Tài liệu Phân tích động học Robot song song 3 RPS doc

b : Vector đại số chứa các tọa độ của điểm Bi trên hệ động.. Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân di i=1,2,3, ta phải tìm vị trí của bàn máy động P và ma trận ARB.. 3

PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC ROBOT SONG SONG 3RPS

3.1 Bài toán phân tích vị trí

3.1.1 Các phương trình liên kết cho robot song song 3 RPS tổng quát

Hình 3.1

Do yêu cầu cỉa kết cấu Robot nên AiBi ⊥Zi (các trục quay)

O và P là trọng tâm của hai tam giác A1A2A3 và B1B2B3

Ta đặt các hệ tọa độ:

{Ox0y0z0} : Hệ cố định

{Pxyz} : Hệ tọa độ động gắn liền với bàn máy động

{Aixiyizi}(i=1,2,3) : Hệ động gắn với chân thứ i

Trong đó x i ≡uuuurA B i i và zi ≡ trục quay, còn yi xác định theo tam diện thuận (hay qui tắc bàn tay phải)

Ta đưa thêm vào 3 tọa độ suy rộng αi (i=1,2,3) như hình vẽ

A1

A2

3A

B2

OP

3z

0x

x

b : Vector đại số chứa các tọa độ của điểm Bi trên hệ động

P: Vector đại số chứa các tọa độ của điểm P trên hệ cố định

e e er r r : Là 3 vector đơn vị trên các trục Aixi, Aiyi, Aizi (i=1,2,3)

Các phần tử của ma trận này tùy theo kết cấu của bàn đế cố định, là hàm

của góc αi

Ma trận AR có thể biểu diễn dưới dạng 3 phép quay Roll, Pitch, Yaw B

tương ứng với 3 góc ϕ θ, và ψ

i

a và Bb i : Xác định được từ hình dáng, kết cấu của Robot

Với cách đặt và biểu diễn các đại lượng như trên, vị trí của điểm Bi trên

hệ cố định có thể biểu diễn dưới dạng:

OBuuur uuur uuuuri =OA i + A B i i (i=1,2,3) (3.2)

và : OBuuur uuur uuuri =OP PB+ i (i=1,2,3) (3.3) Hay dưới dạng đại số:

Ta viết lại phương trình (3.6) dưới dạng đại số

Chú ý: Do Ai thuộc mặt phẳng X0Y0 nên a = 0 (i=1,2,3) i3

A1 trên trục X0 nên a12 = 0

Và Bi thuộc mặt phẳng X0Y0 nên b = 0 (i=1,2,3) iz

+Với i =1:

x y y

x z z

x

a u d p u

b

u d p u

b

u d p u

x z

x y

x z

Khi giải quyết bài toán động học thuận hay ngược, ta biết trước được 3 ẩn Công việc còn lại chỉ phải giải hệ 6 phương trình 6 ẩn số

3.1.2 Bài toán động học thuận

Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i=1,2,3), ta

phải tìm vị trí của bàn máy động P và ma trận ARB

Theo phần trên ta thay các giá trị di (i=1,2,3) và hệ (2.54), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn là : α α α1, , , ,2 3 p p p1 2, 3

Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.15) chỉ chứa di và αi nên việc giải

6 phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là αi Sau đó thay các giá trị của di và αi vào 3 phương trình đầu ta sẽ tính được

các giá trị của P

Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương trình (3.10), (3.11), (3.12)

3.1.3 Bài toán động học ngược

Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động P, ta phải

tìm độ dài các chân di (i=1,2,3) và các gócαi (i=1,2,3)

Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá

trị P và hệ (3.15), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn là :

1, , , , ,2 3 d d d1 2 3

α α α

Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương

trình (3.10), (3.11), (3.12)

3.1.4 Tính toán vị trí cho một robot song song 3 RPS cụ thể

Ta tính toán cho một robot song song 3 RPS cụ thể :

