Tìm a và b để đa thức Px chia hết cho đa thức Qx.. Đường phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH – NĂM 2010
MÔN TOÁN 8
( Thời gian làm bài 120 phút )
Bài 1: ( 4 điểm )
Số N có dạng p q r x y z( p,q,r là các số nguyên tố x,y,z là các số nguyên dương ) và pq-r =3; pr-q = 9 Biết các số N N N; ;
p q r tương ứng có ít ước số hơn ước số của N là 20;12 và 15 Tìm N ?
Bài 2 : ( 3 điểm )
a, Cho các số a,b,c thoả mãn b≠ 0,a b c c+ ≠ , 2 = 2(ac bc ab+ − ).
Chứng minh rằng ( )
2 2
2 2
b c
− + −
b, Cho đa thức P x( ) =x4 + − +x3 x2 ax +b và Q x( ) =x2 + −x 2 Tìm a và b
để đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x)
Bài 3 : ( 4 điểm )
a, Giải phương trình (x− 1) (x+ 5) (x− 3) (x+ = 7) 297
b, Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3
1
x x xy
+
−
là số nguyên dương
Bài 4 :(4 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng :
a b b c c d d a 0
b c c d d a a b
Bài 5 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A có AB=AC=a ; BC=c Đường
phân giác trong BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC chứng minh rằng ( )2
b a− = a b
……… Giám thị không giải thích gì thêm………
Trang 2ĐÁP ÁN
Bà
i
1
+Ta có 3 ( 1) ( ) 6
9
pq r
pr q
− =
− =
- Vì p+ ≥ ⇒ = 1 3 p 2,q= 5,r= ⇒ = 7 N 2 3 7x y z
- Khi đó số các ước của N bằng (x+1)(y+1)(z+1)
- Số các ước tương ứng của , ,
2 5 7
N N N
tương ứng là :
- Vậy N=2 5 7 2 4 3 = 857500
1 1
1
1
2 a, Ta có
2
- Chứng minh TT : 2 ( )2 ( ) ( )
2
b + −b c = b c b c a− − +
- Suy ra dpcm
b,
2 0
P
P
=
M
1 0,5
0,5 1
3 a PT đã cho
2 2
8
x
0,5 1
Trang 3Vậy nghiệm của PT là x=4; x=-8
b, Ta có
3
2
1
1
x x
xy
+
+
−
M
Ta có PT x+y+z=xyz
Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử
2
- Nếu y=1 thì x+2=x ( loại)
- Nếu y=2 thì x=3
- Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì x y≥ ).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5
4
4
b c c d d a a b
Dấu = xảy ra khi a=b=c=d
1 1 1
1 5
A
H
b D
B a C
Trang 4-Vẽ đường cao BH suy ra AH=AD/2
- Do BD là phân giác trong của tam giác ABC
( )
2
1
DA
DC = ⇒a b = a =a b⇒ = a b
-Tam giác HAB vuông tại H
( )
2
4
AD
-TT ta có 2 2 2 2 2 2( )
BH =a − −b =a − +b b AD−
Từ (1),(2) và (3) ta có
2
1 1
0,5 1
1 1 1,5