áp suất không đổi:

const P P

T

h C







và giả thiết enthalpy tại nhiệt độ quy chiếu Tref là hRef, ta có thể viết

)

h

Trong trường hợp áp suất và thành phần thay đổi không quá lớn, ta có thể sử dụng quan hệ đơn giản giữa enthalpy và nhiệt độ:

T C

cho các chất lỏng, cũng như:

v P

v C T

trong các chất khí và hơi, trong đó V là nhiệt hoá hơi trung bình Trong hai phương trình trên, bản thân nhiệt dung riêng CP (trong điều kiện áp suất không thay đổi) cũng là một hàm phụ thuộc nhiệt độ Một cách gần đúng ta có thể ứng dụng dạng đa thức:

T C

Trong trường hợp cần độ chính xác cao, enthalpy của một chất lỏng đồng nhất sẽ được biểu diễn lại theo nhiệt độ sau:

) (

2 ) ( )

0 2 0

0 0 0

0

T T T

T C h dT T C h h

T

P



Enthalpy của một hỗn hợp chất lỏng gồm nc cấu tử được xác định một cách đơn giản bằng cách lấy trung bình của từng cấu tử









 nc

i i i

nc

i

i i i

m x

m h x h

1

trong đó:

xi – phần khối lượng của cấu tử thứ i trong hỗn hợp

mi – khối lượng của phân tử cấu tử i

hi – enthalpy riêng của cấu tử thứ i (J/kg)

1 Ví dụ thiết bị gia nhiệt

Quay trở lại ví dụ về gia nhiệt trong phần 3.2.3 (Hình 3.3) Việc xây dựng mô hình cho hầu hết các quá trình trao đổi nhiệt nói chung dựa trên cơ sở phương trình cân bằng nhiệt lượng và phương trình truyền nhiệt cho trạng thái xác lập Tuy nhiên ở đây ta tạm thời dừng lại chỉ áp dụng phương trình cân bằng nhiệt lượng So với nhiệt lượng, động năng và thế năng trong một bộ trao đổi nhiệt là không đáng

kể, vì thế có thể bỏ qua Ở trạng thái xác lập, nhiệt lượng do dòng gia nhiệt toả ra đúng bằng nhiệt lượng

do dòng quá trình hấp thụ

) (

)

H h h  h h

Sử dụng quan hệ giữa enthalpy và nhiệt độ trong (3.25) và coi nhiệt dung riêng của từng dòng không thay đổi, phương trình cân băng nhiệt ở trạng thái ổn định trở thành:

) (

) ( H1 H2 C PC C2 C1

PH

H C T T  C T T

2 Ví dụ quá trình trao đổi nhiệt trực lưu

Quá trình pha trộn trực lưu được mở rộng thêm vấn đề trao đổi nhiệt trực tiếp giữa hai dòng và minh hoạ trên hình 3.8 Các ký hiệu cũng như tính toán được giữ nguyên ở đây ta đưa ra các giả thiết như sau:

- Dòng chảy chế độ xoáy và lấp kín các dường ống, nên thời gian trễ có thể xác định được từ lưu

lượng

- Quá trình tao đổi nhiệt diễn ra lý tưởng, có nghĩa là nhiệt độ T ở dòng ra là đồng nhất

- Nhiệt lượng tiêu hao ra môi trường xung quanh có thể bỏ qua

- Động năng và thế năng là không đáng kể so với nhiệt năng

- Khối lượng riêng của dòng vào và dòng ra không thay đổi đáng kể

Hình 3.8 Quá trình trao đổi nhiệt trực lưu

Ta cũng lưu ý rằng, trong quá trình trao đổi nhiệt trực lưu không có sự tích luỹ năng lượng, mặt khác ta chỉ quan tâm đến giá trị các biến tại những vị trí quan sát cố định Động học của hệ thống thể hiện

ở những phần tử trễ (do quá trình vận chuyển), phương trình cân bằng nhiệt chỉ phản ánh đặc tính của hệ

ở trạng thái xác lập

Với giả thiết và phân tích trên đây, phương trình cân bằng nhiệt (3.21) được áp dụng và cho ta:

) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

trong đó h1, h2 và h lần lượt là enthalpy của các dòng vào và dòng ra Sử dụng quan hệ giữa enthalpy và nhiệt độ (3.25) và coi nhiệt độ riêng của hai dòng chảy là như nhau, phương trình (3.33) sau khi rút gọn các số hạng liên quan tới hRef và TRef được biểu diễn với biến nhiệt độ sau:

ρF(t)T(t) )

θ (t )T θ (t F ρ ) θ )T(t θ (t F

ρ1 1  1  1  2 2  2 2  2  (3.34) Tất nhiên có thể tiếp tục đơn giản hoá phương trình (3.34) bằng cách coi 1 = 2 =  hoặc sử dụng biến lưu lượng khối lượng (kí hiệu ω) thay cho biến lưu lượng thể tích

1(t1)T1(t1)2(t2)T2(t2)(t)T(t) (3.35)

3 Ví dụ bình chứa nhiệt

Sơ đồ bình chứa nhiệt tự tràn được minh hoạ trên hình 3.9 Bình chứa trung gian có vai trò giảm giao động trong nhiệt độ của một dòng quá trình Để đơn giản hoá, trước hết ta giả thiết rằng hệ thống khuấy trộn hoạt động lý tưởng, có nghĩa là nhiệt độ đồng nhất và luôn bằng nhiệt độ ra Khối lượng riêng

 và nhiệt dung riêng Cp được coi là thay đổi không đáng kể trong phạm vi làm việc, nên giữa dòng vào, dòng ra và trong bình chứa cũng không có sự khác nhau về những giá trị này Tiếp theo, các thành phần động năng, thế năng và phần nhiệt tổn thất ra bên ngoài được coi là không đáng kể so với nhiệt đối lưu Phương trình cân bằng nhiệt trước hết được biểu diễn với enthalpy theo (3.22) :

h F h F dt

Vh d









 0 0 )

(

Do bình chứa tự tràn nên V= const và F0 = F Áp dụng (3.25), sau khi rút gọn, ta có phương trình cân bằng nhiệt biểu diễn theo biến nhiệt độ:

) (T0 T V

F dt

dT



 (3.37)

Hình 3.9 Bình chứ nhiệt

3.3.3 Phương trình cân bằng nhiệt

Hầu hết các quá trình công nghệ liên quan đến quá trình truyền nhiệt Vì vậy bên cạnh các phương trình cân bằng nhiệt lượng thì các phương trình mô tả truyền nhiệt có vai trò hết sức quan trọng trong mô hình hoá quá trình Hiện tượng truyền nhiệt được chia làm ba loại là dẫn nhiệt đối lưu và bức xạ

1 Dẫn nhiệt

Khi tồn tại chênh lệch nhiệt độ trong một vật thể liên tục, nhiệt được truyền theo chiều giảm nhiệt

độ mà không cần xẩy ra hiện tượng chuyển động vĩ mô Theo định luật Fourier, lưu lượng nhiệt tỷ lệ thuận và ngược dấu với gradient của nhiệt độ Với dòng nhiệt một chiều qua bề mặt A, ta có:

dz

dT k dA

dq



 (3.38)

q – nhiệt lượng (công suất nhiệt) theo hướng vuông góc với tiết diện

A – diện tích bề mặt dẫn nhiệt

z – khoảng cách theo chiều vuông góc với tiết diện

k – hệ số dẫn nhiệt (phụ thuộc vào vật liệu và nhiệt độ)

2 Đối lưu

Đối lưu là hình thức truyền nhiệt thông qua các dòng chảy vĩ mô (một chiều hoặc luân chuyển), ví

dụ từ một bề mặt nóng tới một dòng chảy hoặc giữa hai dòng chảy ngược chiều Trường hợp truyền nhiệt đối lưu giữa một bề mặt (tường, lớp chất lỏng, hạt rắn) với một dòng chảy đóng một vai trò hết sức quan

trọng trong các quá trình công nghệ Công suất truyền nhiệt qua một bề mặt được tính theo định luật Newton:

) (T s T f k

A

q



 (3.39)

trong đó:

Ts – nhiệt độ lớp bề mặt

Tf – nhiệt độ trung bình của dòng chảy

k – hệ số nhiệt đối lưu (phụ thuộc vào đặc tính dòng chảy và đặc tính nhiệt của lưu chất)