- Tam giác A1A2A3 và tam giác B1B2B3 là các tam giác đều

Khi đó : 3

2

y y

b b

3 cos cos cos (3.21)

a) Bài toán động học thuận

Bài toán động học thuận là bài toán biết độ dài các chân di (i=1,2,3), ta

phải tìm vị trí của bàn máy động P và ma trận ARB

Theo phần trên ta thay các giá trị di (i=1,2,3) vào hệ (3.21), ta sẽ được hệ 6

phương trình với 6 ẩn là : α α α1, , , , ,2 3 p p p1 2 3

Chú ý là 3 phương trình sau của hệ (3.21) chỉ chứa di và αi nên việc giải 6

phương trình được đơn giản lại còn giải hệ 3 phương trình với 3 ẩn là αi

Sau đó thay các giá trị của di và αi vào 3 phương trình đầu ta sẽ tính được

các giá trị của P

Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương trình

(3.10), (3.11), (3.12)

b) Bài toán động học ngược

Bài toán động học ngược là bài toán biết vị trí bàn máy động P, ta phải

tìm độ dài các chân di (i=1,2,3) và các gócαi (i=1,2,3)

Tương tự như cách làm đối với bài toán động học thuận ta thay các giá trị

P và hệ (3.21), ta sẽ được hệ 6 phương trình với 6 ẩn là : α α α1, , , , ,2 3 d d d1 2 3

Các giá trị còn lại tính được bằng cách thay trực tiếp vào các phương

trình (3.10), (3.11), (3.12)

3.2 Bài toán phân tích Jacobi

3.2.1 Ma trận Jacobi của robot song song không gian

Trong phần trước ta đã xây dựng được các điều kiện ràng buộc động học

của cơ cấu, các điều kiện này có dạng tổng quát:

Trong đó: p là biến khớp tác động

x đặc trưng vị trí bệ chuyển động

f là hàm ẩn n chiều theo p và x ; 0 là vector n zero n chiều

Đạo hàm (3.22) theo thời gian ta có:

Các điều kiện đặc biệt

Với sự tồn tại hai ma trận Jacobi, cơ cấu chấp hành song song có cấu hình

đặc biệt khi ,J J hoặc cả hai ở trạng thái đặc biệt, do đó có thể tìm được x P

ba kiểu trạng thái đặc biệt

- Trạng thái đặc biệt động học đảo

Trạng thái này xảy ra khi định thức của J tiến đến zero P

Khi đó tồn tại các vector p& khác zero dẫn đến kết qủa vector x& bằng zero

Tức là chuyển động vi phân của bệ di động theo một số chiều không thể thực

hiện, cơ cấu chấp hành bị ràng buộc lại và mất đi một số bậc tự do Trạng

thái đặc biệt động học đảo thường xảy ra ở biên không gian hoạt động của

cơ cấu chấp hành

- Trạng thái đạc biệt động học thuận

Trạng thái đặc biệt động học thuận xảy ra khi định thức của J bằng zero x

Khi đó tồn tại các vector x& khác zero dẫn đến kết qủa vector p& bằng zero

Trong trường hợp này bệ di động có thể có chuyển động vi phân theo một số

hướng, còn mọi bộ tác động đều bị khoá Tức là hệ sẽ tăng lên một số bậc tự

do

- Trạng thái đặc biệt hỗn hợp

Trạng thái đặc biệt hỗn hợp xảy ra khi cả hai định thức của J và x J đều P

bằng zero

3.2.2 Phân loại bài toán

a) Bài toán động học ngược

Biết vận tốc góc ωrB (hoặc vận tốc điểm P vr ) của bàn máy động, ta cần P

xác định vận tốc của các khâu dẫn v i = & (i=1,2,3) d i

b)Bài toán động học thuận

Biết v i = & , ta cần xác định vận tốc góc d i wr của bàn máy động và vận tốc B

điểm P vr P

3.2.3 Phân tích Jacobi robot song song 3 RPS tổng quát

B3

1B

A1

A2

3A

B2

OP

3z

0x

x

Đạo hàm công thức (3.6) theo thời gian ta có:

