số phức-luyện thi hay

Tập các số phức đợc kí hiệu là Χ Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R⊂Χ.. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi a, b ∈Ă đợc biểu diễn bởi Ma; b trong mặt phẳng t

Chuyên đề: số phức

Chủ đề1: dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức

A củng cố kiến thức

1 Số phức: Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn

i2 = -1 đợc gọi là một số phức

a đợc gọi là phần thực, b đợc gọi là phần ảo

i đợc gọi là đơn vị ảo

Tập các số phức đợc kí hiệu là Χ

Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R⊂Χ.

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.

0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo

2 Hai số phức bằng nhau

z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' )

'

z z'

'

a a

b b







=

= ⇔

=

Ă

Ă

3 Cộng, trừ hai số phức

z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' )

z + z' (a + a' ) + (b + b') i

z z' (a - a') + (b - b' )i

=

Ă

Ă

Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a - bi; z + (-z) = 0.

4 Nhân hai số phức

z a+bi (a,b ) z' a'+b' i (a',b' ) zz' aa bb ' ' ( ab a b i ' ' )

Ă

Ă

5 Môđun của số phức, số phức liên hợp

z = a +bi (a, b ∈Ă ) thì môđun của z là z = a +b 2 2

z = a +bi (a, b ∈Ă ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi.

Ta có:

2

zz' = z z' , zz a b z

z + z' = z + z', zz'=z z', z = z

z là số thực khi và chỉ khi z = z

6 Chia cho số phức khác 0

Nếu z = a + bi (a, b ∈Ă ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là z = -1 1 z

2

z . Thơng của z' cho z khác không là: z' z'z -1 z'z

z = = zz Ta có:

'

,

z

 

=  ữ=

  .

7 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b ∈Ă ) đợc biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

Số phức z = a + bi (a, b ∈Ă ) cũng đợc biểu diễn bởi vectơ ur=( ; )a b , do đó M(a; b) là

điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ∈Ă ) cũng có nghĩa là OMuuuur biểu diễn số phức

đó

Ta có:Nếu u vr r, theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì

u vr r+ biểu diễn số phức z + z',

u vr r− biểu diễn số phức z - z',

ku kr ( ∈Ă ) biểu diễn số phức kz,

OMuuuur = =ur z , với M là điểm biểu diễn của z

B Các dạng bài tập

1 Xác định tổng, hiệu, tích, thơng của các số phức

a) Phơng pháp giải

- áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau

a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) 3 3

( 1 )− +i −(2 )i

Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i)

= (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i

Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1

b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có

( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2

( 2 ) ( 2) ( ) 8

Do đó nhận đợc kết quả của bài toán là 2 + 10i

Ví dụ 2: Tính

1

2+ 2 i

Bài giải

Ta có :

i

Ví dụ 3: Tính 1 + + + + + i i 2 i 3 i 2009

Bài giải

Ta có: 1 − i 2010 = − (1 )(1 i + + + + + i i 2 i 3 i 2009 )

Mà 1 − i 2010 = 2 Nên 1 2 3 2009 2

1

i

1 + + + + + i i i i = + 1 i

Ví dụ 4: Tính (1 ) − i 100

Bài giải Nhận thấy (1 ) − i 2 = − (1 )(1 ) i − = − i 2 i

Suy ra (1 ) − i 100 = − ((1 ) ) i 2 50 = − ( 2 ) i 50 = − ( 2) ( ) 50 50 i = − 2 50

Ví dụ 5: Cho số phức 1 3

2 2

z = − + i Hãy chứng minh rằng: z 2 z 1 0; z z 2 1; z 3 1.

z

Bài giải

2 2

Lại có

2 2

i

i z

i

− −

− +

Suy ra z 2 z 1

z

Hơn nữa ta có z 3 1 = .

Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu z2+ =z 0

Bài giải Đặt z = x + yi, khi đó

2

2

0

0 0

0

0 0

0

0

1

0

x y x y xyi

x

y y

x y x y

y xy

x x x

x

y

y y

y y

x x

z + = ⇔ + + + =

 =

− + =

 − + + = 

=



=





=

 =  =

 − =



=





 + =

y

x y

x y

x y

y x







 



 



 = + >

 =





 = =

 = =



⇔  = = −



= =



Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i

2 Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ

a) Phơng pháp giải

Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau:

Nếu số phức z đợc biểu diễn bởi vectơ ur, số phức z' đợc biểu diễn bởi vectơ uur', thì

z + z' đợc biểu diễn bởi u ur ur+ ';

z - z' đợc biểu diễn bởi u ur ur− ';

- z đợc biểu diễn bởi −ur.

b) Các ví dụ.

