Trong giải toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít tr-ờng hợp học sinh đã mắc phải một số sai lầm.. Ngời học toán, nhất là học sinh giỏi toán, ngoài việc họ
Trang 1mét sè sai lÇm cña häc sinh THCS khi gi¶i bµi to¸n cho häc sinh giái
Trang 2I Đặt vấn đề.
1 Trong giải toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít
tr-ờng hợp học sinh đã mắc phải một số sai lầm Nếu là sai lầm trong một kỳ thi chọn học sinh giỏi, học sinh sẽ khó đạt kết quả cao
2 Ngời học toán, nhất là học sinh giỏi toán, ngoài việc học các kiến thức mới và
luyện các kỹ năng còn phải biết học từ chính các sai lầm của mình và của ngời khác
3 Ngời dạy toán, nhất là dạy học sinh giỏi toán, ngoài việc dạy các kiến thức mới
và rèn các kỹ năng cho học sinh cần dành thời gian thích đáng cho việc phân tích các sai lầm nếu có của học sinh, từ đó giúp các em hiểu rõ nguyên nhân của sai lầm, sau này nếu gặp tình huống tơng tự sẽ không mắc phải, đồng thời qua đó điều chỉnh việc dạy của chính mình
4 Chuyên đề này bàn về một số tình huống sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi
giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi, trong đó tập trung chủ yếu vào loại sai lầm
về kiến thức, về suy luận
5 Các ví dụ trong chuyên đề này phần lớn đợc su tầm và chọn lọc từ các tạp chí
toán và tài liệu tham khảo môn toán, một phần nhỏ là từ kinh nghiệm giảng dạy của cá nhân Chúng đợc trình bày theo cấu trúc:
- Nêu đề bài;
- Đa ra một lời giải sai;
- Phân tích nguyên nhân của sai lầm;
- Trình bày một lời giải đúng;
- Đôi lời bàn về việc dạy
-II Các ví dụ.
Trang 31 Nhóm bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Ví dụ 1.1)
* Đề bài: Cho A = x2 - 3x + 5 Tìm Amin với x ≥ 2 ?
* Một lời giải sai:
A = (x - 3/2)2 + 11/4 ≥ 11/4 với ∀x ∈ R
Vậy Amin = 11/4
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm
* Một lời giải đúng: Với x ≥ 2 thì (x-3/2) ≥ 1/2 => A ≥ 3 => => A… min = 3
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm
Ví dụ 1.2)
* Đề bài: Cho B = x22 y22 (x y)
y + x − y+x với x, y ∈ R, ≠ 0 Tìm Bmin ?
* Một lời giải sai:
Đặt (x/y) + (y/x) = t => B = t2 - t - 2 = (t - 1/2)2 - 9/4 => B ≥ - 9/4 với ∀t ∈ R; Vậy Bmin = - 9/4, đạt khi t - 1/2 = 0 hay khi t =1/2
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, xác định sai yêu cầu, lỗi trình bày
* Một lời giải đúng: B = (t-2)(t+1) Xét với t ≥ 2 và t ≤ -2 Đáp sô Bmin = 0
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm, cách trình bày
Ví dụ 1.3)
* Đề bài: Cho C = (x2 - 1)(x2 + 1) với x∈ R Tìm Cmin ?
* Một lời giải sai:
Có: (x2 - 1) ≥ - 1; (x2 + 1) ≥ 1 với x ∈ R => C ≥ (-1).(1) = -1 với x ∈ R
C = - 1 khi x2 = 0 hay x = 0 Vậy Cmin = -1
* Nguyên nhân sai: Biến đổi BĐT sai
* Một lời giải đúng: C = x4 - 1 Đáp số Cmin = -1
Trang 4* Lời bàn: Việc dạy các phép biến đổi BĐT
Ví dụ 1.4)
* Đề bài: Cho D = (x + y)2 + (x + 1)2 + (y - x)2 với x, y ∈ R Tìm Dmin ?
* Một lời giải sai:
Đặt M = (x + 1)2 và N = (x + y)2 + (y - x)2 với x, y ∈ R
Có: D đạt min <=> đồng thời xảy ra M đạt min và N đạt min ?
