Hình 4.1: Tay máy StanfordGiả sử rằng vị trí và hướng của hệ tọa độ trên cơ cấu tác động cuối được cho trước như sau: Để tìm các biến khớp θ1,θ2,d3,θ4,θ5ta phải giải tập phương trình lượ
Trang 13./Động Học Thuận:
Qui Tắc Denavit-Hartenberg
Bước 1: Xác định các trục khớp và đặt tên tương ứngz 0 z n− 1.
Bước 2: Xác lập hệ tọa độ nền Đặt gốc của hệ tọa độ này tại bất kỳ điểm nào trên trục
0
z Các trục x và 0 y được chọn thỏa qui tắc tam diện thuận 0 Lặp i=1, ,n−1lần thực hiện bước 3 đến bước 5.
Bước 3: Xác định các gốc O là giao điểm của đường vuông góc chung giữa i z và i z i− 1 với z Nếu i z giao với i z , đặt i− 1 O tại giao điểm này Nếu i z song song với i z , đặt i− 1 O i
tại bất kỳ vị trí nào trên z sao cho thuận tiện i
Bước 4: Xác định x dọc theo đường vuông góc chung giữa i z và i− 1 z đi qua i O , hoặc i
theo hướng vuông góc với mặt phẳng tạo bởi z và i− 1 z nếu i z và i− 1 z giao nhau i
Bước 5: Xác định y thỏa qui tắc tam diện thuận i
Bước 6: Xác định hệ tọa độ tác động cuối o n x n y n z n Giả sử khớp n là khớp quay, đặt
a
z n = dọc theo hướng z Xác định gốc n− 1 O bất kỳ trên n z sao cho thuận tiện, thường n
là tâm của bộ kẹp hay tại đầu dụng cụ mà tay máy phải mang Đặt y n =stheo hướng kẹp và đặt x theo n s x Nếu dụng cụ kẹp không đơn giản thì đặt a x và n y tạo thành n
tam diện thuận
Bước 7: Lập bảng tham số ch các khâu trên robot
i
a : khoảng cách theo phương x từ i O đến giao điểm của các trục i x và i z i− 1
i
d : khoảng cách theo phương z từ i− 1 O đến giao điểm của các trục i− 1 x và i z , i− 1 d thay i
đổi khi khớp i là khớp trượt.
i
α : là góc quay quanh trục x từ i z đến i−1 z i
i
θ : là góc quay quanh trụcz từ i−1 x đến i−1 x i
Bước 8: Từ các ma trận biến đổi thuần nhất A bằng cách thay các tham số trên vào.i Bước 9: Tính T n0 = A1A n Ma trận này cho ta biết được vị trí và hướng đối với hệ tọa
độ nền của dụng cụ gắn trên khâu cuối
Ví dụ 3.1:
Trang 2Hình 3.1: Tay máy hai khâu phẳng.
Bảng tham số khâu cho robot 2 khâu đồng phẳng
−
=
−
=
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0
2 2 2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
1
1 1 1
1
1
s a c
s
c a s
c
A
s a c
s
c a s
c
A
Ma trận biến đổi thuần nhất
+
+
−
=
=
1 0
0 0
0 1
0 0
0
0
12 2 1 1 12
12
12 2 1 1 12
12 2
1
0
2
s a s a c
s
c a c a s
c A
A
T
Lưu ý rằng 2 thành phần đầu của cột cuối cùng của 0
2
T là vị trí x và y của O 2
12
2
1
1
12
2
1
1
s
a
s
a
y
c
a
c
a
x
+
=
+
=
Trang 3Phần quay của 0
2
T cho hướng của o2x2y2z2đối với hệ tọa độ nền
Ví dụ 3.2: Cổ tay khớp cầu (Spherical Wrist)
Trục z3,z4,z5đồng quy tại điểm O Tay máy Stanford có cổ tay thuộc dạng này.
Hình 3.2: Gán hệ trục tọa độ cho cổ tay khớp cầu.
Bảng 3.2: Tham số DH cho cổ tay khớp cầu.