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau

a) z− + =1 i 2; b) 2 z+ = −i z

Bài giải

a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i Nên hệ thức z− + =1 i 2 trở thành

− + + =

⇔ − + + = Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đờng tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2

b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1) Khi đó 2 z+ = −i z ⇔ − − = −z ( 2) z i hay là

M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp các điểm M(z) là đờng trung trực của đoạn thẳng AB

Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải nh đã làm ở phần a Tuy nhiên

để thể thực hiện cách giải nh vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau:

Nếu véctơ ur của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ ur là ur = z ,

và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì uuurAB = −z z'

Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z− + =i Tìm số phức z có modul nhỏ nhất

Bài giải Xét biểu thức 2 3 3

2

z− + =i (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1) trở thành

3 ( 2) ( 3)

2 9

4

Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đờng tròn (C) tâm I(2; -3) và bán kính R = 3

2

Ta có

z

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi

điểm M nằm trên đờng tròn (C) và gần O nhất Do đó M là giao điểm của (C) và đờng thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn

Ta có OI = 4 9+ = 13 Kẻ MH ⊥ Ox Theo định lí ta lét có

3

MH OM

MH OI

26

2 13

Lại có

3

2

OH

OH

Vậy số phức cần tìm là

26 3 13 78 9 13

z= − + − i.

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z w+ ≤ +z w Đẳng thức xảy

ra khi nào?

Bài giải Gọi A, B, C lần lợt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w

Ta có z =OA w, =OB z w, + =OC Từ OC ≤ OA + AC suy ra z w+ ≤ +z w Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng

OC Khi O ≠ A (hay z ≠ 0) điều đó có nghĩa là có số k ≥ 0 để uuurAC kOA= uuur tức là w = kz (Còn khi z = 0, rõ ràng z w+ = +z w)

Vậy z w+ = +z w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z ≠ 0 thì tồn tại k R∈ + để

w = kz

c câu hỏi và bài tập

1 Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z − w ≤ −z w Dấu bằng xảy ra khi nào?

M

I

- 3

x y

2 Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức

z, w, u, v thoả mãn các tính chất:

a) z = w = = =u v 1;

b) z + w + u + v = 0

3 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m ∈R

a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đờng phân giác thứ hai y = - x;

b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol y 2

x

= − ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất

4 Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức z 3

z i =

5 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

; (1 )(1 2 );

+

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân;

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Chủ đề 2: Căn bậc hai của số phức và phơng trình bậc hai

A Kiến thức cần nhớ

1 Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2

= w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w a) Nếu w là số thực

+ w < 0 thì có hai căn bậc hai: − wi & − − wi

+ w ≥0 thì có hai căn bậc hai: w & − w

b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bớc:

+ Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: z2 =w khi đó ta có hệ:

xy b



Bình phơng 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta đợc x2 + y2 = a2 + b2

Do vậy ta đợc hệ:

(1)

(2')







Giải hệ tìm đợc x2 và y2suy ra x và y để tìm z

Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu Nếu b < 0 thì x, y trái dấu

2 Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai hệ số phức

Cho PT: ax2 + bx c + = 0; (1) ( , , a b c ∈ Ê , a ≠ 0) và có ∆ = − b2 4 ac

+ Nếu ∆ ≠ 0 pt có hai nghiệm là 1 ; 2

Trong đó δ là một căn bậc hai của ∆

+ Nếu ∆= 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2

2

b

x x

a

B Các dạng bài tập

1 Giải phơng trình bậc nhất

a) Phơng pháp giải

Biến đổi phơng trình về dạng Az + B = 0, A, B ∈Ê, A≠0 Viết nghiệm z B

A

= −

b) Ví dụ

Ví dụ 1: Giải phơng trình 2iz + 1 - i = 0

Bài giải Nghiệm của phơng trình là (1 ) 1 1 1 1

i

− − −

= = + = +

2 Tính căn bậc hai và giảiphơng trình bậc hai

a) Phơng pháp giải

Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai

Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm nghiệm của phơng trình với chú ý phải đa về đúng dạng của phơng trình

