Cơ học công trình 14 ppsx

Lúc này, sau dấu tích phân nào cũng là tích của hai hàm số, phép “ nhân biểu đồ” Vêrêxaghin cho phép thay thế việc tính tích phân của tích hai hàm số bằng cách thuận tiện hơn.. Nội dung

Lúc này, sau dấu tích phân nào cũng là tích của hai hàm số, phép “ nhân biểu đồ” Vêrêxaghin cho phép thay thế việc tính tích phân của tích hai hàm số bằng cách thuận tiện hơn Nội dung như sau:

Nếu một trong hai hàm số dưới dấu tích phân có bậc nhỏ hơn hay bằng một về mặt toán học (hàm còn lại có bậc bất kỳ) thì:

y dz z B z A z

z

)

( )

(

2

1

W

=

Trong đó W là diện tích của biểu đồ có bậc bất kỳ lấy trên đoạn [z1, z2]

y là tung độ trên biểu đồ có bậc nhỏ hơn hay bằng một tại ví trí tương ứng với trọng tâm diện tích W

Thật vậy, trong biểu thức tích phân (3-20),

giả sử A(z) có bậc bất kỳ, đồ thị của A(z) được vẽ

như trên hình (H.3.25.a); B(z) có bậc nhỏ hơn hay

bằng một, đồ thị của nó được vẽ trên hình

(H.3.225.b) Kéo dài đồ thị B(z) đến cắt trục z tại

C, gọi hoành độ của điểm C là zo, góc của B(z) so

với trục z là a Khi đó có thể biểu thị B(z) như

sau:

B(z) = (z - zo).tga Thay vào trong dấu tích phân:

ò

-1 2

1

)

).(

( )

( )

(

z

z

o z

z

dz tg z z z A dz z B z

Thay A(z)dz = dW và đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân

ò

1 2

1

)

( )

( )

(

z

z

o z

z

d z z tg dz z B z

+ò2 W

1

z

z

d

z chính là mômen tĩnh của diện tích W đối với trục tung, nó chính bằng diện tích W nhân với khoảng cách zG từ trọng tâm G của diện tích W đến trục tung

+ò2 W

1

z

z

o d

z = zo.W

W

-=

2

1

o G z

z

z z tg dz z B z

Mặc khác dễ thấy (zG - zo).tga = yG: là tung độ của đồ thị B(z) lấy tại vị trí tương ứng dưới trọng tâm diện tích W Vậy

G z

z

y dz z B z

A( ) ( )

2

1

W

=

Viết lại (3 - 20) theo “phép nhân biểu đồ”

a

A(z) O

H.3.25.b

z

A

G

z1

W dW

z1

O

B

yG

zG

C z H.3.25.a

CƠ HỌC CÔNG TRÌNH Page 67

Dkm = (M k).(M m)+(N k).(N m)+(Q k).(Q m)

II Các chú ý khi nhân biểu đồ:

+ Phép “ nhân biểu đồ” chỉ áp dụng cho hệ gồm những thanh thẳng

+ Tung độ y bắt buộc phải lấy trên biểu đồ có bậc £ 1 còn diện tích W được lấy trên biểu đồ có bậc bất kỳ

+ Nếu W, y cùng dấu thì kết quả “nhân biểu đồ” có dấu dương và ngược lại + Nếu đường biểu đồ của biểu đồ lấy tung độ bị gãy khúc thì chia thành nhiều đoạn không gẫy khúc để nhân, sau đó cộng kết quả lại với nhau (Ví dụ H.3.26)

W.y = (w1.y1) + (-w2.y2) + Khi biểu đồ lấy diện tích W là phức tạp (việc xác định diện tích và vị trí của trọng tâm khó khăn) thì nên chia thanh nhiều hình đơn giản để tính và sau đó cộng các kết quả lại với nhau (Ví dụ H.3.27)

W.y = (w1.y1) + (-w2.y2) + (-w3.y3) + (-w4.y4)

* Ví dụ 1: Xác định độ võng tại B

(H.3.28.a).Chỉ xét biến dạng uốn Cho biết E.J

= const

1 Trạng thái “m”: Vẽ (Mm) Kết quả

trên hình (H.3.28.b)

2 Trạng thái “k”: Vẽ ( )M k Kết quả

trên hình (H.3.28.c)

3 Xác định y B :

yB = (M k).(M m)=

3

1 3

2 2

>

=

J E l l P J E

* Ví dụ 2: Xác định chuyển vị thẳng đứng tại B (H.3.29.a) Chỉ xét biến dạng uốn Cho biết E.J = const

1 Trạng thái “m”: Vẽ (Mm) Kết quả trên hình (H.3.29.b)

l

A

"k" H.3.28.c

"m"

Pk = 1

B H.3.28.a

P

l

P.l

m M

k M

H.3.28.b

C2

v2

C1

v1

y2

H.3.27

C4

y4

v4

C3 v3

C2

y2

v1 C1

y3

v2

2 Trạng thái “k”: Vẽ ( )M k Kết quả trên hình (H.3.29.c)

3 Xác định y B :

yB = (M k).(M m) Để dễ “nhân”, ta phân tích (Mm) thành tổng của (M1) với (M2) như trên hình (H.3.29.d & H.3.29.e) Suy ra:

24

5 4

2

1

1 3

2 2

1

>

=

-J E

l P l

P l J E l P

l J E

* Ví dụ 3: Xác định góc xoay tại B

(H.4.30.a) Chỉ xét biến dạng uốn Cho biết E.J =

const

1 Trạng thái “m”: Vẽ (Mm) Kết quả trên

hình (H.3.30.b)

2 Trạng thái “k”: Vẽ ( )M k Kết quả trên

hình (H.3.30.c)

3 Xác định j B :

jB = (M k).(M m)=

0 45

1

15

8 16

3

2

<

-=

-=

J E

l q l

q l J E

* Ví dụ 4: Xác định chuyển vị thẳng đứng

tại k (H.3.31.a) Chỉ xét biến dạng uốn Cho biết E.J = const

1 Trạng thái “m”: Vẽ (Mm) Kết quả trên hình (H.3.31.b)

2 Trạng thái “k”: Vẽ ( )M k Kết quả trên hình (H.3.31.c)

3 Xác định y k :

yk = (M k).(M m)=

Pk = 1

k M

l

H.3.29.c

"k"

l

"m"

H.3.29.a

P

4

.l P

M =

Mm

Pl

4 3

H.3.29.b

4

Pl

H.3.29.d

M1 P.l

H.3.29.e Pl4

M2

l

H.3.30.a

B

16

.l2

q

Mm

"k" H.3.30.c

Mk =

k M

1 H.3.30.b

q

CÅ HOÜC CÄNG TRÇNH Page 69

0

384

5 4

3

2 2

8

2

1 4

2

1 32

2

3

2

>

= ú û

ù ê

ë

é

+

=

J E

ql l

l ql l

ql l J E

A

l/2

"m"

H.3.31.a

B q

l/2

k

Pk = 1

"k"

k M

l/4 H.3.31.c

8

2

ql

32

2

ql

Mm H.3.31.b

CHƯƠNG 4: TÍNH HỆ SIÊU TĨNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC

ß1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH - BẬC SIÊU TĨNH

I Hệ siêu tĩnh:

1 Định nghĩa: Hệ siêu tĩnh là những hệ mà chỉ với các phương trình cân

bằng tĩnh học không thôi thì chưa đủ để xác định toàn bộ các phản lực và nội lực trong hệ Nói cách khác, đó là hệ bất biến hình và có liên kết thừa

2 Ví dụ: Xét hệ trên hình (H.4.1a)

- Phần hệ BC là tĩnh định vì có thể

xác định được ngay nội lực bằng các

phương trình cân bằng tĩnh học

- Phần hệ AB chưa thể xác định

được phản lực chỉ bằng các phương trình

cân bằng tĩnh học (4 phản lực VA, HA, MA,

VB nhưng chỉ có 3 phương trình) nên cũng chưa thể xác định được nội lực

Vậy theo định nghĩa, hệ đã cho là hệ siêu tĩnh

II Tính chất của hệ siêu tĩnh:

1 Tính chất 1:

Nội lực, biến dạng và chuyển vị trong hệ siêu tĩnh nói chung là nhỏ hơn so với hệ có cùng kích thước và tải trọng tác dụng

8

2 max

ql

M = , ymax = yC =

EJ

ql4

384

5

12

2 max

ql

M = , ymax= yC =

EJ

ql4

384 1

2 Tính chất 2: Trong hệ siêu tĩnh có xuất hiện nội lực do các nguyên nhân:

biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa và do chế tạo, lắp ráp không chính xác gây ra

a Nguyên nhân biến thiên nhiệt độ:

H.4.1c

8

2

ql

l/2

A

l/2 C q

M

B

12

2

ql

12

2

ql

EJ

8

2

ql

M

H.4.1b

q

C

EJ

H.4.1d

A

B

t2

t1 (t2 > t1)

VB = 0

VA = 0

HA = 0

VB

VA

HA

MA

H.4.1a

A H.4.1e

B

t1

t2

(t2 > t1)

MA¹ 0