Ta thấy rằng ba biến khớp cuối θ4,θ5,θ6là các góc Euler φ,θ,ψ tương ứng đối với hệ
tọa độ O3x3y3z3 Ta có
−
−
=
1 0 0
0
0 0 1
0
0 0
0 0
4 4
4 4
4
c s
s c
−
−
=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0
0 0
5 5
5 5
5
c s
s c
−
=
1 0 0 0
1 0 0
0 0
0 0
6
6 6
6 6
c s
s c A
−
+
− +
−
−
=
=
=
1 0
0 0
1
6 5 4 5 4 6 4 6 5 4 6 4 6 5 4
6 5 4 5 4 6
5 4 6
4 6 5 4 3 6
3 6 6
5
4
3
d s s s s c c s c s s c c c s
d s c s c s
c c s
s c c c O R A
A
A
T
So sánh phần ma trận quay R của 63 3
6
T với phép biến đổi góc Euler Điều đó cho thấy
rằng vai tròθ4,θ5,θ6 hoàn toàn giống với các góc Euler φ,θ,ψ đối với hệ tọa độ
3
3
3
3x y z
NL: Các góc Euler
Xét hệ tọa độ cố định O0x0y0z0và hệ tọa độ quay O1x1y1z1 nhận được bởi việc thực hiện
3 phép quay sau:
Trang 4(1) Quay quanh trục z một góc φ;
(2) Quay quanh trục y hiện hành một góc θ;
(3) Quay quanh trục z hiện hành một góc ψ
Hình 3.3: Sự biểu diễn các góc Euler
Ma trận biến đổi
−
+
− +
−
−
−
=
−
−
−
=
=
θ ψ
θ ψ
θ
θ φ ψ φ ψ θ φ ψ
φ ψ
θ
φ
θ φ ψ φ ψ θ φ ψ
φ ψ
θ
φ
ψ ψ
ψ ψ
θ θ
θ
θ φ
φ
φ
φ
ψ θ
φ
c s
s c
s
s s c c s c s s
c
c
c
s
s c c s s c c s
s
c
c
c
c s
s c
c s
s c
c
s
s
c
R
R
R
1 0 0
0 0 0
0 1 0 0 1
0
0
0 0
, ,
,
0
1
Bây giờ xét bài toán xác định các góc φ,θ,ψ khi cho trước ma trận quay
=
33 32
31
23 22
21
13 12
11
r r
r
r r
r
r r
r
R
Giả sử rằng cả hai phần tử r13, r23đều không bằng 0 Có nghĩa là sθ ≠0và vì thế cả 32
31, r
r đều không bằng 0 Nếu cả r13, r23đều không bằng 0 thì r33≠±1và ta có cθ =r33,
2
33
1 r
sθ =± − , như vậy ta có
33
33, 1
=
θ (3.1)
33
33, 1
=
θ (3.2) Tùy vào dấu của các tham số mà hàm Atan sẽ chọn góc phần tư cho góc θ Nếu cả hai tham số bằng 0, thì hàm Atan không xác định
Nếu r13 =r23=0, thì r33 =±1 và r31=r32 =0 Vì vậy R có dạng
Trang 5
±
=
1 0
0
0
0 22
21
12
11
r
r
r
r
R
Nếu r33 =1 thì cθ =1và sθ =0, kết quả là θ =0 Trong trường hợp này 0
1
R trở thành
=
+ +
+
− +
=
+
− +
−
−
−
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11 0
1
1 0
0
0 ) ( ) (
0 ) ( ) ( 1 0
0
0 0
r r r
r r r
r r r c
s
s c
c c s s s
c c
s
c s s c s
s c
c
ψ φ ψ
φ ψ
φ ψ φ ψ
φ ψ
φ
ψ φ ψ φ ψ
φ ψ
φ
) , tan(
) , tan(r11 r21 A r11 r12
=
+
⇒φ ψ
Có vô số nghiệm trong trường hợp này Ta có thể lấy φ =0, và xác định ψ .
Nếu r33=−1, thì cθ =−1và sθ =0, kết quả là θ =π Ta có
=
−
−
−
−
−
−
=
33 32 31
23 22 21
13 12 11 0
1
1 0
0
0 ) ( ) (
0 ) ( ) (
r r r
r r r
r r r c
s
s c
ψ φ ψ
φ
) , tan(
) , tan( r11 r21 A r11 r12
=
−
⇒φ ψ
Cũng có vô số nghiệm trong trường hợp này
0
Trang 6Phát biểu bài toán
Cho trước một ma trận biến đổi homogenous 4x4 sau:
=
1 0
O R
H (4.1)
Tìm một hay tất cả nghiệm của phương trình sau
H q q
T n0( 1, , n)=
(4.2) trong đó
) ( ) ( ) , ,
0
n n n
T = (4.3)
và H biểu diễn vị trí và hướng mong muốn của cơ cấu tác động cuối, và ta phải tìm giá
trị các góc khớp q1,,q nsao cho T n0(q1,,q n)=H
Phương trình (4.2) đưa đến việc giải 12 phương trình phi tuyến với n ẩn sau:
ij n
T =( 1,, )= , i=1,2,3, j=1, ,4 (4.4) trong đó T , ij h ijtương ứng là 12 phần tử có giá trị của 0
n
T và H (vì hàng cuối cùng của cà
0
n
T và H đều là (0,0,0,1), nên 4 trong số 16 phương trình từ (4.2) sẽ không có giá trị).
