SKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụng

SKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụngSKKN Phân dạng toán hệ thức Viét và ứng dụng

UBND HUYỆN THANH HÀ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giảng dạy và học tập thuộcmôn Toán 9, phân môn Đại số 9, cấp THCS

3 Tác giả:

Họ và tên : NGUYỄN ĐỨC HIỂN Nam.

Ngày/tháng/năm sinh: 15/09/1982

Trình độ chuyên môn: Đại học SP Toán

Chức vụ, đơn vị công tác: Tổ trưởng chuyên môn tổ khoa học tự nhiên,trường THCS Hợp Đức

Điện thoại: 0978.837.545

4 Đồng tác giả (không có)

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Trường THCS Hợp Đức,huyện Bình Giang, tỉnh Hải Dương Điện thoại : 03203.816.184

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Giáo viên phải tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liên quan, nắm chắcphương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến

Học sinh có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét, phương phápgiải của từng dạng toán, đồng thời phải tích cực giải toán, trình bày

8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Tháng 3, năm 2014

HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN

VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Là một giáo viên dạy Toán lớp 9, đã nhiều năm được nhà trường phâncông ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi đều thựchiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy về hệ thức Vi-ét tôithấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cungcấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này Quantrọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống Như vậy kếtquả bài làm của các em không cao, bên cạnh đó hầu hết đề thi vào THPT củacác tỉnh nói chung và của tỉnh Hải Dương nói riêng đều có một phần kiến thức

về hệ thức Vi-ét Chính vì thế, tôi đã tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp

9 và các tài liệu tham khảo để tập hợp các bài tập về hệ thức Vi-ét Sau đó đãtiến hành phân dạng và với từng dạng đều chỉ rõ ứng dụng của nó Từ cách

nghĩ và cách làm đó tôi đã nảy sinh ra việc viết sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

Để áp dụng sáng kiến này giáo viên cần tích cực đọc nghiên cứu tài liệu liênquan, nắm chắc phương pháp giải của từng dạng toán trong sáng kiến Học sinh

có đầy đủ SGK, SBT và nắm vững định lí Vi-ét

Tôi đã áp dụng sáng kiến này từ tháng 3 năm 2014 cho việc dạy và ôn tậpcho học sinh trường tôi thi vào THPT năm học 2014-2015

3 Nội dung sáng kiến

Sáng kiến: “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” đã ôn lại lí

thuyết về hệ thức Vi-ét và khai thác sâu các ứng dụng của nó vào giải toán Đại

đánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh những khó khăn, những sai sót màhọc sinh hay mắc phải khi giải toán và cách khắc phục.

Sáng kiến kịnh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

có khả năng áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp 9 ở các trường đại trà.Giúp giáo viên có tài liệu và phương pháp giảng dạy, ôn tập các kiến thức về hệthức Vi-ét một cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết quả trongviệc giải toán về hệ thức Vi-ét và củng cố được nhiều kiến thức toán học khác

Từ đó góp phần nâng cao kết quả thi vào THPTcho học sinh và tạo tiền đề vữngchắc cho các em trong quá trình học tập sau này

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến

Sau khi áp dụng sáng kiến, với sự so sánh đối chiếu kết quả trước và saukhi áp dụng tôi khẳng định sáng kiến đã giúp giáo viên giảng dạy chủ đề kiếnthức về hệ thức Vi-ét nhẹ nhàng nhưng đầy đủ và hấp dẫn, lôi cuốn các đốitượng học sinh tham gia học tập Học sinh tích cực, chủ động và có nhiều embiểu hiện sự sáng tạo, say mê, kết quả làm bài cao Đặc biệt trong kì thi tuyểnsinh vào THPT năm học 2014-2015 học sinh tôi đều làm tốt bài tập dạng này

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.