Do => M… min = M(-1) = 0
Khi đó N = (-1 + y)2 + (y + 1)2 = 2y2 + 2 => => N… min = N(0) = 2
=> D ≥ 0 + 2 ; dấu bằng đạt khi x = -1; y = 0 Vậy Dmin = 2
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
* Một lời giải đúng: D = 3x2 + 2x + 1 + 2y2 Đáp số Dmin = 2/3
* Lời bàn: Việc dạy phép suy luận
Ví dụ 1.5)
* Đề bài: Tìm m ∈ R để phơng trình sau: x2 + (m+1)x + 1 = 0 (1) có tổng bình
ph-ơng các nghiệm nhỏ nhất ?
* Một lời giải sai:
- Thấy (1) có nghiệm <=> (m+1)2 - 4 ≥ 0 <=> m ≥ 1 hoặc m ≤ -3 (*)
- Khi đó x22 + x22 = = (m+1)… 2 - 2 ≥ - 2 Dấu bằng đạt <=> m = -1, nhng giá trị m
= -1 không thoả mãn (*)
Vậy ∃ m ∈ R để phơng trình (1) có tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất ?
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm
* Một lời giải đúng: x22 + x22 = ((m+1)2 - 4) + 2 Đáp số m = 1 hoặc m = -3
* Lời bàn: Việc dạy khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Ví dụ 1.6)
* Đề bài: Cho E = 2 2
(x ).(y )
+ + với x, y ∈ R+ thay đổi / x + y = 1 Tìm Emin ?
Trang 5* Một lời giải sai: Có: (x2+ 1/y2) ≥ 2x/y > 0; (y2+ 1/x2) ≥ 2y/x > 0 với x, y∈ R+ => E
≥ 4 với x, y ∈R+ E = 4 khi xy = 1 Vậy Emin = 4
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến
* Một lời giải đúng: Từ giả thiết => 0 < xy ≤ 1/4 Có E = (xy + 1/xy)2
Biến đổi E = ((xy + 1/16xy) + 15/16xy)2 và dùng BĐT Côsi Đáp số Emin = (17/4)2
* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện Rèn học sinh tính cẩn thận
Ví dụ 1.7)
* Đề bài: Cho x, y, z ∈ R/ x2 + y2 + z2 ≤ 27 (*) Tìm Fmin với F = x+y+z+xy+yz+zx
* Một lời giải sai:
Dễ chứng minh đợc: xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 với x, y, z ∈ R
Cùng với giả thiết (*) => xy + yz + zx ≤ 27 ; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z
Lại chứng minh đợc 2(x + y + z) ≤ (x2 + y2 + z2) + 3 với x, y, z ∈ R
Cùng với giả thiết (*) => (x + y + z) ≤ 15; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1
Từ đó suy ra F ≤ 27 + 15 = 42; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1
Vậy Fmin = 42
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến
* Một lời giải đúng: Chứng minh đợc các kết quả: xy + yz + zx ≤ (x2 + y2 + z2); (x + y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2); Dấu bằng cùng xảy ra khi x=y=z=3 Đáp số Fmin = 36
* Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện Rèn học sinh tính cẩn thận
* Chú ý: Có thể chuyển các bài toán trên thành các bài toán tìm giá trị lớn nhất.
-2 Nhóm bài toán về phơng trình.
