Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2... Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ.
Trang 11 1
1
x x
3. Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , 2 ) và đường thẳng (D) : y = - 2(x +1) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P)
đi qua A Viết phương trình
4. Cho phương trình : x2 – mx + m – 1 = 0 Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 , x2
a) Tính giḠtrị của biểu thức 2
2 1 2
2 1
2 2
2
x x x x
x x M
+
− +
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 + 8
c) Tìm giá trị của x khi A = 5
Trang 2a 3
= +
c) C = 1 ⇔
a 1 3 a 4
c) Tính giá trị của biểu thức C khi x = 6 + 20
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
Trang 3b) Tính giá trị của B khi x 3 = + 8
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0?
a) Tìm điều kiện của a để B xác định Rút gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 4c) Tìm giá trị của x khi B = 4
d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để B có giá trị nguyên
19. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1) ĐS: a = 3 và b = −5
20. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5) ĐS: y = −2x + 7
21. Viết PT đường thẳng đi qua điểm B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x + 3 ĐS: y = 4x + 12
22. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 ĐS:
y = −x + 2
23. Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ; 1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3) và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a)(a ; b) = (3 ; 6) b)(a ; b) = (−2 ; 5) c)(a ; b) (3 ; 0)
24. Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y − 11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song với (d2)
c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc với (P)
HD:
a) M(3 ; 1);
Trang 527. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5)
28. Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ
29. Xác định a và b để đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung
30. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ; 1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là 2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d)
31. Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :
a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ;
b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0 ;
c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2
32. Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y = (2m + 1)x + 2m − 3 Tìm điều kiện của m để:
a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau
c) Hai đường thẳng trùng nhau
Trang 621 3x y 2x 3y
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001) b) Hệ đã cho vô nghiệm ⇔ m 3
a) Giải hệ phương trình với m = –3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
Trang 7a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ m 1
2
> − b) m = 0 hoặc m = 4
42. Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0 b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ m < −1 hoặc m > 3
43. Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2 2 7 = ± b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A không phụ thuộc vào m
44. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
45. Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 5 b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
46. Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3 b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4 ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}
47. Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = −2
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 b) ĐS: m = − 20
48. Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0 (*)
a) Giải phương trình (*) khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Trang 8HD: a) Khi m = 1: 1
x 2
= ; b) ĐS: 2
m , m 1 3
> ≠
49. Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0
a) Giải phương trình với m = −1
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại
b) 2x(y – x) + 5y(z – y) = 2x(y – z) – 5y(y – z) = (y – z)(2x – 5y)
c) 10x2(x + y) – 5(2x + 2y)y2 = 10x2(x + y) – 10y2(x + y) = 10(x + y)(x2 – y2)
Trang 9= (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3
= (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) – a3 – b3 –c3
= 3(a + b)(ab + bc + ac + c2) = 3(a + b)(b + c) (c + a)
56. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 3xy + x – 3y = (x2 – 3xy) + (x – 3y) = x(x – 3y) + (x – 3y)= (x – 3y) (x + 1)
b) 7x2 – 7xy – 4x + 4y = (7x2 – 7xy) – (4x – 4y) = 7x(x – y) – 4(x – y)=(x – y) (7x – 4)
= (x2y + x2z + xyz) + ( xy2 + y2z + xyz) + (x2z + yz2 + xyz)
= x(xy + xz + yz) + y(xy + yz + xz) + z(xz + yz + xy)
= (xy + yz + xz)( x + y + z)
60. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x4 + 3x2 – 9x – 27
b) x4 + 3x3 – 9x – 9
Trang 10c) [(x2 + y2)(a2 + b2) + 4abxy] 2 – 4[xy(a2 + b2) + ab(x2 + y2)] 2
64. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 – 6x + 8
HD:
Cách 1: x2 – 6x + 8 = (x2 – 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x –2)(x – 4)
Cách 2: x2 – 6x + 8 = (x2 – 6x + 9) – 1 = (x – 3) 2 – 1 = (x –3 + 1)(x – 3 – 1) = (x – 2)(x – 4)
Cách 3: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4) – 6x + 12 = (x – 2)(x + 2) – 6(x – 2) = (x – 2)(x + 2 – 6) = (x – 2)(x – 4)Cách 4: x2 – 6x + 8 = (x2 – 16) – 6x + 24 = (x –4)(x + 4) – 6(x – 4) = (x – 4)(x + 4 –6) = (x –4)(x – 2)Cách 5: x2 – 6x + 8 = (x2 – 4x + 4) – 2x + 4 = ( x – 2) 2 – 2(x – 2)= (x – 2)(x – 2 – 2) = (x – 2)(x – 4)
65. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Trang 1167. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
= +
30 11 0
ac
c ab
b a
a c
ac b d
ad bc bd
d c b
a
hoặc
13 1 1 1
a b c d
Trang 12Vậy P = 3(x + y)(x + z)(y + z)
b) M = a(b + c)(b2 - c2) + b(c + a)(c2 - a2) + c(a + b)(a2 - b2)
Vì M là đa thức bậc 3 đối với biến a nên N là đa thức bậc nhất đối với a
Nhưng do a,b,c có vai trò bình đẳng nên:
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử (x - a) thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx = c suy ra - ac
= - 4 suy ra a là ước của - 4
Vậy trong đa thức vớ hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi
Ước của (- 4) là : -1; 1; -2; 2; - 4; 4 sau khi kiểm tra ta thấy là nghiệm của đa thức suy ra đa thức chứa nhân tử (x
Trang 13bc b ac ab
b a c a c b c b a
+
−
−
− +
− +
−
b) B =
9 33 19
3
45 12 7
2
2 3
2 3
− +
x
x x
x
3 3 3
) ( ) ( ) (
3
x z z y y x
xyz z
y x
− + + + +
+ +
−
3 3 3
) ( ) ( ) (
3
x z z y y x
xyz z
y x
− +
− +
−
− + +
78. Rút gọn biểu thức
a) A =
) (
1 )
(
1 )
(
1 )
(
1
x y y y x x y x y y x
b) B =
) )(
(
1 )
)(
(
1 )
)(
(
1
b c a c c c b a b b c a b a
−
=
−
0 5 2
0 5
2 x x x
0 1
t t
Trang 142 1
2 0
1 2
0 2
x
x x
=
−
2 5
1 0
5 2
0 1
x
x x
25 + 4
27 = 0
⇔ (x +
2
5)2 + 4
27 = 0 (V« lý)Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {0; -6}
d) Giải phương trình đối xứng bậc chẳn
x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + 1 = 0 (4)
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình (4)
Chia hai vế của (4) cho x2 ≠ 0, ta được
Trang 15x2 + 3x + 4 + 3
x
1 + x
Đặt x +
x
1 = t (*)
⇒ x 2 + 2
x
1 = t2 – 2Phương trình đã cho trở thành : t2 + 3t + 2 = 0
Thay t = - 2 vào (*), ta được : x +
x
1 = - 2⇔ x2 + 2x + 1 = 0⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = -1Vậy phương trình (4) có tập nghiệm S = {-1}
e) Giải Phương trình đối xứng bậc lẻ:
1 = 0 ⇔ (x2 + 2
x
1) – 2(x +
x
1) + 5 = 0
Đặt (x +
x
1) = t (*) (x2 + 2
x
1) = t2 – 2(5’) ⇔ t2 – 2t +3 = 0
Trang 161 5 7 3
2 3
2 3
+
−
−
− +
−
x x x
x x x
b) B =
1
3 1
1 2 1
+
x
x x
x x
x
HD:
a) A =
3 3 2
2
1 4
4 3 3
2 2 3
2 2 3
+
−
− +
−
− + +
−
−
x x x x x
x x x x x
A =
) 1 ( 3 ) 1 ( ) 1 ( 2
) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( 32
2
−
−
− +
−
− +
−
−
−
x x
x x
x
x x
x x
x
A =
) 1 )(
3 2 )(
1 (
) 1 3 )(
1 )(
1 ( ) 3 2
)(
1 (
) 1 4 3 )(
1 (
2
2
− +
x x
x x
x x
x x x
A =
3 2
1 3 ) 3 2 ( ) 1 (
) 1 3 ( ) 1 (2
2
+
−
= +
x
x x
b) MTC = x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
B =
) 1 )(
1 (
) 3 ( ) 1 )(
1 2 ( ) 1 )(
3 (
− +
−
− +
−
−
− +
x x
x x
x x
x
B =
) 1 )(
1 (
3 1
2 3
2
− +
+
− + +
−
− +
x x
x x x x
1 1
1
x x
2x+ > x− +
Trang 1790. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P : P = 1 1 1 2
a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất?
b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0?
93. Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm
94. Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:
b) Xác định giá trị của m để đường thẳng d2 cắt đường thẳng d1 tại điểm M có toạ độ (-1; 1) Với m tìm được hãy
tính diện tích tam giác AOB, trong đó A và B lần lượt là giao điểm của đường thẳng d2 với hai trục toạ độ Ox và
2 4
4 42
−
+
−
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A có nghĩa?
b) Tính giá trị của biểu thức A khi : x = 1,999
3 4
1 2
1 1
y x
y x
100. Tìm các giá rị của a để phương trình :
( 2 ) 3 0 )
3 ( a2 − a − x2 + a + x − a2 =
Nhận x=2 là nghiệm Tìm nghiệm còn lại của phương trình ?
1
1
a a a
a a
Víi a ≥ 0 , a≠ 1
a) Rút gọn A
b) Với a ≥ 0 , a≠ 1 Tìm a sao cho A = - a2
Trang 18103. Trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm : M(2;1) và
N(5;-2
1) và đường thẳng (d): y = ax + b
a) Tìm a và b để đường thẳng (d) đi qua M và N
b) Xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) với hai trục Oy và Ox
x y xy
+ =
=
106. Cho các hàm số : y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d) ( x là biến số , m là số cho trước)
a) CMR với bất kỳ giá trị nào của m , đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt
b) Gọi y y1; 2là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm m để có đẳng thức :
a) Giải phương trình khi b= -3 và c=2
b) Tìm b,c để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và tích của chúng bằng 1
109. Cho đường thẳng y = (m-1)x+2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất
110. P=
a) Kết quả rút gọn với điều kiện xác định của biểu thức P là
Trang 19a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
115. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2x2 + 3x + 4
116. Cho phương trình x2 – 7x + m = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình Tính S = x1 + x2
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
117. Cho a, b là 2 số dương, chứng minh rằng
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Chứng minh phương trình 3m2x2 + 2x – 1 = 0 (m ≠ 0) luôn có hai nghiệm phân biệt và mỗi nghiệm của nó là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình (1)
120. Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình 2 3 3 − = x 3 − y 3
Trang 20a) Tìm điều kiện để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P − x nhận giá trị nguyên
b) Tìm k để đường thẳng (d): y = kx + 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Chứng minh điểm E(m; m2 + 1) không thuộc (P) với mọi giá trị của m
128. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi số thực x khác 0 và thỏa mãn ( ) 1 2
, điểm nào thuộc (P)? Giải thích?
Trang 21b) Tìm k để (d) có phương trình y = kx – 3 tiếp xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng x = 2 cắt (P) tại một điểm duy nhất Xác định tọa độ giao điểm đó
131. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x = 2 + 2xy y + 2 − 2x 2y 1 + +
a) Giải phương trình khi m = - 1
b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
c) Gọi hai nghiệm của (1) là x1 , x2 Hãy lập phương trình nhận 1 2
b) Tìm a và b để hai phương trình đó tương đương
c) Với b = 0 Tìm a để phương trình (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 7
140. Giải phương trình
ax ax - a 4a 1
x 2 a
Trang 22a) Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (d).
b) Cho điểm M(-1; -2), bằng phép tính hãy cho biết điểm M thuộc ở phía trên hay phía dưới đồ thị (P), (d)
c) Tìm những giá trị của x sao cho đồ thị (P) ở phái trên đồ thị (d)
145. Hãy tính F x = −1999 + y−1999 + z−1999 theo a Trong đó x, y, z là nghiệm của phương trình:
−
150. Thực hiện:
Trang 230 2x y x y
Trang 24b) Có thể tìm được hay không ba số a, b, c sao cho:
b) Tính giá trị của B khi x 3 2 2 = +
c) Chứng minh rằng B 1 ≤ với mọi giá trị của x thỏa mãn x 0; x 1 ≥ ≠
166. Xác định giá trị của a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
x2 – (2a – 1)x + 2(a – 1) = 0, đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 25a) Giải phương trình khi a = - 1.
b) Xác định giá trị của a, biết rằng phương trình có một nghiệm là 1 3
x 2
= Với giá trị tìm được của a, hãy tính nghiệm thứ hai của phương trình
II.Chứng minh rằng nếu a b 2 + ≥ thì ít nhất một trong hai phương trình sau đây có nghiệm: x2 + 2ax + b = 0; x2 + 2bx + a = 0
Trang 26II.Cho ba số a, b, c thỏa mãn a > 0; a2 = bc; a + b + c = abc Chứng minh:
a) a ≥ 3, b 0, c 0 > > b) b + ≥ c 2a
176. Giả sử hệ
ax+by=c bx+cy=a cx+ay=b
a) Với giá trị nào của m thì (1) là hàm số bậc nhất?
b) Với điều kiện của câu a, tìm các giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0?
180. Cho phương trình x2 - (2k - 1)x +2k -2 = 0 (k là tham số) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm
181. Chứng minh biểu thức A sau không phụ thuộc vào x:
a) Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x (x > 1)
b) Cho a , b , c là các số thực khác 0 thoả mản điều kiện :
Trang 27a) Giải phương trình khi
b) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình (1) có nghiệm
=
−
5 my x
2 y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức
3 m
m 1 y
12 6 3 20 10 3
−
−
− +
Trang 28−
5 my x
2 y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức
3 m
m 1 y
12 6 3 20 10 3
−
−
− +
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x − x − 2008
195. Cho phương trình bậc hai x2- 5x + m = 0 (1) với x là ẩn số
a) Giải phương trình (1) khi m = 6
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 +x2 x1 =6
196. Rút gọn các biểu thức: M=2 5- 45+ 2 20;
197. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 với m là tham số và x là ẩn số
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất
198. Tìm dư trong phép chia:
a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình Chứng minh rằng:
+