Hình 3.10 Truyền nhiệt qua lớp tường

Trường hợp hai dòng chảy trao đổi nhiệt gián tiếp với nhau qua một bức tường (Hình 3.10, ví dụ thành ống dẫn), hệ số truyền nhiệt tổng thể được xác định từ hệ số truyền nhiệt của bức tường, bề dày của bức tường và hệ số truyền nhiệt đối lưu Tuy nhiên, đây là quan hệ tương đối phức tạp, phụ thuộc vào nhiều yếu tố, vì vậy cũng có thể xác định thông qua thực nghiệm Công suất truyền nhiệt sẽ được tính theo công thức

) (T1 T2 uA

q  (3.40) trong đó:

u – hệ số truyền nhiệt tổng thể

T1 – nhiệt độ trung bình của dòng chảy thứ nhất

T2 – nhiệt độ trung bình của dòng chảy thứ 2Hai hình thức khác của truyền nhiệt đối lưu là gây ra trao đổi nhiệt giữa các phần trong chất lỏng hoặc chất khí đối lưu tự nhiên (ví dụ do hiện tượng khuyếch tán, chênh lệch về khối lượng riêng), và đối lưu cưỡng bức (với dụ gây ra bởi hệ thống máy bơm hoặc hệ thống khuấy trộn) Đây là các biện pháp công nghệ ít liên quan tới việc xây dựng mô hình toán học cho quá trình

3 Bức xạ

Bức xạ là hiện tượng tuyền năng lượng qua không gian thông qua sóng điện từ Tới một bề mặt, năng lượng đó có thể được hấp thụ, được phản xạ hoặc được truyền tiếp Khi phần năng lượng đó được

hấp thụ sẽ chuyển sang nhiệt lượng Gọi hệ số hấp thụ là , hệ số phản xạ là  và hệ số truyền nhiệt là ,

ta có quan hệ cơ bản sau đây:

1





Một vật đen được coi là một vật có khả năng hhấp thụ mạnh nhất, tức là có hệ số hấp thụ bằng 1 Ngược lại, một vật đen cũng có khả năng phát xạ mạnh nhất, tức là hệ số phát xạ  = 1 Năng lượng bức

xạ của vật đen tỷ lệ với luỹ thừa bậc 4 của nhiệt độ và tính theo định luật Stefan – Boltzmann:

4

trong đó:

Wb = công suất phát xạ trên một đơn vị diện tích

 - hằng số Stefan – Boltzmann

T – nhiệt độ tuyệt đối

Như vậy, hê số phát xạ của một vật bất kỳ chính là tỷ số giữa công suất phát xạ của vật đó so với công suất phát xạ của vật đen:

b

W

W

ε  (3.43)

Công suất phát xạ toàn phần của của một vật qua một diện tích sẽ được tính theo công thức:

4 1 1

A

q  (3.44) Theo định luật kirchhoff, công suất phát xạ của hai vật ở trạng thái cân bằng nhiệt độ đặt cùng một môi trường sẽ có quan hệ như sau:

2 2 1

1





w w

3.3.4 Phương trình động học phản ứng hoá học

* Tốc độ phản ứng

Tốc độ phản ứng riêng k là một hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ, thường được biểu diễn theo Arrhenius dưới dạng một hàm luỹ thừa:

RT E e k

0



 (3.46) trong đó k0 được coi là một hằng số, E là năng lượng kích hoạt thể hiện mức độ phụ thuộc nhiệt độ và R

là hằng số khí lý tưởng Cả hai tham số k0 và E cần được xác định từ thực nghiệm Phương trình (3.46) thể hiện một quan hệ phi tuyến mạnh Cũng cần lưu ý rằng, sự phụ thuộc của tốc độ phản ứng riêng vào nhiệt độ theo cấp luỹ thừa như trên chỉ đúng trong trường hợp lý tưởng (không hạn chế về không gian tiếp xúc và lưu lượng tham gia phản ứng), cũng như không xẩy ra quá trình chuyển khối (bốc hơi, ngưng tụ)