Ví dụ 2.1)
Trang 6* Đề bài: Giải phơng trình : x2 − + 3x 2 + x2 − 4x+ 3 = 2 x2 − 5x+ 4 (1)
* Một lời giải sai:
- Điều kiện: x2-3x+2 ≥ 0; x2-4x+3 ≥ 0; x2-5x+4 ≥ 0 <=> x ≤ 1 hoặc x ≥ 5
- Biến đổi (1) <=> (x− 1)(x− 2) + (x− 1)(x− 3) = 2 (x− 1)(x− 4)
<=> x− 1. x− 2 + x− 1. x− 3 = 2 x− 1. x− 4 <=> x− 2 + x− 3 = 2 x− 4 bình phơng 2 vế và giải tiếp, tìm đợc x = -97/64, không thoả mãn điều kiện
Đáp số: Phơng trình (1) vô nghiệm
* Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình
* Một lời giải đúng:
Sau khi đặt điều kiện và biến đổi (1) <=> (x− 1)(x− 2) + (x− 1)(x− 3) = 2, xét các trờng hợp : x = 1; x < 1; x ≥ 5 Đáp số: Phơng trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1
* Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi biểu thức có căn
Ví dụ 2.2)
* Đề bài: Giải phơng trình: 3 3x− 1 + 3 x+ 1 = 3 −2x (1)
* Một lời giải sai:
Điều kiện: ∀ x ∈ R Lập phơng 2 vế của (1), đợc:
(1) <=> <=> 3.… 3 3x− 1.3 x+ 1.(3 3x− 1 + 3 x+ 1) = - 6x
<=> 3 3x− 1.3 x+ 1.3 −2x = - 2x <=> (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x3
<=> x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x2 <=> x = 0 hoặc x = 1
Vậy (1) có 2 nnghiệm là x = 0 và x = 1
* Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình
* Một lời giải đúng:
Điều kiện: ∀ x ∈ R Lập phơng 2 vế của (1), đợc:
(1) <=> <=> 3.… 3 3x− 1.3 x+ 1.(3 3x− 1 + 3 x+ 1) = - 6x
=> 3 3x− 1.3 x+ 1.3 −2x = - 2x => (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x3
Trang 7=> x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x2 => x = 0 hoặc x = 1.
Thử lại, thấy x = 1 không thoả mãn (1) Vậy (1) có duy nhất nghiệm là x = 0
* Chú ý: Có thể xét : x = 0 => là nghiệm; x>0 => VT>VP; x<0 => VT<VP …
* Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi phơng trình
Ví dụ 2.3)
* Đề bài: Tìm các số thực m để phơng trình sau có đúng một nghiệm số thực:
2 2(2 1) 3 6
0 1
x
− + + + =
* Một lời giải sai: Điều kiện x ≠ -1
Với điều kiện trên, (1) <=> mx2-2(2m+1)x+3m+6 = 0 (2)
(1) có đúng 1 nghiệm <=> (2) có đúng 1 nghiệm x0 và x0≠ -1
<=> (2) có nghiệm kép x0 và x0 ≠ -1
Nếu (2) có nghiệm kép => (2m+1)2 - m(3m+6) = 0 <=> m = 1
Với m = 1, thử lại thấy (2) có nghiệm kép x0 = 3 ≠ -1
Vậy có duy nhất giá trị m = 1 thoả mãn phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm thực
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm Lỗi suy luận
* Một lời giải đúng:
Xét các trờng hợp sau:
- m = 0 : ph/tr (1) trở thành −x2x++16 = 0, có đúng 1 nghiệm thực là x = 3
- m ≠ 0 : Thấy mx2 - 2(2m+1)x + 3m + 6 = 0 là phơng trình bậc 2 có biệt thức
