Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến PA và PB tới C, A, B là các tiếp điểm sao cho PA ⊥PB.
Trang 1Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
Trờng THPT thờng xuân 2 Đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán – Lớp 10 Thời gian: 150 phút ( Đề này gồm 01 trang)
Câu 1 (4 điểm)
a) Vẽ đồ thị hàm số y=-2x+3 và y= x2+3x+2 trên cùng một hệ trục toạ độ b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y=-x2+2mx-m2+2m-3 trên đoạn [0; 1] bằng -1
Câu 2 (8 điểm)
Giải các phơng trình, bất phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 2x− = − 1 x 3
b) x4 + + +x2 1 3(x2 − + = 3x 1) 0
c) x2 − 4x− ≥ 3 x2 − 4x− 1
d) 2 2 2 3
x y xy
Câu 3 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC
a) Gọi I là điểm sao cho :IAuur+ 3IBuuv− 2IC Ouuv v=u chứng minh rằng điểm I cố định b)Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MC MB MA MC
MB
MA+ 3 − 2 = 2 − −
Câu 4.( 2,5 điểm )Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đờng tròn
(C): (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đờng thẳng d: 3x- 4y + m = 0 Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm P mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến PA và PB tới (C), ( A, B là các tiếp điểm) sao cho PA ⊥PB
Câu 5 ( 3 điểm )
a) Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x+ + − 1 4 2x
b) Cho a, b, c lần lợt là ba cạnh của tam giác ABC còn x, y, z là ba số thoả mãn
điều kiện ax + by + cz = 0 Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 0
hết
Trang 2Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
Trờng THPT thờng xuân 2 Hớng dẫn chấm Đề thi học sinh giỏi cấp trờng Năm học 2009 - 2010
Môn: Toán - Lớp 10 Thời gian: 120 phút ( Đề này gồm 01 trang)
1b) - Xét các trờng hợp – S/ 2 < 0, – S/ 2 < 0, - Kết luận giá trị tìm đợc của m. 0≤ −S/ 2 1≤ 1.50.5
2a)
Phơng trình đã cho
2
3 0 (2 1) ( 3) 3
x
x
− ≥
≥
( vô nghiệm )
1.0
0.5 0.5
2b)
3 0
Đặt t = 22 1 0
1
x x
x − + >x
+ +
PT đã cho trở thành: 6t2 + 3t – 1 = 0
Giải đi đến kết quả
0.5 0.5
0.5 0.5 2c) Đặt t = x2−4x− ≥1 0
BPT trở thành t2- t -2 ≥ 0
2d) Đặt t = x y+ ≥0
Từ phơng trình đầu ta suy ra: t2 – 3t + 2 = 0