Tốc độ phản ứng tổng thể phụ thuộc vào tốc độ phản ứng riêng và nồng độ của các chất tham gia phản ứng Đối với phản ứng phụ thuộc chính tới một chất đầu vào (A B + C + ), tốc độ phản ứng tổng thể cũng thường là một hàm luỹ thừa đối với nồng độ A:

c T k

r ( ) (3.47) trong đó số mũ n có thể coi là số nguyên hoặc là phân số, trường hợp n = 1 còn được gọi là phản ứng bậc nhất, n = 2 được gị là phản ứng bậc 2 Đối với phản ứng có hai chất tham gia (A + B  C + D + ), ta có thể sử dụng công thức

b B a

A c c T k

* Điểm cân bằng hoá học

Điểm cân bằng hoá học trong một hệ thống phản ứng đạt được khi

0



 i nc

i

i 

trong đó

i – hệ số hoá học lượng pháp của cấu tử thứ i trong hỗn hợp (có dấu âm đối với chất tham gia phản ứng và dương với sản phẩm)

i – thế năng hoá học của cấu tử thứ i

Thế năng hoá học của một cấu tử trong hỗn hợp chất khí được xác định theo công thức

i i

i 0 RT ln P

trong đó

0

i

 - thế năng hoá học chuẩn của cấu tử thứ i

pi - áp suất riêng của cấu tử thứ i

Ví dụ, trong một phản ứng với hai chất khí A và B (A  B) ta có thể viết

0



B

B   



0 ) ln (

) ln

hay là

RT P

K

A A

B B

P

0 0



























Biểu thức trong dấu ngoặc ở vế trái được định nghĩa là hằng số cân bằng hoá học (KP) Hằng số này nói lên tỉ lệ cân bằng giữa sản phẩm và chất tham gia phản ứng Lưu ý rằng, vế phải của (3.52) chỉ còn phụ thuộc vào nhiệt độ

3.3.5 Phương trình cân bằng pha

Đối với một hỗn hợp gồm hai pha (ví dụ pha lỏng và pha hơi), cân bằng pha được định nghĩa là trạng thái mà thế năng hoá học của mỗi cấu tử ở hai pha bằng nhau:

II i I

i 

  (3.53) Các bài toán tiêu biểu đặt ra liên quan tới điểm cân bằng pha là tính toán điểm sôi, điểm sương

các pha Trong thực tế người ta sử dụng nhiều quan hệ đơn giản hoặc phức tạp khác nhau phục vụ các tính toán này Sau đây sẽ tóm tắt một số quan hệ thông dụng tồn tại hai pha lỏng và hơi

Định luật Dalton

Định luật Dalton áp dụng cho thể hơi có đặc tính lý tưởng Tại điều kiện áp suất không quá cao, áp suất riêng Pi của mỗi cấu tử chính bằng áp suất chung P nhân với phần mol của cấu tử trong hỗn hợp yi:

i

i Py

P  (3.54)

Định luật Raoult

Định luật Raoult áp dụng cho chất lỏng lý tưởng, thể hiện qua quan hệ:

i nc

i

i P x



 1

,

P

P x

y i i

i  (3.55) trong đó

xi - phần mol của cấu tử thứ i trong pha lỏng

yi - phần mol của cấu tử thứ i trong pha hơi

Pi - áp suất hơi của cấu tử thứ i

áp suất hơi của một cấu tử là một hàm chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ, thường được biểu diễn dưới dạng:

) / (A T B i

i

e

P   (3.56) Đối với chất lỏng không lý tưởng, định luật Raoult được mở rộng như sau:

i i

i P x

P  (3.57) trong đó: i được gọi là hệ số hoạt độ trong cấu tử thứ i Hệ số hoạt độ của một cấu tử sẽ bằng 1 khi cấu tử

đó có đặc tính lý tưởng Các hệ số hoạt độ phụ thuộc vào thành phần và nhiệt độ

Độ bay hơi tương đối

Trong một chất lỏng, độ bay hơi tương đối của cấu tử thứ i so với cấu tử j được định nghĩa là:

j j

i i ij

x y

x y

/

/



Độ bay hơi tương đối là một tham số ít thay đổi trong nhiều quá trình, vì vậy rất hay được sử dụng Ví dụ đối với quá trình hai cấu tử, ta có độ bay hơi tương đối của cấu tử dễ bay hơi so với cấu tử khó bay hơi là:

) 1 / ) 1 (

/

x y

x y







 (3.59)

Biết , ta dễ dàng xác định phần mol của cấu tử nhẹ trong thể hơi trong công thức