∆' = (2m+1)2 - m(3m+6) = (m-1)2 => ∆' ≥ 0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm x1 = 3; x2 = (m+2)/m Khi đó để (1) có đúng một nghiệm cần có: hoặc (m+2)/m
= -1 hoặc (m+2)/m = 3 <=> m = - 1 hoặc m = 1
Vậy ph/trình (1) có đúng 1 nghiệm <=> m = 0 hoặc m = - 1 hoặc m = 1
* Lời bàn: Việc dạy phơng trình bậc hai, ph/tr có tham số; dạy phép suy luận
Trang 8Ví dụ 2.4)
* Đề bài: Tìm m ∈ R để phơng trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt:
(x2 + x - 2)(x2 - 2(m-1)x + m2 - 1) = 0 (1)
* Một lời giải sai: Có (1) <=> x2 + x - 2 = 0 (a) hoặc x2 - 2(m-1)x + m2 - 1 = 0 (b) Thấy (a) có 2 nghiệm phân biệt là x = 1 và x = -2 nên (1) có 4 nghiệm phân biệt <=> (b)
có 2 nghiệm phân biệt <=> <=> m < 3/2 …
* Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng về tập nghiệm của phơng trình; Lỗi suy luận
* Một lời giải đúng: Đáp số: m < 3/2 và m ≠ 1; -2 ± 6
* Lời bàn: Dạy về tập nghiệm của phơng trình tích; phép suy luận
Ví dụ 2.5)
* Đề bài: Tìm m ∈ R để phơng trình sau vô nghiệm: x2-3 + x2-5 = m - 3 (1)
* Một lời giải sai:
Do (1) có VT ≥ 0 ∀x ∈ R nên (1) vô nghiệm <=> m - 3 < 0 <=> m < 3
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
* Một lời giải đúng: Viết (1) <=> t - 3 + 5 - t = m - 3 (2) với t = x2 ≥ 0 Bằng việc xét 3 trờng hợp: 0≤t≤3; 3<t≤5; t≥5, phá dấu …, chứng minh đợc rằng (1) có nghiệm <=> (2) có nghiệm t ≥0 <=> m ≥ 5 Suy ra (1) vô nghiệm <=> m < 5
* Chú ý: Nếu chứng minh x2-3+x2-5≥ 2 => (1) có nghiệm khi m ≥ 5 rồi suy ra (1) vô nghiệm khi m < 5 thì cha đủ
* Lời bàn: Dạy phép suy luận
Ví dụ 2.6)
* Đề bài: Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: x2 + y3 + 27y = 36 + 9y2 (1)
* Một lời giải sai: Có (1) <=> x2 + (y - 3)3 = 9 mà 9 = 12 + 23 = 32 + 03 nên xảy ra: (x2; (y-3)3) ∈ {(12 ; 23); (32 ; 03)} Từ đó suy ra (x; y) = (1; 5) hoặc (x; y) = (3; 3)
* Nguyên nhân sai: Không xét hết các khả năng biểu diễn 9 thành dạng a2+b3 (có chẳng hạn: 9 = 62 + (-3)3 )
* Một lời giải đúng: Có (1) <=> x2 + (y - 3)3 = 9 Do x2 ≥ 0 nên (y-3)3 ≤ 8 (y∈ N)
Trang 9=> (y-3) ≤ 2 => y ≤ 5 => y ∈{0; 1; 2; 3; 4; 5} Từ đó tìm đợc x.
Đáp số: có 3 cặp số tự nhiên (x; y) thoả mãn ycbt là: (1; 2), (3; 3) và (6; 0)
* Lời bàn: Rèn kỹ năng kiểm soát và bao quát các khả năng khi giải toán;
-3 Nhóm bài toán về phép biến đổi đồng nhất, giá trị của biểu thức.
Ví dụ 3.1)
* Đề bài: Cho a, b, c ≠ 0 thoả mãn: a b c
c
+ −
= b c a
a
+ −
= c a b
b
+ −
Tính giá trị biểu thức P = (1 a)(1 c)(1 b)
+ + +
* Một lời giải sai:
Từ giả thiết => a b c
c
+ − +2 = b c a
a
+ − +2 = c a b
b
+ − + 2
Trang 10=> a b c
c
+ + = a b c
a
+ + = a b c
b
+ + => a = b = c => P = 8.