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

Bài giải

a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là

x iy + = − + i ⇔ − x y + ixy = − + i

5

2 3

x y

= ±



⇔  = ±



Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 2

3

x y

=



 =

 hoặc

2 3

x y

= −



 = −

Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1 =2+3i và z2 = -2-3i

b) Tơng tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là

x iy + = + ⇔ − i x y + ixy = + i

8

3 1

x y

= ±



⇔  = ±



Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 3

1

x y

=



 =

 hoặc

3 1

x y

= −



 = −

Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i

c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là

x iy + = − i ⇔ − x y + ixy = − i

33

7 4

x y

= ±



⇔  = ±



Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có 7

4

x y

=



 = −

7 4

x y

= −



 =

Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4

d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là

x iy + = − + ⇔ − i x y + ixy = − + i

3

1 2

x y

= ±



⇔  = ±



Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 1

2

x y

=



 =

 hoặc

1 2

x y

= −



 = −

Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i

Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau:

( )

2 2

a) Ta có ( )2 ( )

3 4 i 4 5 1 i 3 4 i

Theo kết quả ví dụ 1d) thì ∆có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i Do đó pt (1) có hai

b) Tơng tự ta có ( )2 ( )

1 i 4 i 2 8 6 i

Theo kết quả ví dụ 1b) thì ∆có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i Do đó pt (2) có hai nghiệm là:

Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0

Ví dụ 3: Giải các phơng trình sau:

2 2 3

) 3 2 0; (1)

c x

+ + = + + =

− =

Bài giải

a) Ta có ∆= 12- 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của ∆là: i 23 & − i 23 Từ

đó nghiệm của pt (1) là:

1 1 23 2 1 23

;

b) Tơng tự ta có ∆ = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: i 3 & − i 3 nên (2) có các

nghiệm là:

1 1 3 2 1 3

;

c) Ta có

2

1 0

1 0; (*)

x

− =



 Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là

;

x = − + x = − − Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là:

( Các nghiệm của pt (3) đợc gọi là căn bậc ba của 1)

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức

α ∉ Ă thì cũng nhận α là nghiệm

Bài giải

Giả sử PT bậc hai:ax2 + bx c + = 0; ( a b c , , ∈ Ă , a ≠ 0 ) nhận số phức α ∉ Ă là nghiệm tức là ta có: a α2 + b α + = c 0 (1)

Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta

a α + b α + = ⇒ c a α + b α + = c Điều này chứng tỏ α là nghiệm của pt

áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phơng trình x2+ 3 x − − = 3 5 i 0 Tìm nghiệm còn lại của pt đó

Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng

tình bậc hai với hệ số phức

Thuận: Nếu hai số x1 & x2 là hai nghiệm của phơng trình

ax + bx c + = a b c ∈ Ê a ≠ thì x1 x2 b & x x1 2 c

Chứng minh Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có:

.

x x

x x

Đảo : Nếu hai số α β; thoả mãn: α β+ =S & α β = P thì α β; là nghiệm của pt:

x − Sx P + = (1)

Chứng minh

x

α

β

=



Điều này chứng tỏ α β; là nghiệm của (1)

áp dụng: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm α = + 4 3 ; i β = − + 2 5 i

Bài giải

Theo bài ra ta có: α β+ = +2 8i và α β =(4 3+ i) (− +2 5i) = − +23 14iTheo kết quả VD5 ta đợc pt bậc hai cần lập là: x2 − + ( 2 8 i x ) + 14 i − 23 0 =

Ví dụ 6: Tìm m để phơng trình: x2 + mx + = 3 i 0 có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8

Bài giải

Theo bài ra ta có: 2 2 ( )2

x + x = ⇔ x + x − x x = (1) Theo Vi-et ta có

x x i

+ = −



 Thay vào (1) ta đợc

m − = ⇔ i m = + i Tức m là một căn bậc hai của 8+6i Theo kết quả VD1b/ ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.

Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình

5 2 (1)

 + = +

 Bài giải

Từ (2) ta có 2 2

1 2 2 1 2 15 8

z + + z z z = − i Kết hợp với (1) ta có z z1 2 = − 5 5 i vậy ta có hệ phơng trình: 1 2

1 2

4

5 5

+ = −



 Do đó z z1, 2 là nghiệm của phơng trình

z − − i z + − = i Ta có ∆ = − + 5 12i theo VD1a/ ta biết ∆có hai căn bậc hai là:

2 + 3i và -2 - 3i

Vậy ta có

1

2

3 2

1 2 2

− + +





Hoặc 1

2

1 2 3

= −



 = +

Ví dụ 8: Cho z z1, 2là hai nghiệm của phơng trình ( 1 + i 2 ) z2− + ( 3 2 i z ) + − = 1 i 0

Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài giải

Theo Vi-et ta có:

1 2

1 2

i

i i

i





 a) Ta có

( )

2 2

= + − = + ữữ −  + ữữ= −

b)

1 2 1 2

c) Ta có

2 2

1 2

1 2

6 26 2 18

C

z z

i

Ví dụ 9: Giải pt: z4 − 6 z2 + 25 0 = (1)

Bài giải Đặt z2 = t Khi đó (1) có dạng: t2 − + 6 t 25 0 = (2)

Ta có: ∆ = − ' 16 có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là t1= + 3 4 i

và t2 = − 3 4 i

Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là:

2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là:

z = + i z = − − i z = − i z = − + i

C câu hỏi và bài tập

Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8+6i b) 3+4i c) 3

i i

− +

1 i +1 i

+ − e)

2 1 1

i i

+

 − ữ

  f)

2

3

i i

 − 

−

Bài 2: Gọi u u là hai căn bậc hai của 1; 2 z1 = +3 4i và v v là hai căn bậc hai của1; 2

2 3 4

z = − i Tính u1+u2+ +v1 v2?

Bài 3: Giải các phơng trình sau:

2 2 2

2 2

) 80 4099 100 0

Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8.

Bài 5: Giải các phơng trình trùng phơng:

Bài 6: Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phơng trình: z2 − + ( 1 i 2 ) z + − = 2 3 i 0

Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

2 2 2 2 1 2

Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ pt



Chủ đề 3 : Dạng lợng giác của số phức

A Kiến thức cần nhớ

I Số phức dới dạng lợng giác.

1 Acgumen của số phức z ≠0 y

Cho số phức z ≠0 Gọi M là điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z

Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lợng b

giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc M

gọi là một Acgumen của z

O a x

Chú ý: + Nếuϕ là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng:

ϕ + k2π, k ∈ Z

+ Acgumen của z ≠0 xác định sai khác k2π, k∈Z

2 Dạng lợng giác của số phức

Cho số phức Z = a+bi, (a, b∈R), với r = a2 +b2 là modun của số phức z và ϕ là Acgumen của số phức z

Dạng z = r (cosϕ+isinϕ) đợc gọi là dạng lợng giác của số phức z ≠0, còn dạng

z = a + bi đợc gọi là dạng đại số của số phức z

II Nhân và chia số phức dới dạng lợng giác

Nếu z = r(cosϕ+isinϕ), z' = r' (cosϕ'+isinϕ') (r≥0và r' ≥0) thì

zz' = rr ( cos (ϕ+ϕ')+isin(ϕ+ϕ'))

[cos( ') sin( ')]

z r

i

z =r ϕ ϕ− + ϕ ϕ− (khi r' > 0)

III Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng

1 Công thức Moa- Vrơ

[r(cosϕ+isin )ϕ ]n =r n(cosnϕ+isinnϕ)

[cosϕ+isinϕ]n =cosnϕ+isinnϕ,∀n∈N*

2 Căn bậc n của một số phức

Với z = r(cosϕ+isinϕ), r > 0, có hai căm bậc hai của z là

(cos sin )

r ϕ+i ϕ ;

B các dạng Bài tập

1 Viết số phức dới dạng lợng giác

a) Phơng pháp

Với mỗi số phức z = a + bi:

Tính r = a2 +b2

Tính cosϕ = a,sin b

r ϕ = r từ đó suy ra acgumen của z

Sử dụng công thức lợng giác của số phức cho ta z = r (cos ϕ+isinϕ)

b) Các ví dụ

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dới dạng lợng giác