Ví dụ 4.1:
Khảo sát tay máy Stanford
Trang 7Hình 4.1: Tay máy Stanford
Giả sử rằng vị trí và hướng của hệ tọa độ trên cơ cấu tác động cuối được cho trước như sau:
Để tìm các biến khớp θ1,θ2,d3,θ4,θ5ta phải giải tập phương trình lượng giác phi tuyến
sau:
Trang 8Dĩ nhiên, các phương trình trên rất khó giải trực tiếp, và vấn đề này cũng xảy ra đối với hầu hết các tay máy robot Vì thế, ta cẩn phải tìm các kỹ thuật hiệu quả có hệ thống để khai thát cấu trúc động học đặc biệt của từng tay máy Trong khi vấn đề động học thuận luôn có lời giải duy nhất, chỉ đơn giản thay các giá trị biến khớp vào các phương trình động học thuận, thì vấn đề động học ngược có thể không có lời giải Ngay cả khi tồn tại một lời giải, nó cũng có thể không là lời giải duy nhất Hơn nữa, vì các phương trình động học thuận nói chung là các hàm phi tuyến phức tạp đối với biến khớp, nghiệm cho bài toán động học ngược có thể rất khó giải được ngay cả khi nghiệm tồn tại
Để giải bài toán động học ngược ta quan tâm nhất việc tìm nghiệm dạng đóng hơn là tìm nghiệm bằng phương pháp số vì hai lý do Thứ nhất, trong một số ứng dụng, như đi theo vết đường hàn được cung cấp bởi hệ thống vision, các phương trình động học ngược phải được giải với tốc độ nhanh, khoảng 20 mili giây, và các biểu thức đóng cho nghiệm trực tiếp thì thực tế hơn là dùng phương pháp số Thứ hai, các phương trình động học nói chung có nhiều nghiệm Tìm lời giải bằng biểu thức đóng cho phép ta đưa ra các qui tắc chọn nghiệm đặc biệt trong một số nghiệm khả dĩ
Chọn nghiệm cho bài toán động học ngược phụ thuộc vào yếu tố toán học và công nghệ
Ví dụ, chuyển động của khớp quay có thể bị giới hạn nhỏ hơn một vòng quay360 đưa 0 đến việc không phải tất cả nghiệm của phương trình động học đều có được vị trí vật lý thật tương ứng trên tay máy
Ta sẽ giả sử rằng với vị trí và hướng cho trước sao cho phương trình (4.2) tồn tại nghiệm Khi một nghiệm được xác định bởi phương trình toán học, nó phải được kiểm tra thêm xem có thỏa mãn mọi rằng buộc trên khoảng chuyển động khả dĩ của khớp
4.2 Tách động học
Dù bài toán động học ngược là rất khó, đối với tay máy 6 khớp, có ba khớp cuối đồng quy tại một điểm, ta có thể tách bài toán động học ngược thành hai bài toán đơn giản
Trang 9hơn là động học ngược vị trí và động học ngược hướng Cụ thể, đối với tay máy 6 bậc tự
do với cổ tay khớp cầu, bài toán động học ngược có thể tách thành hai bài toán, đó là tìm
vị trí giao điểm các trục cổ tay (tâm cổ tay), và sau đó tìm hướng của cổ tay
Ta biểu diễn (4.2) thành hai hệ phương trình như sau:
O q q O
R q q R
=
=
) , , (
) , , (
6 1
0 6
6 1
0 6
(4.5)
trong đó O và R là hướng và vị trí của dụng cụ, được biểu diễn đối với hệ tọa độ cố định bên ngoài (world coordinate system) Ta phải giải bài toán trên đối với các ẩn
6
1, ,q
Giả sử các trục khớp cầu z3, z4và z giao nhau tại 5 O và vì vậy gốc c O và 4 O gán theo 5 qui tắc D-H sẽ luôn ở tâm cổ tay O Thường c O cũng ở tại 3 O , nhưng điều này không c
nhất thiết là như vậy đối với phương pháp này Điểm quan trọng đối với động học ngược
là chuyển động của ba khâu quanh 3 trục không làm thay đổi vị trí O , và như vậy, vị trí c
tâm cổ tay là một hàm của chỉ ba biến khớp đầu tiên