Mặc dù sáng kiến kinh nghiệm “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng” đã khẳng định được tính khả thi và giá trị áp dụng song với thời gian

trải nghiệm chưa nhiều và năng lực cá nhân còn hạn chế nên tính bao quát toàndiện nhất định còn chưa hết Tôi mong muốn bản thân cũng như đồng nghiệp sẽtiếp tục có những bài tập bổ sung, những đóng góp mới để sáng kiến luôn giữđược tính khả thi và giá trị của nó trong từng năm học, nhất là hiện nay với việcdạy học theo định hướng phát triển năng lực của học sinh thì việc dạy học theochủ đề sẽ ngày càng được quan tâm

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong chương trình Đại số 9 bậc THCS, định lí Vi-ét có ứng dụng rấtphong phú trong việc giải các bài toán như: Tính nhẩm nghiệm của phươngtrình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai cócác nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậchai Các ứng dụng này còn giúp học sinh củng cố nhiều kiến thức toán họckhác và rèn luyện các kĩ năng trình bày, phân tích, tổng hợp Tuy nhiên khigiải các bài tập về hệ thức Vi-ét học sinh còn gặp nhiều lúng túng, không có kĩnăng phân tích đề, phương pháp giải không khoa học Nguyên nhân chính là docác em chưa được hướng dẫn cụ thể theo từng dạng Vậy làm thế nào để giúphọc sinh nắm chắc kiến thức và phương pháp giải các bài tập về hệ thức Vi-éttôi đã tiến hành tìm tòi nghiêm cứu, tập hợp các bài toán về hệ thức Vi-ét từ đótiến hành phân dạng và chỉ rõ ứng dụng của từng dạng Trên cơ sở đó tôi đã viế

ra sáng kiến “Phân dạng toán hệ thức Vi-ét và ứng dụng”

2 Thực trạng

2.1 Đối với giáo viên: Khi dạy vè hệ thức Vi-ét, trong chương trình thời

lượng không nhiều chỉ có 1 tiết lí thuyết và 1 tiết luyện tập Thông thường giáoviên chỉ thực hiện nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK màkhông đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng các bài tập về hệ thức Vi-ét Bêncạnh đó các bài tập thể hiện trong SGK và SBT số lượng không nhiều, chưa đềcập hết các dạng cơ bản cần thiết để học sinh có đủ kiến thức khi giải bài tậpdạng này trong các đề thi vào THPT Do đó kết quả học tập của học sinh đốivới các bài tập về hệ thức Vi-ét thường không cao nếu giáo viên không có sựtập hợp sắp xếp đầy đủ khoa học

2.2 Đối với học sinh:

Tháng 6 năm 2013 sau khi hoàn thành việc giảng dạy và ôn tập các bàitoán về hệ thức Vi-ét khi chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tôi tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp 9 với đề toán sau (thời gian làm bài 30 phút):

Bài 1 (5,0 điểm): Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

(Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P � 0)

3.2 Các dạng toán và phương pháp giải.

3.2.1 Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

Ta có:   ' 52 25.1 0 �Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b 10 2, x x1 2 c 1

Ví dụ 2 (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm,

rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0

Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập cho các nghiệm x1 và x2 là

 Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó

ta tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n �- b, thì ta chuyển sang bước 2

 Bước 3: Kết luận:

Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và x2 = n

Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và đưa ra lời kết luận nghiệm.

- Nếu tìm được một cặp (m, n) không thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.

3.2.2.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 26/SGK-Trang 53): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c =

0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

Ví dụ 2 (Bài 27/SGK-Trang 53, Bài 38/SBT-Trang 44):

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình:

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4

Nhận xét: Đối với những phương trình có dạng như trong 2 ví dụ thì giải

phương trình bằng nhẩm nghiệm là nhanh gọn hơn việc vận dụng công thứcnghiệm (công thức nghiệm thu gọn)

3.2.3 Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.

3.2.3.1 Phương pháp:

Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) cho biết một nghiệm x1 = m Tìmnghiệm còn lại x2 ?

Ta làm như sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1 = x2 b

để suy ra giá trị của tham số.

3.2.4 Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

 Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P � 0) thì ta

       �Phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại cặp u, v nào thỏa mãn điều kiện trên

Ví dụ 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình):

Tìm các cạnh của hình chữ nhật, biết chu vi bằng 30m và diện tích củahình chữ nhật bằng 54m2

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là u và v, điều kiện u, v > 0

Vì chu vi của hình chữ nhật bằng 30m, nên ta có phương trình:

Nhận xét: Trong các ví dụ trên ta đã chuyển đổi việc giải hệ phương trình sang

giải phương trình bậc hai một ẩn; bên cạnh đó ta cần sử dụng thêm phép biếnđổi tương đương cho hệ phương trình và kết hợp sử dụng hằng đẳng thức

2 2

A B  A B 2AB Ngoài ra trong nhiều trường hợp chúng ta còn cần

sử dụng tới ẩn phụ như ví dụ 3 phần a) hay ví dụ sau đây sẽ minh họa cho điềunày

Ví dụ 4 Giải phương trình sau: x 9  x  x 9  x  (1)4

3.2.5 Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình.