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận
* Một lời giải đúng:
Từ giả thiết => => … a b c
c
+ + = a b c
a
+ + = a b c
b
+ +
=> a+b+c = 0 hoặc a = b = c
Từ đó suy ra P = -1 hoặc P = 8
* Lời bàn: Dạy phép suy luận;
Ví dụ 3.2)
* Đề bài: Tìm x ∈ Z /sao cho Q(x) = (x4+x3-3x-1)/(x2+x+1) ∈ Z
* Một lời giải sai:
Có x2+x+1 > 0 với ∀x∈R Chia T(x) = (x4+x3-3x-1) = (x2-1)(x2+x+1) - 2x cho M(x)
= (x2+x+1) đợc d là 2x
Để Q(x) ∈ Z thì T(x) phải chia hết cho M(x) hay đa thức d 2x phải bằng 0
<=> x = 0 Thử lại, thấy thoả mãn
* Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn khái niệm: đa thức chia hết cho đa thức (thơng cha chắc là số nguyên, ví dụ x+2 chia hết cho 3(x+2) nhng thơng là 1/3 ∉ Z) và số nguyên chia hết cho số nguyên (thơng luôn là số nguyên)
* Một lời giải đúng:
Có Q(x) = (x2-1) + 2x/(x2+x+1) Giả sử có x ∈ Z để Q(x) ∈ Z, vì x ∈Z nên x2-1 ∈Z; 2x ∈Z; x2+x+1 ∈Z do đó Q(x) ∈Z <=> 2x/(x2+x+1) ∈Z <=> 2x chia hết cho (x2+x+1)
<=> 2(x2+x+1) - 2x2 - 2 chia hết cho (x2+x+1)
=> 2 chia hết cho (x2+x+1) => (x2+x+1) = 1 hoặc (x2+x+1) = 2 (do x2+x+1>0 ∀x ∈R) Giải, tìm đợc x = 0 hoặc x = -1 Thử lại thấy x = 0 và x = -1 thoả mãn yêu cầu
Đáp số: x = 0 ; x = -1
* Lời bàn: Dạy phép chia đa thức; giá trị của biểu thức
Trang 11Ví dụ 3.3)
* Đề bài: Tìm x ∈ R để A = 2007 + x3+1 ∈ Z
* Một lời giải sai:
Điều kiện: x ≥ 0 Có A ∈ Z <=> x3+1 ∈ Z <=> 3 chia hết cho ( x+1)
<=> ( x+1) = 1 hoặc 3 Đáp số: x = 0 ; x = 4
* Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn tập hợp số trong phép chia; ngộ nhận ( x+1) ∈ Z
* Một lời giải đúng:
Điều kiện: x ≥ 0 Có ( x+1) ≥ 1 ∀x ≥ 0 => x3+1 ≤ 3 ∀x ≥ 0, do đó A ∈ Z <=>
3
1
x+ ∈ Z <=> x3+1 ∈ {1; 2; 3} Đáp số: x = 0; x = 1/4; x = 4
* Chú ý: Có thể giải bằng cách dùng các suy luận số học
* Lời bàn: Dạy phép chia đa thức; giá trị của biểu thức
Ví dụ 3.4)
* Đề bài: Cho x ∈R / A = x + (1/x) ∈ Z Chứng minh: An = xn + (1/xn) ∈ Z ∀n∈ N
* Một lời giải sai:
Từ giả thiết => (x2+1)/x ∈ Z => (x2+1) chia hết cho x => 1 chia hết cho x
=> x = ± 1 Với x = 1 => An = 2 ∀n ∈ N ; với x = -1 => An = 2 ∀n = 2m và An = - 2 ∀n
= 2m+1 Suy ra An ∈ Z ∀n∈ N
* Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn tập số (ngộ nhận x ∈Z) Từ (x2+1)/x ∈ Z => (x2+1) chia hết cho x chỉ đúng khi x ∈ Z Ví dụ: với x =(3 + 5)/2 ∈Z nhng (x2+1)/x = 3∈ Z
* Một lời giải đúng:
Chứng minh bằng phơng pháp qui nạp theo n (sử dụng công thức truy chứng
An+1 = A.An - An-1 )
* Lời bàn: Dạy phép chia; giá trị của biểu thức
Trang 12Ví dụ 3.5)
* Đề bài: Tìm m ∈ Z / a = m2 + +m 23 ∈ Q
*Một lời giải sai:
Từ a = m2 + +m 23 => a2 = (m2+m+23) Do m ∈Z nên a2 ∈Z => a∈Z+
Ta có:a2=(m2+m+23)<=>a2=(m+1/2)2+91/4<=>(a+m+1/2)(a-m-1/2)=91/4=(13/2)(7/2)
Do a, m ∈Z nên a ± m ∈Z, suy ra chỉ có 4 khả năng:
