SKKN so sanh

Đặt vấn đề: Sau khi học các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa đối với phân số, các em lớp 6 đợc làm quen với dạy học toán “So sánh giá trị của một biểu thức với một số” dựa vào

So sánh giá trị của một biểu thức với một số

-@&? -

A Đặt vấn đề:

Sau khi học các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa đối với phân số, các em lớp 6 đợc làm quen với dạy học toán “So sánh giá trị của một biểu thức với một số” dựa vào tính trực tiếp giá trị của biểu thức đó Tuy nhiên cách này chỉ thực hiện đợc đối với các biểu thức đơn giản, còn lại chủ yếu phải dùng đến cách tính gián tiếp qua các biểu thức trung gian Do vậy dạng toán này là một vấn đề khó đối với đa số học sinh nói chung, học sinh lớp 6 nói riêng, nhng nó là một vấn đề hấp dẫn có tính khám phá kiến thức và vận dụng linh hoạt các kiến thức khác vào thực hiện bài toán này, nó gây đợc hứng thú học tập ở học sinh, đặc biệt là đối tợng học sinh khá giỏi

Qua quá trình dạy học loại toán này tôi thấy rất có ích cho học sinh trong việc khám phá kiến thức mới Với suy nghĩ đó tôi đã mạnh dạn áp dụng trong dạy học cho học sinh,

đặc biệt là dạy học ôn thi học sinh giỏi một số bài toán rất lí thú về dạng toán này

B Nội dung:

I Một số bài toán và cách thực hiện

Bài toán 1: Chứng minh rằng: 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 < 1 Cách giải 1: Tính trực tiếp giá trị của vế trái:

Ta có: A = 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 = 1 1 1 1

2 4 8 + + + + 128 = 64 32 16 8 4 2 1

128

+ + + + + + = 127

128 < 1 Hay 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 < 1 (đfcm)

- Với bài toán này việc tính trực tiếp giá trị của vế trái từ đó kết luận chung về bài toán cha phải là khó khăn, nhng gặp bài toán vế trái là tổng của rất nhiều số hạng thì không phải là đơn giản Chính vì thế cần phải có các cách thực hiện khác để đơn giản vấn

đề

Cách giải 2: Ta có: A = 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 = 1 1 1 1

2 4 8 + + + + 128

Đến đây ta phân tích một số thành hiệu của 2 số khác Ví dụ: 1

2 = 1 - 1

2; 1

4 = 1

2 - 1

4; …

Ta đợc: A = 1 - 1 1 1 1 1 1 1

2 2 4 4 8 + − + − + + 64 128 − = 1 - 1

128 < 1 Hay 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 < 1 (đfcm) Cách giải 3: Ta có: A = 1 1 1 1

2 4 8 + + + + 128 ⇒ 2A = 1 + 1 12 16

2 2 + + + 2

⇒ A = 2A - A = 1 - 17

2 < 1 Hay 1 12 13 17

2 2 + + 2 + + 2 < 1 (đfcm) Bài toán 2: Chứng minh rằng: 1 22 33 44 100 101100 101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 < 3

4

Nh bài toán 1 đã nói việc tính giá trị vế trái cực kì khó khăn Nh vậy cần phải sử dụng gián tiếp qua biểu thức trung gian

Cách giải: Đặt B = 1 22 33 44 100 101100 101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 ⇒ 3B = 1 + 2 32 43 100 10199 100

3 3 + + 3 + + 3 + 3

⇒ 2B = 3B - B = (1 + 2 32 43 100 10199 100

3 3 + + 3 + + 3 + 3 ) - (1 22 33 44 100 101100 101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 ) = 1 + 1 12 13 14 1001 101101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 − 3

⇒ 2B < 1 + 1 12 13 14 1001

3 3 + + 3 + 3 + + 3

Lại đặt N = 1 12 13 14 1001

3 3 + + 3 + 3 + + 3 ⇒ 3N = 1 + 1 12 13 14 199

3 3 + + 3 + 3 + + 3

⇒ 2N = 3N - N = (1 + 1 12 13 14 199

3 3 + + 3 + 3 + + 3 ) - (1 12 13 14 1001

3 3 + + 3 + 3 + + 3 ) = 1 - 1001

3 < 1 hay 2N < 1 ⇒ N < 1

2

⇒ 2B < 1 + N < 1 + 1

2 = 3

2 ⇒ B < 3

2 : 2 hay B < 3

4

Hay 1 22 33 44 100 101100 101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 < 3