.+A B

Chú ý: Do vector vận tốc góc ωri hướng theo các trục Zi tương ứng nên

hình chiếu của nó lên các trục X0,Y0,Z0 cho ta: ωi3= 0

Vậy %ω i =

2 1

(i=1,2,3)

Nếu biết ωi1 (hoặc ωi2 ) ta có thể xác định thành phần còn lại từ các

tham số hình học của hệ

Phương trình (2.76) được viết dưới dạng:

- Bài toán phân tích Jacobi thuận : Biết d& (i=1,2,3) ta có 9 phương trình i

đại số tuyến tính để giải 9 ẩn : p p p& & &1, 2, , ,3 ω ω ω ω ω ω1 2, ,3 11, 21, 31

- Bài toán phân tích Jacobi ngược : Biết P&=[p p p& & &1, ,2 3]T hoặc w ta có 9

phương trình đại số tuyến tính để xác định 9 ẩn : d d d& & &1, , , , ,2 3 ω ω ω1 2 3 (hoặc P&) , ω ω ω11, 21, 31

Ma trận Jacobi được mô tả trong mục (3.2.1) sẽ được xác định khi sắp xếp lại các số hạng của phương trình (3.31)

3.2.4 Phân tích Jacobi một robot song song 3 RPS cụ thể

Đạo hàm phương trình (3.21) ta được hệ :

Do các đại lượng về vị trí đã tính được ở bài toán vị trí nên hệ (3.32) là

một hệ phương trình tuyến tính với , ,p d&i & &i αi (i=1,2,3)

a) Bài toán động học thuận

- Bài toán phân tích Jacobi thuận : Biết d& (i=1,2,3) ta có 6 phương trình i

đại số tuyến tính để giải 6 ẩn : p p p& & &1, , , , ,2 3 α α α& & &1 2 3

- Ta viết lại hệ (3.33) dưới dạng ma trận:

Các thành phần của ma trận J và d J đã xác định được từ bài toán vị trí p

b) Bài toán động học ngược

- Bài toán phân tích Jacobi ngược : Biết P&=[p p p& & &1, ,2 3]T ta có 6 phương trình đại số tuyến tính để xác định 6 ẩn : d d d& & & & & &1, , , , ,2 3 α α α1 2 3

- Ta viết lại hệ (3.33) dưới dạng ma trận:

[p p p& & &1, , ,0,0,02 3 ]T=J2⎡⎣d d d& & & & & &1, , , , ,2 3 α α α1 2 3⎤⎦T

Các thành phần của ma trận J đã xác định được từ bài toán vị trí 2

3.3 Kết quả Mô phỏng số bằng chương trình MATLAB

3.3.1 Bài toán động học thuận

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

- Qui luật chuyển động của các chân robot :

d1 = d10(1+0.08sin10t)

d2 = d20(1+0.1sin20t)

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

- Qui luật chuyển động của các chân robot

d2c=d20*cos(10*t);

d3c=-0.5*d30*sin(10*t)

- Kết quả mô phỏng

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

- Qui luật chuyển động của các chân robot

3.3.2 Bài toán động học ngược

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

- Qui luật chuyển động của bàn di động

p1=0;

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

- Qui luật chuyển động của bàn di động

p1=1.5*sin(10*t);

p2=1.5*(1-cos(10*t));

p3=4.44;

- Kết quả mô phỏng

3.2.1.1 Ví dụ 3

a) Các điều kiện đầu

Bài toán động học ngược robot song song 3RPS, với các điều kiện đầu:

α =α =α =π

p 10 =0; p 20 =0; p 30 = 4.44

Hai tam giác là đều và h = g = 8.89

b) Qui luật chuyển động của các chân robot

Giả sử qui luật chuyển động của bàn di động có dạng: