Chuyên đề bất đẵng thức
**********************************
Bài 1: CMR a2 +a+1+ a2 −a+1≥2 ; b) 1+x+x2 + 1+ y+y2 ≥ x2 +xy+y2
Bài 2: CMR x2 +xy+ y2 + y2 + yz+z2 + z2 +zx+x2 ≥ 3(x+ y+z) ∀ x,y,z
Bài 3: Cho a,b,c thoả món a2 + b2 + c2 = 1 CMR abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ≥ 0
Bài 4: Cho a,b,c > 0 CMR Nếu ab ≥ 1 thì
ab b
a + + ≥ +
2 1
1 1
1
2
Bài 5: Cho a+b ≥ 0 CMR
3 3
3
2
+
≥
a
Bài 6: CMR 1+t + 1−t ≥1+ 1−t2 ≥2−t2 ∀t∈[ ]0,1
Bài 7: Cho a,b,c > 0 CMR
a a4 + b4 + c4≥ ab3 + bc3 +ca3 ; 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2; b 2 a +33 b ≥55 ab ; a b
a
b b
Bài 8: Cho x,y,z > 0 thoả món x + y + z = 1.
a) CMR :
+
x
1 1
y
1
+
z ; b) Tìm GTNN của : A =
+
x
3 2
y
3
+
z
3
Bài 9: Cho a,b,c > 0 CMR: Nếu abc = 1 thì ( ) ( ) ( ) 2
3 2
2
+
+ +
+
ab a
c b
ca c
b a
bc
Bài 10: Cho a,b,c > 0 CMR: ( 3 3 3) 1 1 1 ( )2
c b a c b a c b
+
Bài 11 : Cho a,b,c ≥
4
1
− thoả món a+b+c = 1 CMR: 7 < 4a+1+ 4b+1+ 4c+1≤ 21
Bài 12 : CMR :a) xy≤ x y−1+ y x−1,với x,y ≥ 1; b) ab ≥ c(a−c)+ c(b−c) với 0 < c≤a,b
Bài 13 : Cho a,b,c > 0 CMR:
a) ( a + b )4 ≤8(a4 + b4) ; a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) (2 + b+d)2
b)
17
98
2 2
2 + b ≥
a với 2a + 3b ≥ 7
c) 2 +2 2 + 2 +2 2 + 2 +2 2 ≥ 3
ca
c a bc
b c ab
a
Bài 14: Cho x,y > 0 Tìm GTNN:a)A =
y
x 4
1
4 + với x + y = 1; b)B = x + y với 2+ 3 =6
y
x ; c) C = x+ 4 x− 2 ; d) D =
1
1
2 +
+
x
x
;E = 2 12
x
x+ với x > 0; F = 3 12
x
x+ với x > 0; G = ( 2)2
2 1
1
x
x
+
Bài 15: Cho x + y + z =10 CMR: x−1+ y−2+ z−3 ≥4
Bài 16: CMR :2(1+a2)(1+b2)≥(a+b + a−b)(1+ab +1−ab)
Bài 17 : Cho x,y > 0 thoả món x2 + y3≥ x3 + y4 CMR x3 + y3 ≤ x2 +y2 ≤ x+ y≤2
Bài 18: Cho x,y,z > 0 thoả món xyz( x + y + z) = 1.Tìm GTNN P = (x+y)(x+z)
b
a c a
c b c
b a ab
c ca
b bc
2 2
2
2 2 2 2 2 2 3 3 3
Bài 20: Cho a,b,c > 0 thoả món a+b+c = 1.Tìm GTNN P =
b a
c a c
b c b
a
+
+ +
+ +
2 2
2
Bài 21:CM: a) 2 2
x +xy y+ ≥ 3( )
+
≥ + + + + +
2 3 1
y y x
c)2(1+a2)(1+b2)≥(a+b + a−b)(1+ab +1−ab)
Bài 22: CMR : với a,b,c > 0:
a)
2
c b a a c
ca c b
bc
b
a
+
+ +
+
ca a
bc c
ab + + ≥ + + ;c) 32 2 23 2 32 2 12 12 12
z y x x z
z z
y
y y
x
x
+ +
≤ +
+ + + +