4 (đfcm) Bài toán 3: Chứng minh rằng: 12 23 34 45 99100 100101

3 + 3 + 3 + 3 + + 3 + 3 < 1

4

Tơng tự bài toán 2, ta phát triển thêm bài toán 3:

Cách giải: Đặt C = 12 23 34 45 99100 100101

3 + 3 + 3 + 3 + + 3 + 3

⇒ 3C = 1 22 33 44 99 10099 100

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3

⇒ 2C = 3C - C = (1 22 33 44 99 10099 100

3 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 ) - ( 12 23 34 45 99100 100101

3 + 3 + 3 + 3 + + 3 + 3 ) = 1 12 13 14 1001 101101

3 3 + + 3 + 3 + + 3 − 3

⇒ 2C < 1 12 13 14 1001

3 3 + + 3 + 3 + + 3 Theo bài toán 2, ta có: 1 12 13 14 1001

3 3 + + 3 + 3 + + 3 < 1

2

⇒ 2C < 1

2 hay C < 1

4 hay 12 23 34 45 99100 100101

3 + 3 + 3 + 3 + + 3 + 3 < 1

4 (đfcm)

Nh vậy ở bài toán 1 có thể tính trực tiếp một cách khá đơn giản nh ở cách 1 cũng có thể biến đổi “khéo léo” nh ở cách 2 và cách 3 Tuy nhiên sang bài toán 2 và bài toán 3 thì việc tính trực tiếp không hề đơn giản và hoàn toàn không sử dụng đợc “kỉ thuật” nh ở cách 2 bài toán 1 “Kỉ thuật” dùng trong cách 3 của bài toán 1 có vẻ phức tạp hơn so với cách 2 nhng lại tỏ ra rất hiệu quả Hơn nữa nhờ vào nó mà ta có thể tổng quát đợc ba bài toán này nh sau:

Với mọi số a, n là số nguyên dơng; a ≠ 1, ta có:

1, 1 12 13 1n

a a+ +a + +a < 1

1

a−

2, 1 22 33 n n

a a+ +a + +a < 2

( 1)

a

a−

3, 12 23 34 n n 1

a +a +a + +a + < 1 2

(a− 1)

II Các bài tập tơng tự:

Bài 1: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1

2 4 8 16 32 64 − + − + − < 1

3

Bài 2: Chứng minh rằng: 1 22 33 44 99 10099 100

3 3 − + 3 − 3 + + 3 − 3 < 3

16

Bài 3: Chứng minh rằng: 12 23 34 45 99100 100101

5 − 5 + 5 − 5 + + 5 − 5 < 1

36

C Kết luận:

Trong quá trình giảng dạy tôi đã đa ra dạng toán này và các cách thực hiện nh trên nhìn chung đa số học sinh khi thực hiện thì thấy kỉ năng biến đổi của các em còn non, nên dạng toán này thờng gây không ít khó khăn và không giải thích đợc Vì vậy việc áp dụng dạng toán trên vào dạy học các giờ luyện tập và bồi dỡng học sinh giỏi sẽ giúp cho các em có tự tin vào các bớc biến đổi của mình từ đó việc biến đổi các biểu thức số hình thành ở các em nhiều hơn Với dạy học dạng toán này tôi thấy đợc ở học sinh hình thành

đợc tính phát hiện vấn đề tốt hơn, kỉ năng biến đổi ở các em dần dần linh hoạt và chặt chẽ hơn, trên cơ sở đó các em giải các bài toán mang tính biến đổi đợc tốt hơn Hơn thế nữa giúp cho các em không ngại khó khi gặp các bài toán phức tạp, gây đợc ở các em hứng thú học tập

Trên đây là một là một số bài toán trong rất nhiều các dạng toán biến đổi mà tôi đã mạnh dạn đa vào trong dạy học nhằm đa ra cho các đồng chí tham khảo bổ sung, góp ý kiến thêm để cho tôi hoàn thiện hơn trong chuyên môn

Tháng 4 năm 2010