((a+m+1/2); (a-m-1/2)) ∈{(13/2; 7/2); (7/2; 13/2); (-13/2; -7/2); (-7/2; -13/2)}
Giải và tìm đợc m = 1và m = -2 Thử lại, thấy thoả mãn Đáp số: m = 1; m = -2
* Nguyên nhân sai:
Không xét hết các khả năng biểu diễn 91/4 thành tích hai phân số ( chẳng hạn 91/4=(91/2).(1/2) ) …
* Một lời giải đúng:
Có => a … ∈ Z+ Từ a = m2 + +m 23 => (2a+2m+1)(2a-2m-1) = 91
vì a, m ∈Z nên (2a ± 2m ± 1) ∈Z, mà: (2a+2m+1) + (2a-2m-1) = 4a > 0 và (2a+2m+1) (2a-2m-1) = 91 > 0 nên (2a+2m+1) và (2a-2m-1) đều ∈ Z+
Do chỉ có 2 cách phân tích 91 thành tích 2 số nguyên dơng là 91 = 91.1 = 13.7 suy ra ((2a+2m+1); (2a-2m-1)) ∈ {(91; 1); (1; 91); (13; 7); (7; 13)}
Giải, thử lại …
Đáp số: m = -23; m = -2; m = 1; m = 22 (ứng với a = 23; a = 5; a =5; a = 23)
* Lời bàn: Rèn kỹ năng kiểm soát và bao quát các khả năng khi giải toán;
Trang 13
-4 Nhãm bµi to¸n h×nh häc.
VÝ dô 4.1)
* §Ò bµi: Cho tam gi¸c ABC cã hai ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I BiÕt r»ng ID
= IE, t×m mèi liªn hÖ gi÷a sè ®o c¸c gãc: ·ABC vµ ·ACB
* Mét lêi gi¶i sai:
VÏ IH ⊥ AB, IK⊥ AC (h×nh vÏ) => IH = IK
=> ∆IHE = ∆IKD => IEH· =IDK·
=> µA+ ( / 2)µB = µA+ ( / 2)Cµ (tÝnh chÊt gãc ngoµi cña tam
gi¸c)
=> ( / 2)Bµ = ( / 2)Cµ
=> ·ABC = ·ACB
I A
D E
K H
Trang 14* Nguyên nhân sai: Lời giải phụ thuộc vào hình vẽ, lỗi không xét hết các khả năng
về vị trí của các điểm H và K
* Một lời giải đúng: Có 4 khả năng về vị trí của H, K ứng với 4 trờng hợp hình vẽ
- TrH1: H ∈ BE, K ∈ CD, xem chứng minh trên => ãABC = ãACB
- TrH2: H ∈ AE, K ∈ AD, chứng minh nh TrH 1 => ãABC = ãACB
- TrH3: H ∈ BE, K ∈ AD, chứng minh đợc: àA+( / 2)Cà = Cà + ( / 2)àB => àA= (àB C+à) / 2, mà
àA B C+ + = à à 180 0 => ãABC + ãACB = 1200
- TH4: H ∈ AE, K ∈ CD, chứng minh nh TrH 3, đợc: ãABC + ãACB = 1200
* Lời bàn: Rèn các tác phong khi giải bài toán hình học: cẩn thận; xem lời giải có phụ thuộc hay không vào các yếu tố có trong bài toán (vị trí các điểm, đờng , số đo… các độ dài, góc ); xét đủ các khả năng có thể về vị trí …
Ví dụ 4.2)
* Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đờng tròn (O; R) Từ một điểm M chạy trên cung nhỏ BC dựng các đờng thẳng MH, MK lần lợt vuông góc với AB, AC (H, K là chân các đờng vuông góc) Tìm vị trí điểm M để độ dài HK là lớn nhất
* Một lời giải sai:
Thấy AHMK là tứ giác nội tiếp, đờng tròn
(AHMK) có đờng kính AM, suy ra
HK ≤ AM (1) Mặt khác, trong đờng tròn
(O;R) ta lại có AM ≤ 2R (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HK ≤ 2R Dấu bằng
xảy ra <=> AM = 2R <=> AM đi qua O
<=> M đối xứng với A qua O
Vậy HK lớn nhất và bằng 2R khi M đối
xứng với A qua O
K
O
A
M H
* Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: Từ HK ≤ AM ≤ 2R => HKmax = 2R là sai vì