Giải thuật:
Đối với các tay máy thuộc loại này bài toán động học ngược có thể giải theo giải thuật sau:
Bước 1: Tìm q1,q2,q3sao cho tâm cổ tay O có tọa độ cho trước như sau: c
−
=
1 0
0 6
0 O d R
O c (4.6)
Bước 2: dùng các biến khớp đã tìm được trong bước 1, thay vào R 30
Bước 3: Tìm các góc Euler ứng với ma trận quay
R R R R
R ( ) ( 0)T
3 1
0 3
3
6 = − = (4.7)
4.3 Động học ngược vị trí: giới thiệu một phương pháp hình học
Trang 10Ta giới hạn phương pháp động học ngược vào phương pháp hình học vì hai lý do Thứ nhất, hầu hết các thiết kế tay máy hiện hành thì đơn giản về mặt động học, thường năm loại cơ bản và có cổ tay khớp cầu Thực tế, một phần là do khó khăn trong việc tìm giải thuật chung cho bài toán động học ngược; thứ hai, có ít kỹ thuật có thể xử lý bài toán động học ngược đối với các vị trí tùy ý
4.3.1 Tay máy 3 khớp bản lề
Hình 4.2: Tay máy 3 khớp quay (khỉu tay)
Hình 4.3: Chiếu tâm cổ tay lên mặt phẳng x0-y0
Từ phép chiếu trên hình 4.2, ta có
) , tan(
1 = A x c y c
θ (4.8) xác định với mọi (x c,y c)≠(0,0)và có duy nhất nghiệm sao cho
2 2 2
2 ;sin
cos
y x
y y
x
x
+
= +
θ (4.9)
Nghiệm thứ 2 là θ1 =π +Atan(x c,y c), sẽ dẫn đến có nghiệm khác cho θ2,θ3
Các nghiệm θ1đều hợp lệ ngoại trừ x c = y c =0 Trong trường hợp này, (4.8) không xác định và tay máy ở vị trí kỳ dị (singular configuration), trên hình 4.3
Trang 11Hình 4.4: Vị trí kỳ dị (vô số nghiệm)
Nếu khâu được bố trí lệch (d ≠0) , hình 4.5 thì tâm cổ tay không thể giao với z Trong 0 trường hợp này, thường có 2 nghiệm cho θ1gọi là tay phía trái (left arm) và tay phía phải (right arm), hình 4.6 và hình 4.7.
Hình 4.5: Tay máy 3 khớp quay có vai lệch
Trang 12Hình 4.6: Vị trí tay phía trái
Hình 4.7: Vị trí tay phía phải
Từ hình vẽ ta thấy rằng, nghiệm thứ 1 tương ứng với vị trí tiếp cận phía trái
α φ
θ1= + (4.10) Trong đó φ = Atan(x c,y c); α = Atan( r2 −d2,d)=Atan( x c2 + y c2 −d2,d)
Nghiệm thứ 2 tương ứng với ví trí tay máy tiếp cận phía phải
) , tan(
) ,
1 = A x c y c +A − r −d d
hay θ1 =α +β
trong đó
) ,
tan(x c y c
A
=
Trang 13) , tan(
) , tan(
2 2 2
d d r
−
=
+
=
β γ
π
γ
β
Vì cos(θ +π)=−cosθ và sin(θ +π)=−sin(θ)
Để tìm θ2,θ3khi biết trước θ1, ta xét mặt phẳng tạo bởi khâu 2 và khâu 3 (hình 4.8) Vi chuyển động của khâu 2 và 3 trong mặt phẳng (còn tiếp, trình bày sau)
Hình 4.8: Chiếu lên mặt phẳng tạo bởi khâu 2 và 3
Hình 4.9: Bốn lời giải cho động học nghịch vị trí tay máy PUMA
Trang 14Hình 4.2: Các động cơ cổ tay được bố trí cân bằng với hệ thống và truyền động bằng
các ống đồng trục
Hình 4.3: Cơ cấu cổ tay đồng quy tại một điểm (tâm cổ tay)
4.4 Động học nghịch hướng
Ta đã dùng phương pháp hình học để giải bài toán vị trí nghịch Phương pháp này cho ta giá trị của ba biến khớp đầu tiên θ1,θ2và θ3 ứng với một vị trí tâm cổ tay cho trước Bài toán động học ngược hướng bây giờ trở thành bài toán tìm giá trị của ba biến khớp cuối cùng ứng với hướng cho trước đối với hệ tọa độ o3x3y3z3 Đối với cổ tay khớp cầu, bài
toán này trở thành bài toán tìm các góc Euler ứng với ma trận quay cho trước R Cụ thể
Trang 15là, ta tìm 3 góc Euler dùng các phương trình (3.1)-(3.2), sau đó thay các góc
ψ
θ
θ
θ
φ
θ
=
=
=
6
5
4