3.2.5.1 Phương pháp:

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx +

c = 0 ( a 0� ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị (đổi chỗ) x1 và

x2

Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Xét biệt thức  b24ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc ' 0  )

 Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức

Ví dụ 2 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2004-2005)

Cho phương trình 2x2 – 7x + 4 = 0, gọi hai nghiệm của là x1 và x2 Khônggiải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức sau:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,� � hoặc0

a 0, ' 0�  � )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai

nghiệm không phụ thuộc vào tham số

Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào hệ

thức (2) để khử m Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thứcVi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2

3.2.7 Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn một điều kiện cho trước.

3.2.7.1 Phương pháp:

Ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương

trình có nghiệm x1, x2 (tức là cho  � hoặc ' 00  � )

 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: 1 2

 Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.

 Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.

3.2.7.2 Ví dụ:

Ví dụ 1 (Bài 62/SGK-Trang 64):

Cho phương trình 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãytính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m

Giải

a) Phương trình có nghiệm �  2 2

 � �   � (đúng với mọi m)

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.

b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình

Giả hệ gồm (1) và (3), ta được: 2x1 10�x1 5�x2     6 x1 6 5 1.Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m � m = 5 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với m = 5 thì x1x2  4

Ví dụ 3 (Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương 2011-2012)

Cho phương trình: x - 2(m +1)x + 2m = 0 (1) (với ẩn là 2 x).a) Giải phương trình (1) khi m =1

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Tìm giá trị của m để x1; x2 là

độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

Giải

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa y = x12  x22

Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm để

chọn giá trị m thì cần chú ý trong trường hợp bài toán còn có điều kiện ràngbuộc khác (như ví dụ 3) ta cũng cần đối chiếu giá trị của m để loại bỏ giá trịkhông thích hợp

3.2.8 Dạng toán 8: Xét dấu các nghiệm.

3.2.8.1 Phương pháp:

Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x1, x2 của phương trình

ax2 + bx + c = 0 ( a 0� ) dựa trên kết quả:

- Phương trình có hai nghiệm trái dấu 1 2

a) Có hai nghiệm trái dấu

b) Có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy với m < 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0 x 1 x2

3.2.9 Dạng toán 9: Lập một phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

a) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số 4 và 1 2

b) Cho phương trình x2 + px – 5 = 0 có nghiệm là x1 và x2 Hãy lập phươngtrình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

Giải

a) Ta có S = x1 + x2 = 4 + 1 2 = 5 2, P = x1x2 = 41 2

Vậy hai số 4 và 1 2 là nghiệm của phương trình cần lập

áp dụng được định lí Vi-ét Điều đó mới đảm bảo tính chặt chẽ toán học và lờigiải khi đó mới được coi đầy đủ, chọn vẹn.

3.2.10 Dạng toán 10: Một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi-ét.

Ở trên ta đã đề cập 9 dạng toán liên quan đến đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng Tuy nhiên tìm hiểu sâu rộng hơn một chút thì ta có một vài ứng ứng khác nữa là khá hay và hiệu quả Sau đây là một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi- ét.

3.2.10.1 Phân tích đa thức thành nhân tử.

 Để lập phương trình đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm

Ví dụ 1 Cho parabol (P) có phương trình: y = x2

Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1; xB = 2

Lập phương trình đường thẳng đi qua A và B

Giải

Goi phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng y = ax + b (AB)

Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là:

x2 = ax + b  x2 - ax - b =0 (1)

Ta có: xA = - 1; xB = 2 là nghiệm của phương trình (1)

Ví dụ 2 Cho parabol (P):

4

x

y 2 ; điểm A thuộc (P) có hoành độ xA = 2

Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Giải Gọi phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A là (d): y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A là: y = x - 1

3.2.10.3 Áp dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình và hệ phương trình.